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Unterabschnitte

• Magnetische Spin-Bahn-Kopplung
• Gesamtdrehimpuls
• Feinstruktur und Ein-Elektronen-Atome
  • Elektronenspin-Resonanz
• Zeemann-Effekt
• Paschen-Back-Effekt

Elektronenspin

Versuch zur Vorlesung: Elektronenspinresonanz: Modellversuch (Versuchskarte AT-31)

Versuch zur Vorlesung: Elektronenspinresonanz: ESR an DPPH (Versuchskarte AT-29)

Magnetische Spin-Bahn-Kopplung

Elektron hat Spin

$\overset{\rightarrow}{s}$ Drehimpulsvektor

$$\left\vert \vec{s}\right\vert =\sqrt{s\left( s+1\right) }$$

$$\vec{\mu}_{s} =-g_{s}\frac{e}{2m_{0}}\overset{\rightarrow}{s} \vec{\ell}$$

$$\vec{\mu}_{e} =-g_{\ell}\frac{e}{2m_{0}}\vec{\ell}$$

$$g_{\ell} =1$$

$$g_{s} =2.0023$$

Elektronenspin $\vec{s}$, Betrag $\vert\vec{s}\vert$ und $z$-Komponente $s_z$.

$$\mu_{s,z}=\pm1.00116\mu_{Bohr}$$

gyromagnetisches Verhältnis $\gamma=\frac{\left\vert \mu\right\vert }{\left\vert \ell\right\vert }$

Bahndrehimpuls

$$\gamma_{\ell} =\frac{1}{2}\frac{e}{m_{0}}$$

$$\gamma =1.00116\frac{e}{m_{0}}$$

Gesamtdrehimpuls

Feinstruktur und Ein-Elektronen-Atome

Versuch zur Vorlesung: Natrium: Feinstruktur der D-Linie (Versuchskarte AT-48)

$\vec{l},\vec{s}$ bilden Gesamtdrehimpuls $\vec{j}$

$$\left\vert j\right\vert =\sqrt{j\left( j+1\right) }\hbar$$

mit

$$\left\vert j\right\vert =\left\vert l\pm s\right\vert$$

$p$-Elektron $\ell=1$, $s=\frac{1}{2}$

$$j =\frac{3}{2} \left\vert j\right\vert =\sqrt{\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}}\hbar=\frac{\sqrt{15}}{2}\hbar$$

$$j =\frac{1}{2} \left\vert j\right\vert =\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}\hbar=\frac{\sqrt{3}}{2}\hbar$$

für $\ell=0$ wird $j=s$

Richtungsquantisierung

$$j_{z}=m_{j}\hbar m_{j}=-j..-j j \in \mathds{Z}$$

Spin-Bahn-Kopplung

zu $\vec{j}$ gehört $\vec{\mu}_{j}$

Auswahlregel: $\Delta j=0,\pm1,$ Übergang $j=0\rightharpoonup j=0$ verboten

Spin-Bahnkopplung nach Bohr

Biot-Savart

Magnetfeld von $+Ze$

$$\vec{B}_{l} =+\frac{Ze\mu_{0}}{4\pi r^{3}}\left[ \vec{\nu} \times\left( -\vec{r}\right) \right]$$

$$=-\frac{Ze\mu_{0}}{4\pi r^{3}}\vec{\nu} \times \vec{r}$$

da $\vec{\ell}=\vec{r} \times m\vec{\nu}$ ist $-\vec{\ell}=m \vec{\nu } \times \vec{r}$

$$\vec{B}_{\ell}=\frac{Ze\mu_{0}}{4\pi r^{3}m_{o}}\vec{\ell}$$

Rücktrafo: Faktor $\frac{1}{2}$ Thomasfaktor aus rel. Betrachtung

Spin präzediert um $\vec{B}_{\ell}$

Spinpräzession. Links Skizze, rechts Vektoraddition

$E_{\ell,s}=-\vec{\mu}_{s}\vec{B}$potentielle Energie

mit $g_{s}=2$

$$E_{\ell,s}2\frac{\ell}{2m_{0}}\left( \vec{s}\cdot\vec{B}\right) =\frac{Ze^{2}\mu_{o}}{8\pi m_{0}^{2}r^{3}}\left( \vec{s}\cdot\vec{l}\right)$$

(mit Thomaskorrektur)

$$E_{\ell,s} =\frac{a}{\hbar^{2}}\left\vert \vec{\ell}\right\vert \left\vert \vec{s}\right\vert \cos\left( \vec{\ell},\vec{s}\right)$$

$$a =\frac{Ze^{2}\mu_{0}\hbar^{2}}{8\pi m_{0}^{2}r^{3}}$$

$$E_{\ell,s} =\frac{a}{2\hbar^{2}}\left[ \left\vert j\right\vert ^{2}-\left\vert \ell\right\vert ^{2}-\left\vert s\right\vert ^{2}\right]$$

$$=\frac{a}{2}\left[ j\left( j+1\right) -\ell\left( \ell+1\right) -s\left( s+1\right) \right]$$

$r$ in $a$ ist $r_{n}$, der Radius der $n$-ten Bohrschen Bahn.

