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Potentialtopf

Dieses Problem ist ähnlich dem der Potentialbarriere, aber mit einer negativen Höhe. Besonders interessant ist der Fall $E < V_{0}$ (gebundene Zustände). Wir gehen wie vorher vor. Die Ansätze der Wellenfunktionen sind

$$\begin{aligned}\phi_{1}(x) &= B_{1}e^{\rho_{1} x} + B'_{1}e^{... ... B_{3}e^{\rho_{3} x} + B'_{3}e^{- \rho_{3} x} \end{aligned}$$

wobei, $\rho_{1} = \rho_{3} = \rho = \sqrt{2m(V_{0} - E)/\hslash^{2}}$ und $k_{2} = \sqrt{2mE/\hslash^{2}}$. $B_{1}$ und $B_{3}$ müssen gleich 0 sein, weil $\phi(x)$ beschränkt ist für $x < 0$ und $x > a$. Also haben wir die Randbedingungen,

$$\begin{aligned}B'_{1} &= A_{2} + A'_{2} -\rho B'_{1} &= ik ( A_{2} - A'_{2} ) \end{aligned}$$

für $x = 0$ und

$$\begin{aligned}B'_{3}e^{-\rho a} &= A_{2}e^{i k a} + A'_{2}e^... ...o a} &= ik ( A_{2}e^{i k a} - A'_{2}e^{- i k a} ) \end{aligned}$$

für $x = a$.

Die Lösungen erfordern, dass

$$\left( \frac{\rho - i k}{\rho + ik} \right)^{2} = e^{2 i k a}$$ (5.157)

ist. Zwei Lösungsmengen sind möglich. Entweder ist

$$\left( \frac{\rho - i k}{\rho + ik} \right) = e^{i k a}$$ (5.158)

oder

$$\left( \frac{\rho - i k}{\rho + ik} \right) = - e^{i k a}$$ (5.159)

Wir können schreiben $\rho / k = \tan( ka / 2)$ und $k_{0} = \sqrt{ k^{2} + \rho^{2}} = \sqrt{2 m V_{0}/\hslash^{2}}$. Im ersten Fall haben wir

$$\begin{aligned}\vert \sin( k a / 2 ) &= k / k_{0} \tan( k a / 2) &< 0 ) \end{aligned}$$

und im zweiten Fall,

$$\begin{aligned}\vert \cos( k a / 2 ) &= k / k_{0} \tan( k a / 2) &> 0 ) \end{aligned}$$

Die Lösungen für diese Gleichungen können erreicht werden durch graphische und numerische Methoden.

Potentialkasten.

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