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Unterabschnitte
Wenn die potentielle Energie
eine quadratische Abhängigkeit von
hat, dann ist die Bewegung des Teilchens
beschränkt wie in dem Fall eines klassischen harmonischen Oszillator. Der Operator
hat die
Form,
![$\displaystyle \hat{\mathbf{H}} = - \frac{\hslash^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$](img661.gif) |
(5.162) |
mit
![$\displaystyle V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$](img662.gif) |
(5.163) |
Die Lösungen der Schrödinger Gleichung sind stationär und haben die Form,
![$\displaystyle \psi(x,t) = e^{-i E t/\hslash} \phi(x)$](img663.gif) |
(5.164) |
Damit können wir die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung verwenden,
![$\displaystyle - \frac{\hslash^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} + \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \phi = E \phi$](img664.gif) |
(5.165) |
Potentialfunktion eines harmonischen Oszillators.
|
Wir können drei Parameter definieren und die Variable
ersetzen
Die Gleichung 5.73 wird dann geschrieben wie es folgt,
![$\displaystyle - \phi'' (u) + u^{2} \phi(u) = 2\epsilon\phi(u)$](img667.gif) |
(5.167) |
Um die Eigenfunktion
und die Eigenwerte
bzw.
zu finden, können wir die folgenden
Operatoren verwenden,
Die Operatoren
und
sind nicht hermitisch (also, selbstadjungiert)
aber sie sind adjungiert zueinander. Man kann dann schreiben,
![$\displaystyle \hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} = \frac{1}{2}\left( u^{2} - 1 - \frac{d^{2}}{d u^{2}} \right)$](img674.gif) |
(5.169) |
und
![$\displaystyle (\hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} + \frac{1}{2}) \phi(u) = \epsilon \phi(u)$](img675.gif) |
(5.170) |
Die Hamiltonsche Funktion wird dann definiert als
![$\displaystyle \hat{\mathbf{H}} = \hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} + \frac{1}{2}$](img676.gif) |
(5.171) |
Der Kommutator Operator ergibt
![$\displaystyle [\hat{\mathbf{a}}, \hat{\mathbf{a}}^{\dagger}] = \hat{\mathbf{a}}\hat{\mathbf{a}}^{\dagger} - \hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} = 1$](img677.gif) |
(5.172) |
Gleichzeitig, wenn wir die Eigenschaften des Kommutators anwenden haben wir,
![$\displaystyle [ \hat{\mathbf{a}}, \hat{\mathbf{a}} ] = 0$](img678.gif) |
(5.173) |
und
![$\displaystyle [ \hat{\mathbf{a}}^{\dagger}, \hat{\mathbf{a}}^{\dagger} ] = 0$](img679.gif) |
(5.174) |
Wenn wir die Eigenschaften der linearen Operatoren verwenden können wir weitere Gleichungen ableiten, z.B.
und
Wegen der Eigenschaften oben dargestellt, werden die Operatoren
und
als Erzeugungsoperator oder Aufstiegsoperator bzw. Vernichtungsoperator oder Abstiegsoperator.
![$\displaystyle H_{n}(-u) = (-n)^{n} H_{n}(u)$](img683.gif) |
(5.178) |
![$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} H_{m}(u) H_{n}(u) e^{-u^{2}} du = H_{m}\cdot H_{n} = \delta_{mn}$](img684.gif) |
(5.179) |
![$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \phi_{m}^{\ast}(x) \phi_{n}(x) dx = \phi_{m}\cdot \phi_{n} = \delta_{mn}$](img686.gif) |
(5.181) |
Die Energieeigenwerte eines zweidimensionalen
Potentialtopfs sind ähnlich quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Topfs. Wenn der Topf die Dimensionen
und
hat (siehe Abbildung 5.8), dann sind die Energieeigenwerte in diesem Fall
![$\displaystyle E_{n_{x},n_{y}} = \frac{\hslash^{2} \pi^{2}}{2 m} \left( \frac{n_{x}^{2}}{a^{2}} + \frac{n_{y}^{2}}{b^{2}} \right)$](img688.gif) |
(5.182) |
mit
,
Ganzzahlen
. Die Eigenfunktionen lauten
![$\displaystyle \phi(x,y) = C \sin(n_{x}\pi x / a)\sin(n_{y}\pi y / b)$](img692.gif) |
(5.183) |
Wenn
oder
(mit
Ganzzahl) dann verschiedene Eigenfunktionen können denselben Energie
Eigenwerte haben, d.h. die Eigenwerte sind entartet. Z.B., wenn
, zu den Paare
und
entspricht dieselbe Energie:
![$\displaystyle E_{71} = E_{55} = 50 \frac{\hslash^{2} \pi^{2}}{2 m a^{2}}$](img698.gif) |
(5.184) |
2D unendlicher Potentialkasten.