Dann ist

$$r_{n}=\frac{4\pi\epsilon_{0}\hbar^{2}n^{2}}{Ze^{2}m_{0}}$$

und

$$a\sim\frac{Z^{4}}{n^{6}}$$

und nach Mitteilung

$$a\sim\frac{Z^{4}}{n^{3}\ell\left( \ell+\frac{1}{2}\right) \left( \ell+1\right) }$$

p-Aufspaltung

Elektronenspin-Resonanz

Elektronenspinresonanz

$$\left\vert s\right\vert =\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,81$$

$$\cos\alpha=\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=54,73{{}^\circ}%%EndExpansion$$

$$\mu_{s}=\sqrt{s\left( s+1\right) }\mu_{B}\cdot g_{s}$$

$$\mu_{s,z}=\pm\frac{1}{2}g_{s}\mu_{B}$$

Energieunterschied $$

$$\Delta E=g_{s}\mu_{B}B_{0}$$

Situation von oben gesehen

Übergänge treten auf, wenn

$$\Delta E=h\nu=g_{s}\mu_{B}B_{0}$$

oder

$$\nu=2,806\cdot10^{10}\cdot B_{0}\cdot\frac{Hz}{Tesla}$$

Präzessionsfrequenz:

$$\omega_{\ell}=\frac{\left\vert \mu\right\vert \left\vert B_{0}\ri... ...t\vert }=\frac{\left\vert M\right\vert }{\left\vert L\right\vert }=\gamma B_{0}$$

Elektronen-Spin-Resonanz: Aufbau

Zeemann-Effekt

Versuch zur Vorlesung: Normaler Zeeman-Effekt: Berechnung von e/m (Versuchskarte AT-14)

Zeemann-Effekt klassisch

Lineare Schwingung schräg zum $\vec{B}$-Feld entspricht

1. lineare Schwingung parallel zu $\overset{\rightarrow}{B}_{0}$

2. linkszirkulare Schwingung

3. rechtszirkulare Schwingung

$\vec{B}$-Feld beeinflusst 1) nicht

2), 3) werden beschleunigt oder gebremst (Larmor-Frequenz)

$$\delta\omega=\frac{1}{2}\cdot\frac{e}{m_{0}}B_{0}=\frac{\mu_{B}}{\hbar}B_{0}$$

hier Bahndrehungspuls $g=1$

Kräftegleichgewicht im Atom

$$m_{0}\omega^{2}\vec{r}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{3}}\vec{r}$$

wir haben noch die Lorentz-Kraft

$$\begin{array}[c]{crcc}(a) & m_{0} \ddot{x}+m_{0}\omega_{0}^{... ... (c) & m_{0} \ddot{z}+m_{0}\omega_{0}^{2}z & = & 0 \end{array}$$

aus (c) folgt, dass $z=z_{0}\exp\left( i\omega_{o}t\right)$ unverändert bleibt.

Wir setzen $u=x+iy$ und $v=x-iy$

oder $x=\frac{u+v}{2} y=\frac{u-v}{2i}$

$$\begin{array}[c]{ccccc}(a) & \frac{m_{0}}{2}\left( \ddot{u}+\... ...v}\right) B_{0} & = & 0 & \left\vert \cdot2i\right. \end{array}$$

$$\begin{array}[c]{ccccc}(a) & m_{0}i\left( \ddot{u}+\ddot{v}\r... ...t) +ie\left( \dot{u}+\dot{v}\right) B_{0} & = & 0 & \end{array}$$

$$\begin{array}[c]{ccccc}(a) & m_{0}\left( \ddot{u}+\ddot{v}\ri... ...t) +ie\left( \dot{u}-\dot{v}\right) B_{0} & = & 0 & \end{array}$$

$$\begin{array}[c]{ccccc}(a)+(b) & 2m_{0}\ddot{u}+2m_{0}\omega_... ...0}\omega_{0}^{2}v-2ie \dot{v}\cdot B_{o} & = & 0 & \end{array}$$

Lösungen:

$$u =u_{0}\exp\left[ i\left( \omega_{0}-\frac{eB_{0}}{2m}\right) t\right]$$

$$v =v_{0}\exp\left[ i\left( \omega_{0}+\frac{eB_{0}}{2m}\right) t\right]$$

$$m_{0}\left( -\left( \omega_{0}-\frac{eB_{0}}{2m}\right) ^{2}\righ... ...2ie\left( i\left( \omega_{0}-\frac{eB_{0}}{2m_{0}}\right) \right) \right) B_{0} = 0$$

$$-m\omega_{0}^{2}-m\frac{e^{2}B_{0}^{2}}{4m_{0}^{2}}+2m_{0}\omega_... ...frac{eB_{0}}{2m}+m\omega_{0}^{2}-e\omega_{0}B_{0}+\frac{e^{2}B_{0}^{2}}{2m_{0}} = 0$$

$$-\frac{e^{2}B_{0}^{2}}{4m_{0}}+\frac{eB_{0}\omega_{0}}{1}-e\omega_{0}B_{0}+\frac{e^{2}B_{0}^{2}}{2m} = 0$$

$$-\frac{e^{2}B_{0}^{2}}{4m_{0}}+\frac{e^{2}B_{0}^{2}}{2m_{0}} = 0$$

das heisst, wenn $e^{2}B_{0}^{2}\ll m_{0}$ ist, wird die Gleichung gelöst.

