Unterabschnitte

Kinematik in drei Dimensionen

Massenpunkte im Raum

Die Lage eines Massenpunktes wird durch seinen Ortsvektor angegeben.

$\displaystyle \vec{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}[c]{r} x y z \end{array} \right)$ $\displaystyle \hat{=}$ $\displaystyle \left( \begin{array}[c]{r} r \varphi \theta \end{array} \right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}[c]{r} \rho \varphi z \end{array} \right)$    
    $\displaystyle \textrm{kartesisch}$   $\displaystyle \textrm{Kugel}$   $\displaystyle \textrm{ Zylinder}$      





\includegraphics[height=0.15\textheight]{mechanik-001} \includegraphics[height=0.15\textheight]{mechanik-002} \includegraphics[height=0.15\textheight]{mechanik-003}
Definition der Koordinatensysteme. Links: kartesisches System. Mitte: Zylinderkoordinaten. Rechts: Kugelkoordinaten





Bewegung im Raum

Ein Massenpunkt bewege sich am Hang einer Bahnlinie





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{mechanik-008}
Bewegung eines Massenpunktes.




Die Zeit $ t$ ist ein Parameter.

$\displaystyle \vec{r}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} x\left( t\right)   y\left( t\right)   z\left( t\right) \end{array} \right)$ (4.78)



Zeit Ortsvektor
$ t$ $ \vec{r}\left( t\right) $
$ t+\Delta t$ $ \vec{r}\left( t+\Delta t\right) $
Infinitesimale Bewegung


Verschiebung $ \Delta  \vec{r}=\vec{r}\left( t+\Delta t\right) -\vec{ r}\left(
t\right) $


Beispiel:


für Bewegungen im Raum


$\displaystyle \vec{r}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{c}
\alpha \cos t \\
b\sin t \\
ct
\end{array}\right) \text{Schraube}\end{displaymath}  
$\displaystyle \vec{r}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{c}
ae^{-\frac{t}{\tau }}\cos t \\
0 \\
be^{-\frac{t}{\tau }}\sin t
\end{array}\right) \text{Spirale}\end{displaymath}  
$\displaystyle \vec{r}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{c}
at \\
0 \\
bt-ct^{2}
\end{array}\right) \text{Wurfparabel}\end{displaymath}  
$\displaystyle \vec{r}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\omega t \\
0
\end{array}\right) \text{Kreisbahn, in Kugelkoordinaten}\end{displaymath}  

Abstand von Ursprung $ r=\left\vert \vec{r}\right\vert =\sqrt{ x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Geschwindigkeit

Definition:

$\displaystyle \vec{v}\left( t\right) =\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\f...
...) }{\Delta t}= \frac{d}{dt}\vec{r}\left( t\right) =\vec{\dot{r}}\left( t\right)$ (4.79)

In kartesischen Koordinaten mit

$\displaystyle \vec{r}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} r_{x}\left( t\right)   r_{y}\left( t\right)   r_{z}\left( t\right) \end{array} \right)$    

ist

$\displaystyle \vec{v}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} \frac{dr_{x}\left...
...\left( t\right) }{dt}   \frac{dr_{z}\left( t\right) }{dt} \end{array} \right)$ (4.80)

Wichtig: Die Geschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve.

Beispiel: Schraube

$\displaystyle \vec{r}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} a\cos t   b\sin...
...\right) =\left( \begin{array}{c} -a\sin t   b\cos t   c \end{array} \right)$    

Spirale

$\displaystyle \vec{r}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} ae^{-\frac{t}{\ta...
...{t}{\tau }}\cos t-\frac{b}{\tau }e^{\frac{-t}{\tau }}\sin t \end{array} \right)$    

Wurfparabel

$\displaystyle \vec{r}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} at   0   bt-c...
...}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} a   0   b-2ct \end{array} \right)$    

Der Betrag der Geschwindigkeit ist

$\displaystyle v\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert \vec{v}\left( t\right) \right\vert =\sqrt{ v_{x}^{2}\left( t\right)
+v_{y}^{2}\left( t\right) +v_{z}^{2}\left( t\right)
}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right) ^{2}+\left( \frac{dy}{dt}\right) ^{2}+\left( \frac{dz}{dt}\right) ^{2}}$  

Beschleunigung





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-009}
Berechnung der Beschleunigung aus der Geschwindigkeitsänderung




