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Potentialwall und Tunneleffekt

Wenn eine Materiewelle $\phi$ sich in der positiven Richtung der $x$-Achse ausbreitet, für $x = 0$ und $x = a$ (Abbild. 5.4).

Wenn Die Energie des Teilchens $E$ kleiner ist als das Potential des Walls $E > V_{0}$ dann wir setzen die allgemeine Ansätze,

$$\begin{aligned}\phi_{1}(x) &= A_{1}e^{i k_{1} x} + A'_{1}e^{-... ...&= A_{3}e^{i k_{3} x} + A'_{3}e^{- i k_{3} x} \end{aligned}$$

wobei, $k_{1} = k_{3}$. Für $x = 0$ und $x = a$ setzen wir die Randbedingungen,

$$\begin{aligned}\phi_{1}(x = 0) &= \phi_{2}(x = 0) \frac{\... ...{\partial \phi_{2}}{\partial x}\vert _{x = 0} \end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned}\phi_{2}(x = a) &= \phi_{3}(x = a) \frac{\... ...{\partial \phi_{3}}{\partial x}\vert _{x = 0} \end{aligned}$$

Wir setzen $A'_{3} = 0$ weil keine Reflexion erwartet ist für $x > a$. Wir haben dann,

$$\begin{aligned}A_{1} + A'_{1} &= A_{2} + A'_{2} k1( A_{1} - A'_{1}) &= k2 (A_{2} - A'_{2}) \end{aligned}$$

bzw.

$$\begin{aligned}A_{2}e^{i k_{2} a} + A'_{2}e^{-i k_{2} a} &= A... ...2}e^{-i k_{2} a}) &= k_{1} A_{3}e^{i k_{1} a} \end{aligned}$$

Wir erreichen die folgende Identität:

$$\begin{aligned}A_{1} &= \left[ \cos(k_{2} a) - i\frac{k_{1}^{... ..._{1}k_{2}}\sin(k_{2} a) e^{i k_{1} a} A_{3} \end{aligned}$$

Also wir können jetzt die Transmission und Reflexion Koeffizienten $\mathsf{T}$, bzw. $\mathsf{R}$ wie folgend,

$$\mathsf{R} = \left\vert\frac{A'_{1}}{A_{1}}\right\vert^{2} = \fra... ...^{2}(k_{2}a)}{4 k_{1}^{2}k_{2}^{2} + (k_{1}^{2} - k_{2}^{2})^2\sin^{2}(k_{2}a)}$$ (5.148)

und

$$\mathsf{T} = \left\vert\frac{A_{3}}{A_{1}}\right\vert^{2} = \frac... ...{2}k_{2}^{2}}{4 k_{1}^{2}k_{2}^{2} + (k_{1}^{2} - k_{2}^{2})^2\sin^{2}(k_{2}a)}$$ (5.149)

wobei $\mathsf{R} + \mathsf{T} = 1$, $k_{1} = k_{3} = \sqrt{2mE/\hslash^{2}}$ und $k_{2} = \sqrt{2m(E-V_{0})/\hslash^{2}}$. Die Transmission ist eine oszillierende Funktion der Breite des Walls $a$. Wir können auch schreiben,

$$\mathsf{T} = \frac{4E(E - V_{0})}{4 E(E - V_{0}) + V_{0}^{2}\sin^{2}\left[\sqrt{2 m(E - V_{0})} a / \hslash \right]}$$ (5.150)

Für den Fall $E < V_{0}$, wir schreiben $\phi_{2}$ wie folgend,

$$\phi_{2}(x) = B_{2}e^{\rho_{2} x} + B'_{2}e^{- \rho_{2} x}$$ (5.151)

mit $k_{2} = i\rho_{2}$ und $\rho_{2} = \sqrt{2m(V_{0} - E)/\hslash^{2}}$. Im diesen Fall die Transmission $\mathsf{T}$ wird

$$\mathsf{T} = \frac{4E(E-V_{0})}{4 E(V_{0} - E) + V_{0}^{2}\sin^{2}\left[\sqrt{2 m(V_{0} - E)} a / \hslash\right]}$$ (5.152)

mit $\mathsf{R} = 1 - \mathsf{T}$. Für $\rho_{2} a \gg 1$,

$$\mathsf{T} \sim \frac{16 E(V_{0} - E)}{V_{0}^{2}} e^{-2\rho_{2} a}$$ (5.153)

Wenn ein Elektron mit Energie $E = 1$ sich bewegt in der Richtung einem Potentialwall mit Breite $a = 1$ angstrom und Höhe $V_{0} = 2$ , dann die Transmission ist $\mathsf{T} \sim 0,78$. Für dieselben Bedingungen ein Proton ( $m_{p} \simeq 1840 m_{e}$) $\mathsf{T} \sim 4\times 10^{-19}$. Das heisst, das Tunneleffekt ist für ein Elektron sehr wahrscheinlich, aber für den Proton fast unmöglich.

Das Rastertunnelmikroskop (STM) beruht auf dem Tunneleffekt. Die Elektronen können eine enge Potentialbarriere durchqueren. Der Tunnelstrom verringert sich mit der Breite der Barriere exponentiell.

Potentialwand.

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