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Lösungen der Schrödingergleichung für eine Potentialstufe

Wir können den Ansatz $\psi(x,t) = \phi(x)e^{-i\omega t}$ als Lösung der Schrödingergleichung nehmen. Die Zeitabhängigkeit von $\psi$ ist harmonisch und, deswegen, $\phi$ ist eine stationäre Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.

Das Problem kann in zwei Fälle geteilt werden: A) - Die Energie der einfallenden Welle $E$ ist grösser als die Potentielle Energie ($E > V_{0}$); B) - Die Energie der einfallenden Welle $E$ ist kleiner als die Potentielle Energie ($E < V_{0}$). Sei $\phi$ eine einfallende Welle die sich in der positiven Richtung der $x$-Achse ausbreitet. Ihr Impuls ist $p_{1} = \hslash k_{1}$ für $x < 0$ und $p_{2} = \hslash k_{2}$ für $x > 0$. Die kinetische Energie ist $T = p^{2} / 2 m = E - V_{0}$. Also, wir haben

$$k_{1} = \sqrt{\frac{2 m E}{\hslash^{2}}}$$ (5.133)

und

$$k_{2} = \sqrt{\frac{2 m (E - V_{0})}{\hslash^{2}}}$$ (5.134)

Die Lösungen der Schrödingergleichung müssen zweimal differenzierbar sein, d.h. $\phi$ und $\partial \phi / \partial x$ müssen stetig sein für jeder $x$. $\phi(x)$ und $\phi'(x)$ müssen für $x = 0$ dieselben Werte haben. Die Eigenfunktion $\phi(x)$ hat für $x < 0$ zwei Komponenten: Eine ausbreitende Welle mit Amplitude $A_{1}$ in der positiven Richtung der $x$-Achse und eine ausbreitende Welle mit Amplitude $A'_{1}$ in der negativen Richtung (reflektierte Welle) der $x$-Achse. Beide mit demselben Impuls $p_{1} = \hslash k_{1}$. Für $x > 0$ es gibt nur eine harmonische Welle mit Amplitude $A_{2}$ und Impuls $p_{2} = \hslash k_{2}$ (transmittierte Welle), die sich in der positiven Richtung der $x$-Achse ausbreitet. Also, wir haben für den ersten Fall,

$$\begin{cases}i k_{2} A_{2} &= i k_{1} (A_{1} - A'_{1}) A_{2} &= A_{1} + A'_{1} \end{cases}$$ (5.135)

oder

$$\begin{cases}{\displaystyle \frac{A'_{1}}{A_{1}}} &= {\displa... ...}} &= {\displaystyle \frac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}}} \end{cases}$$ (5.136)

Die Relationen

$$\mathsf{R} = \left\vert\frac{A'_{1}}{A_{1}}\right\vert^{2}$$ (5.137)

und

$$\mathsf{T} = \frac{k_{2}}{k_{1}}\left\vert\frac{A_{2}}{A_{1}}\right\vert^{2}$$ (5.138)

beschreiben die Intensität der Reflexion bzw. der Transmission. Die Energie Erhaltungssatz unterstellt dass

$$\mathsf{R} + \mathsf{T} = 1$$ (5.139)

Für den Fall B,

$$k_{2} = i\sqrt{\frac{2 m (V_{0} - E)}{\hslash^{2}}} = i\rho_{2}$$ (5.140)

und dann,

$$\begin{cases}\rho_{2} A_{2} &= i k_{1} (A'_{1} - A_{1}) A_{2} &= A_{1} + A'_{1} \end{cases}$$ (5.141)

Potential Stufe.

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