|
Der Fall eines Teilchens in einem endlichen Potentialtopf ist etwas
komplizierter als der Fall des unendlichen. Die Wellenfunktion verschwindet nicht am Rand des Topfes. Die
Übergänge erzeugen jedoch Reflexionen. Wenn eine Welle
sich in der positiven Richtung der
-Achse
ausbreitet, für
und
Wenn Die Energie des Teilchens
kleiner ist als das Potential des Walls
dann wir setzen die
allgemeine Ansätze,
wobei,
. Für
und
setzen wir die Randbedingungen,
und
Wir setzen
weil keine Reflexion erwartet ist für
. Wir haben dann,
bzw.
Wir erreichen die folgende Identität:
Also wir können jetzt die Transmission und Reflexion Koeffizienten
, bzw.
wie folgend,
![$\displaystyle \mathsf{R} = \vert\frac{A'_{1}}{A_{1}}\vert^{2} = \frac{(k_{1}^{2...
...in^{2}(k_{2}a)}{4 k_{1}^{2}k_{2}^{2} + (k_{1}^{2} - k_{2}^{2})\sin^{2}(k_{2}a)}$](img700.gif) |
(5.191) |
und
![$\displaystyle \mathsf{T} = \vert\frac{A_{3}}{A_{1}}\vert^{2} = \frac{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}{4 k_{1}^{2}k_{2}^{2} + (k_{1}^{2} - k_{2}^{2})\sin^{2}(k_{2}a)}$](img701.gif) |
(5.192) |
wobei
,
und
. Die Transmission ist eine oszillierende Funktion der Breite des Walls
. Wir
können auch schreiben,
![$\displaystyle \mathsf{T} = \frac{4E(E - V_{0})}{4 E(E - V_{0}) + V_{0}^{2}\sin^{2}\left[\sqrt{2 m(E - V_{0})} a / \hslash \right]}$](img630.gif) |
(5.193) |
Für den Fall
, wir schreiben
wie folgend,
![$\displaystyle \phi_{2}(x) = B_{2}e^{\rho_{2} x} + B'_{2}e^{- \rho_{2} x}$](img632.gif) |
(5.194) |
mit
und
. Im diesen Fall die Transmission
wird
![$\displaystyle \mathsf{T} = \frac{4E(E-V_{0})}{4 E(V_{0} - E) + V_{0}^{2}\sin^{2}\left[\sqrt{2 m(V_{0} - E)} a / \hslash\right]}$](img635.gif) |
(5.195) |
mit
. Für
,
![$\displaystyle \mathsf{T} \sim \frac{16 E(V_{0} - E)}{V_{0}^{2}} e^{-2\rho_{2} a}$](img638.gif) |
(5.196) |
Wenn ein Elektron mit Energie
sich bewegt in der Richtung einem Potentialwall mit
Breite
angstrom und Höhe
, dann die Transmission ist
. Für dieselben Bedingungen ein Proton (
)
.
Das heisst, das Tunneleffekt ist für ein Elektron sehr wahrscheinlich, aber für den Proton fast unmöglich.
Das Rastertunnelmikroskop (STM) beruht auf dem Tunneleffekt. Die Elektronen können eine enge Potentialbarriere
durchqueren. Der Tunnelstrom verringert sich mit der Breite der Barriere exponentiell.
Die Energie Eigenwerte eines zweidimensionalen Potentialtopf sind ähnlich
quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Topfs. Wenn der Topf Dimensionen
und
hat, die Energie
Eigenwerte sind in diesem Fall
![$\displaystyle E_{n_{x},n_{y}} = \frac{\hslash^{2} \pi^{2}}{2 m} \left( \frac{n_{x}^{2}}{a^{2}} + \frac{n_{y}^{2}}{b^{2}} \right)$](img688.gif) |
(5.197) |
mit
,
Ganzzahlen
. Die Eigenfunktionen lauten
![$\displaystyle \phi(x,y) = C \sin(n_{x}\pi x / a)\sin(n_{y}\pi y / b)$](img692.gif) |
(5.198) |
Wenn
oder
(mit
Ganzzahl) dann verschiedene Eigenfunktionen können denselben Energie
Eigenwerte haben, d.h. die Eigenwerte sind entartet. Z.B., wenn
zu den Paare
und
entspricht dieselbe Energie:
![$\displaystyle E_{71} = E_{55} = 50 \frac{\hslash^{2} \pi^{2}}{2 m a^{2}}$](img698.gif) |
(5.199) |
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm