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Unterabschnitte

• 2D unendlicher Potentialkasten und entartete Zustände
• Teilchen im endlichen Potentialtopf
• 2D unendlicher Potentialtopf

Harmonischer Oszillator

Wenn die potentielle Energie $V(x)$ eine quadratische Abhängigkeit von $x$ hat, dann ist die Bewegung des Teilchens beschränkt wie in dem Fall eines klassischen harmonischen Oszillator. Der Operator $\hat{\mathbf{H}}$ hat die Form,

$$\hat{\mathbf{H}} = - \frac{\hslash^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$$ (5.162)

mit

$$V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$$ (5.163)

Die Lösungen der Schrödinger Gleichung sind stationär und haben die Form,

$$\psi(x,t) = e^{-i E t/\hslash} \phi(x)$$ (5.164)

Damit können wir die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung verwenden,

$$- \frac{\hslash^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} + \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \phi = E \phi$$ (5.165)

Potentialfunktion eines harmonischen Oszillators.

Wir können drei Parameter definieren und die Variable $x$ ersetzen

$$\begin{aligned}b &= \sqrt{\frac{\hslash}{m\omega}} \epsilon &= \frac{E}{\hslash \omega} u &= \frac{x}{b} \end{aligned}$$

Die Gleichung 5.73 wird dann geschrieben wie es folgt,

$$- \phi'' (u) + u^{2} \phi(u) = 2\epsilon\phi(u)$$ (5.167)

Um die Eigenfunktion $\phi_{n}$ und die Eigenwerte $\epsilon_{n}$ bzw. $E_{n}$ zu finden, können wir die folgenden Operatoren verwenden,

$$\begin{aligned}\hat{\mathbf{a}}^{\dagger} &= \frac{1}{\sqrt{2... ...qrt{2}}\left( x + b^{2}\frac{d}{d x } \right) \end{aligned}$$

Die Operatoren $\hat{\mathbf{a}}^{\dagger}$ und $\hat{\mathbf{a}}$ sind nicht hermitisch (also, selbstadjungiert) aber sie sind adjungiert zueinander. Man kann dann schreiben,

$$\hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} = \frac{1}{2}\left( u^{2} - 1 - \frac{d^{2}}{d u^{2}} \right)$$ (5.169)

und

$$(\hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} + \frac{1}{2}) \phi(u) = \epsilon \phi(u)$$ (5.170)

Die Hamiltonsche Funktion wird dann definiert als

$$\hat{\mathbf{H}} = \hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} + \frac{1}{2}$$ (5.171)

Der Kommutator Operator ergibt

$$[\hat{\mathbf{a}}, \hat{\mathbf{a}}^{\dagger}] = \hat{\mathbf{a}}\hat{\mathbf{a}}^{\dagger} - \hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} = 1$$ (5.172)

Gleichzeitig, wenn wir die Eigenschaften des Kommutators anwenden haben wir,

$$[ \hat{\mathbf{a}}, \hat{\mathbf{a}} ] = 0$$ (5.173)

und

$$[ \hat{\mathbf{a}}^{\dagger}, \hat{\mathbf{a}}^{\dagger} ] = 0$$ (5.174)

Wenn wir die Eigenschaften der linearen Operatoren verwenden können wir weitere Gleichungen ableiten, z.B.

$$\begin{aligned}(\hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} +... ...hat{\mathbf{a}}^{\dagger}(\epsilon + 1) \phi) \end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned}\hat{\mathbf{a}}^{\dagger} \hat{\mathbf{a}} ( ... ...\phi &= (\epsilon - 1)(\hat{\mathbf{a}} \phi) \end{aligned}$$

Wegen der Eigenschaften oben dargestellt, werden die Operatoren $\hat{\mathbf{a}}^{\dagger}$ und $\hat{\mathbf{a}}$ als Erzeugungsoperator oder Aufstiegsoperator bzw. Vernichtungsoperator oder Abstiegsoperator.

$$\begin{aligned}H_{0}(u) &= 1 H_{1}(u) &= 2 u H_{2}(u)... ... H_{5}(u) &= 32 u^{5} - 160 u^{3} + 120 u \end{aligned}$$

$$H_{n}(-u) = (-n)^{n} H_{n}(u)$$ (5.178)

$$\int_{-\infty}^{+\infty} H_{m}(u) H_{n}(u) e^{-u^{2}} du = H_{m}\cdot H_{n} = \delta_{mn}$$ (5.179)

$$\begin{aligned}\phi_{1}(x) &= \left( \frac{\sqrt{2}}{b^{1/2} ... ...rt{n!}} (\hat{\mathbf{a}}^{\dagger})^{n} \phi_{0} \end{aligned}$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \phi_{m}^{\ast}(x) \phi_{n}(x) dx = \phi_{m}\cdot \phi_{n} = \delta_{mn}$$ (5.181)

2D unendlicher Potentialkasten und entartete Zustände

Die Energieeigenwerte eines zweidimensionalen Potentialtopfs sind ähnlich quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Topfs. Wenn der Topf die Dimensionen $a$ und $b$ hat (siehe Abbildung 5.8), dann sind die Energieeigenwerte in diesem Fall

$$E_{n_{x},n_{y}} = \frac{\hslash^{2} \pi^{2}}{2 m} \left( \frac{n_{x}^{2}}{a^{2}} + \frac{n_{y}^{2}}{b^{2}} \right)$$ (5.182)

mit $n_{x}$,$n_{y}$ Ganzzahlen $>0$. Die Eigenfunktionen lauten

$$\phi(x,y) = C \sin(n_{x}\pi x / a)\sin(n_{y}\pi y / b)$$ (5.183)

Wenn $a/b = n$ oder $b/a = n$ (mit $n$ Ganzzahl) dann verschiedene Eigenfunktionen können denselben Energie Eigenwerte haben, d.h. die Eigenwerte sind entartet. Z.B., wenn $a/b = 1$, zu den Paare $n_{x} = 7, n_{y} = 1$ und $n_{x} = 5, n_{y} = 1$ entspricht dieselbe Energie:

$$E_{71} = E_{55} = 50 \frac{\hslash^{2} \pi^{2}}{2 m a^{2}}$$ (5.184)

2D unendlicher Potentialkasten.

Teilchen im endlichen Potentialtopf

Der Fall eines Teilchens in einem endlichen Potentialtopf ist etwas komplizierter als der Fall des unendlichen. Die Wellenfunktion verschwindet nicht am Rand des Topfes. Die Übergänge erzeugen jedoch Reflexionen. Wenn eine Welle $\phi$ sich in der positiven Richtung der $x$-Achse ausbreitet, für $x = 0$ und $x = a$

Wenn Die Energie des Teilchens $E$ kleiner ist als das Potential des Walls $E > V_{0}$ dann wir setzen die allgemeine Ansätze,

$$\begin{aligned}\phi_{1}(x) &= A_{1}e^{i k_{1} x} + A'_{1}e^{-... ...&= A_{3}e^{i k_{3} x} + A'_{3}e^{- i k_{3} x} \end{aligned}$$

wobei, $k_{1} = k_{3}$. Für $x = 0$ und $x = a$ setzen wir die Randbedingungen,

$$\begin{aligned}\phi_{1}(x = 0) &= \phi_{2}(x = 0) \frac{\... ...{\partial \phi_{2}}{\partial x}\vert _{x = 0} \end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned}\phi_{2}(x = a) &= \phi_{3}(x = a) \frac{\... ...{\partial \phi_{3}}{\partial x}\vert _{x = 0} \end{aligned}$$

Wir setzen $A'_{3} = 0$ weil keine Reflexion erwartet ist für $x > a$. Wir haben dann,

$$\begin{aligned}A_{1} + A'_{1} &= A_{2} + A'_{2} k1( A_{1} - A'_{1}) &= k2 (A_{2} - A'_{2}) \end{aligned}$$

bzw.

$$\begin{aligned}A_{2}e^{i k_{2} a} + A'_{2}e^{-i k_{2} a} &= A... ...2}e^{-i k_{2} a}) &= k_{1} A_{3}e^{i k_{1} a} \end{aligned}$$

Wir erreichen die folgende Identität:

$$\begin{aligned}A_{1} &= \left[ \cos(k_{2} a) - i\frac{k_{1}^{... ..._{1}k_{2}}\sin(k_{2} a) e^{i k_{1} a} A_{3} \end{aligned}$$

