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Lösung der Schrödingergleichung für einen unendlichen Potentialkasten

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung kann verwendet werden um die Wellenfunktion für ein Teilchen in einem unendlichen Potentialtopf zu finden (Abb. 5.2). Wir nehmen als Ansatz die Funktion $\psi(x,t) = \phi(x)e^{-i\omega t}$. Die Schrödingergleichung ist dann,

$$\hat{\mathbf{H}} \phi = E \phi$$ (5.126)

Die Lösungen im Topf sind der Art,

$$\phi(x) = A_{1}e^{i k x} + A_{2}e^{- i k x}$$ (5.127)

mit $k = 2\pi / \lambda$ Die beide Terme entsprechen zwei harmonische Wellen die sich ausbreiten in der negativen oder positiven Richtung der $x$-Achse. Die Breite des Topfes ist $a$. In der Wänden des Topfes soll die Wellenfunktion verschwinden, d.h. $\phi(x = 0) = 0$ und $\phi(x = a) = 0$. Dann haben wir,

$$\begin{aligned}A_{1} + A_{2} &= 0 A_{1}e^{i k a} + A_{2}e^{-ika} &= 0 \end{aligned}$$

Wenn wir die obigen Gleichungen für $A_{1}$ und $A_{2}$ lösen, haben wir

$$\begin{aligned}- A_{1} &= A_{2} A_{1}(e^{i k a} - e^{-ika}) &= 0 \end{aligned}$$

$e^{i k a} - e^{-ika} = 2 i \sin( i k a)$ und dann,

$$\begin{aligned}- A_{1} &= A_{2} k &= n \pi / a \end{aligned}$$

mit $n \in \mathbb{Z}_{0}$. Die Lösung hat die Form

$$\phi(x) = A_{1} \sin( i n \pi x / a )$$ (5.131)

und die entsprechenden Energie Eigenwerte sind

$$E_{n} = \frac{n^{2} \pi^{2} \hslash^{2}}{2 m a^{2}}$$ (5.132)

Die Konstante $A_{1}$ kann definiert werden wenn wir $\phi^{\ast} \cdot \phi$ normieren, $\phi^{\ast} \cdot \phi = 1$. Dann wir haben $A_{1} = \sqrt{2 / a}$. Es ist jetzt klar dass die Beschränkung eines auf einem unendlichen Potentialkasten eine Quantisierung der Energie erzeugt.

Unendliche Potentialkasten.

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