Die Frequenz ändert sich wie

$$\omega\rightarrow\omega_{0}\pm\delta\omega$$

mit

$$\delta\omega=\frac{eB_{0}}{2m_{0}}$$

$$\delta\nu=\frac{\delta\omega}{2\pi}=\frac{1}{4\pi}\frac{eB_{0}}{m_{0}}=1,410^{10}Hz\hat{=}0,465cm^{-1}$$

$\implies$d.h. der klassische Zeemanneffekt bewirkt eine konstante Frequenzverschiebung.

$\implies$ Zeemann-Triplett $\Delta E=g_{j}\mu_{B}B_{0}$

normaler Zeemann-Effekt wenn $s$ und $\ell$ nicht koppeln.

anomaler Zeemanneffekt $s$ und $\ell$ koppeln

$g$-Faktoren der Terme sind unterschiedlich

$+\frac{1}{3}-\left( +1\right) =-\frac{2}{3}$

$+\frac{1}{3}-\left( -1\right) =+\frac{4}{3}$

$-\frac{1}{3}-\left( +1\right) =-\frac{4}{3}$

$-\frac{1}{3}-\left( -1\right) =-\frac{2}{3}$

$+\frac{6}{3}-\left( +1\right) =1$

$+\frac{6}{3}-\left( -1\right) =3$

$+\frac{2}{3}-\left( +1\right) =\frac{1}{3}$

$+\frac{2}{3}-\left( -1\right) =+\frac{5}{3}$

$-\frac{2}{3}-\left( +1\right) =-\frac{5}{3}$

$-\frac{2}{3}-\left( -1\right) =\frac{1}{3}$

$-\frac{6}{3}-\left( +1\right) =-3$

$-\frac{6}{3}-\left( -1\right) -1$

$-3-\frac{5}{3}-1-\frac{1}{3}\frac{1}{3}1\frac{5}{3}3$

$\frac{4}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{4}{3}$

Zeemann-Effekt, Quantenmechanik

Hamiltonoperator im Magnetfeld

Vermutung

$$\hat{H}_{frei} =\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+V\left( \vec{r}\right)$$

$$\hat{H}_{B} =\hat{H}_{frei}-\hat{\mu}\cdot\vec{B}$$

Rechnung mit kanonischen Impulsen

$$\vec{p} \rightarrow\left( \vec{p}+e \vec{A}\right) \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$$

$$\hat{H}_{B} =\frac{1}{2m_{0}}\left( \vec{p}+e \vec{A}\right) ^{2}+V\left( r\right)$$

$$=\frac{1}{2m_{0}}\left( \hat{p}^{2}+\hat{p}\left( e\vec{A}\right) +e \vec{A}\left( \hat{p}\right) +e^{2}\vec{A}^{2}\right) +V\left( r\right)$$

$$=H_{frei}+\frac{e}{2m_{0}}\left( \hat{p}\cdot\vec{A}+\vec{A}\cdot\vec{p}\right) +\frac{e^{2}}{2m_{0}}\vec{A}^{2}$$

$eA<p\Longrightarrow$vernachlässige $\left( e \vec{A}\right) ^{2}$Diamagnetismus

$$\hat{V}_{Zeemann}=-\hat{\mu}B=g\mu_{B}\frac{\hat{\ell}}{\hbar}\cdot\vec{B}=g\mu_{B}\frac{\hat{\ell}_{z}}{\hbar}B_{0}$$

mit

$$\vec{B}=B_{0}\vec{\ell}_{z}$$

Da die Eigenfunktion für $\hat{\ell}_{z}$ bekannt sind

Der Messwert einer Grösse ist durch

$$\int_{V}\psi_{n\ell m}^{\ast}\hat{\ell}_{z}\psi_{n\ell m}dV=\left\langle \hat{\ell}_{z}\right\rangle$$

definiert.

$$\Delta E_{Zeemann} =\left\langle g\mu_{B}B\frac{\ell_{z}}{\hbar }\right\rangle =\frac{g\mu_{B}B_{0}}{\hbar}\left\langle \ell_{z}\right\rangle$$

$$=g\mu_{B}\frac{B_{0}}{\hbar}\hbar m_{\ell}=\gamma B_{0}m_{\ell}=\hbar \omega_{L}m_{\ell}$$

mit $\left[ \hat{H}_{frei},\hat{V}_{Zee}\right] =0$

Tripletts, aber Dipol-Auswahlregeln erlauben nur

$$\Delta m=0,\pm1$$

Ca, Yb zeigen normalen Zeemann-Effekt, alle anderen Atome zeigen den anomalen Zeemann-Effekt.

Paschen-Back-Effekt

Paschen-Back-Effekt

hohes Magnetfeld

$\ell$ und $s$ koppeln nicht mehr

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