Also wir können jetzt die Transmission und Reflexion Koeffizienten $\mathsf{T}$, bzw. $\mathsf{R}$ wie folgend,

$$\mathsf{R} = \vert\frac{A'_{1}}{A_{1}}\vert^{2} = \frac{(k_{1}^{2... ...in^{2}(k_{2}a)}{4 k_{1}^{2}k_{2}^{2} + (k_{1}^{2} - k_{2}^{2})\sin^{2}(k_{2}a)}$$ (5.191)

und

$$\mathsf{T} = \vert\frac{A_{3}}{A_{1}}\vert^{2} = \frac{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}{4 k_{1}^{2}k_{2}^{2} + (k_{1}^{2} - k_{2}^{2})\sin^{2}(k_{2}a)}$$ (5.192)

wobei $\mathsf{R} + \mathsf{T} = 1$, $k_{1} = k_{3} = \sqrt{2mE/\hslash^{2}}$ und $k_{2} = \sqrt{2m(E-V_{0})/\hslash^{2}}$. Die Transmission ist eine oszillierende Funktion der Breite des Walls $a$. Wir können auch schreiben,

$$\mathsf{T} = \frac{4E(E - V_{0})}{4 E(E - V_{0}) + V_{0}^{2}\sin^{2}\left[\sqrt{2 m(E - V_{0})} a / \hslash \right]}$$ (5.193)

Für den Fall $E < V_{0}$, wir schreiben $\phi_{2}$ wie folgend,

$$\phi_{2}(x) = B_{2}e^{\rho_{2} x} + B'_{2}e^{- \rho_{2} x}$$ (5.194)

mit $k_{2} = i\rho_{2}$ und $\rho_{2} = \sqrt{2m(V_{0} - E)/\hslash^{2}}$. Im diesen Fall die Transmission $\mathsf{T}$ wird

$$\mathsf{T} = \frac{4E(E-V_{0})}{4 E(V_{0} - E) + V_{0}^{2}\sin^{2}\left[\sqrt{2 m(V_{0} - E)} a / \hslash\right]}$$ (5.195)

mit $\mathsf{R} = 1 - \mathsf{T}$. Für $\rho_{2} a \gg 1$,

$$\mathsf{T} \sim \frac{16 E(V_{0} - E)}{V_{0}^{2}} e^{-2\rho_{2} a}$$ (5.196)

Wenn ein Elektron mit Energie $E = 1$ sich bewegt in der Richtung einem Potentialwall mit Breite $a = 1$ angstrom und Höhe $V_{0} = 2$ , dann die Transmission ist $\mathsf{T} \sim 0,78$. Für dieselben Bedingungen ein Proton ( $m_{p} \simeq 1840 m_{e}$) $\mathsf{T} \sim 4\times 10^{-19}$. Das heisst, das Tunneleffekt ist für ein Elektron sehr wahrscheinlich, aber für den Proton fast unmöglich.

Das Rastertunnelmikroskop (STM) beruht auf dem Tunneleffekt. Die Elektronen können eine enge Potentialbarriere durchqueren. Der Tunnelstrom verringert sich mit der Breite der Barriere exponentiell.

2D unendlicher Potentialtopf

Die Energie Eigenwerte eines zweidimensionalen Potentialtopf sind ähnlich quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Topfs. Wenn der Topf Dimensionen $a$ und $b$ hat, die Energie Eigenwerte sind in diesem Fall

$$E_{n_{x},n_{y}} = \frac{\hslash^{2} \pi^{2}}{2 m} \left( \frac{n_{x}^{2}}{a^{2}} + \frac{n_{y}^{2}}{b^{2}} \right)$$ (5.197)

mit $n_{x}$,$n_{y}$ Ganzzahlen $>0$. Die Eigenfunktionen lauten

$$\phi(x,y) = C \sin(n_{x}\pi x / a)\sin(n_{y}\pi y / b)$$ (5.198)

Wenn $a/b = n$ oder $b/a = n$ (mit $n$ Ganzzahl) dann verschiedene Eigenfunktionen können denselben Energie Eigenwerte haben, d.h. die Eigenwerte sind entartet. Z.B., wenn $a/b = 1$ zu den Paare $n_{x} = 7, n_{y} = 1$ und $n_{x} = 5, n_{y} = 1$ entspricht dieselbe Energie:

$$E_{71} = E_{55} = 50 \frac{\hslash^{2} \pi^{2}}{2 m a^{2}}$$ (5.199)

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