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Axiome der Quantenmechanik

1. Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch eine Zustandsfunktion $\psi$ dargestellt.
2. Jede physikalische Grösse entspricht einen linearen Hermitischen Operator.
3. Ein Zustand eines Systems, in dem eine physikalische Grösse $a$ einen scharfen Wert hat, muss durch eine Eigenfunktion des entsprechenden Operators beschrieben sein; der Wert dieser Grösse $a$ ist der dazugehörige Eigenwert.
4. Wenn die Zustandsfunktion $\psi$ eines Systems sich aus mehreren anderen Zuständen $f_{k}$ additiv superponieren lässt, d.h. wenn $\psi = \sum_{k} c_{k} f_{k}$, dann kann man so tun, als seien diese Zustände $f_{k}$ alle gleichzeitig vorhanden. Der Anteil der Teilzustände $f_{k}$ zu messbaren Grössen bemisst sich nicht nach ihren Beitrag, sondern zu $\psi^{\ast}\cdot\psi$.

Wenn der Zustand eines Systems als $\psi = \sum_{k} c_{k} f_{k}$ dargestellt wird, wobei die $f_{k}$ Eigenfunktionen eines hermitischen Operators sind und $c_{k}$ komplexe Konstante, dann

$$f_{i}^{\ast} \cdot f_{j} = \delta_{ij}$$ (5.115)

und

$$\psi^{\ast} \cdot \psi = \sum_{i,j} c_{i}^{\ast} c_{j} f_{i}^{\ast} \cdot f_{j} = \sum_{k} c_{k}^{\ast} c_{k}$$ (5.116)

Die Eigenwerte $a$ von $\hat{\mathbf{A}}$ sind reel.

Der Mittelwert von $a$ ist

$$<a> = \sum_{k} c_{k}^{\ast} c_{k} a_{k}$$ (5.117)

oder, anders geschrieben

$$<a> = \psi^{\ast} \cdot \hat{\mathbf{A}} \psi$$ (5.118)

In allgemein ist die Streuung einer Observable $G$ definiert als,

$$\Delta G = \sqrt{<G^{2}> - <G>^{2}}$$ (5.119)

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