Definition der Beschleunigung

$\displaystyle \vec{a}\left( t\right) =\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\f...
...ft( t\right) }{dt}=\vec{\dot{v}}\left( t\right) = \vec{\ddot{r}}\left( t\right)$ (4.81)

Wichtig: $ \vec{a}\left( t\right) $ steht beliebig zur Bahn

Beispiel: Schraube

$\displaystyle \vec{v}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} -a\sin t   b\co...
...\right) =\left( \begin{array}{c} -a\cos t   b\sin t   0 \end{array} \right)$    

also ist $ \vec{a}\left( t\right) $ senkrecht auf $ \vec{v}\left( t\right) $, d.h. senkrecht auf der Bahntangente

Wurfparabel:

$\displaystyle \vec{v(}t)=\left( \begin{array}{c} a   0   b-2ct \end{array} ...
...{a}\left( t\right) =\left( \begin{array}{c} 0   0   -2c \end{array} \right)$    

Betrag

$\displaystyle a\left( t\right) =\sqrt{a_{x}^{2}\left( t\right) +a_{y}^{2}\left(...
... \ddot{x}\right) ^{2}+\left( \ddot{y} \right) ^{2}+\left( \ddot{z}\right) ^{2}}$    

Bewegung in Kugelkoordinaten *

Zur Erinnerung ist hier nochmals die Definition der Kugelkoordinaten:





\includegraphics[height=0.25\textheight]{mechanik-003}
Definition der Kugelkoordinaten




Ort

$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\sin \theta \cos \varphi$ (4.82)
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\sin \theta \sin \varphi \notag$ (4.83)
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\cos \theta \notag$ (4.84)

mit


$\displaystyle r^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}$  
$\displaystyle \cos \theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z}{r}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$  
$\displaystyle \tan \varphi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y}{x}$  

Die Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten ist


$\displaystyle v_{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{x}\sin \theta \cos \varphi +v_{y}\sin \theta \sin \varphi
+v_{z}\cos \theta =\dot{r}$ (4.85)
$\displaystyle v_{\theta }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{x}\cos \theta \cos \varphi +v_{y}\cos \theta \sin \varphi
-v_{z}\sin \theta =r \dot{\theta} \notag$ (4.86)
$\displaystyle v_{\varphi }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -v_{x}\sin \varphi +v_{y}\cos \varphi =r\sin \theta  \dot{
\varphi} \notag$ (4.87)
$\displaystyle v^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}^{2}+r^{2}\left( \dot{\theta}^{2}+\sin ^{{2}}\theta  \dot{ \varphi}^{2}\right) \notag$ (4.88)

Schliesslich ist die Beschleunigung in Kugelkoordinaten

$\displaystyle a_{r}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{x}\sin \theta \cos \varphi +a_{y}\sin \theta \sin \varphi
+a_z\cos \theta =$ (4.89)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ddot{r}-r\left( \dot{\theta}^{2}+\sin ^{2}\theta  \dot{\varphi}
^{2}\right)$  
$\displaystyle a_{\theta }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{x}\cos \theta \cos \varphi +a_{y}\cos \theta \sin \varphi
-a_{z}\sin \theta =$ (4.90)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle r \ddot{\theta}-r\sin \theta \cos \theta  \dot{\varphi}^{2}+2 \dot{r}\
\dot{\theta}$  
$\displaystyle a_{\varphi }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -a_{x}\sin \varphi +a_{y}\cos \varphi =$ (4.91)
$\displaystyle $   $\displaystyle r\sin \theta \cdot \ddot{\varphi}+2 \dot{\varphi}\left( \dot{r}\cdot \sin
\theta +r\cos \theta  \dot{\theta}\right)$  
$\displaystyle a^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{r}^{2}+a_{\theta }^{2}+a_{\varphi }^{2}$ (4.92)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2 \cos \left( \theta \right) {r}^{2}\sin \left( \theta \right) ...
...ight) { \dot{\theta}} { \dot{\phi}} \sin \left( \theta
\right) { \ddot{\phi}}$  
$\displaystyle $   $\displaystyle +4 \cos
\left( \theta \right) r\sin \left( \theta \right) {{ \do...
...4 {{ \dot{r}}}^{2}{{ \dot{\theta}}}^{2}+4 {{ \dot{r}}}^{2}{{
\dot{\phi}}}^{2}$  
$\displaystyle $   $\displaystyle +2 r{{ \dot{\phi}}}^{2 } \left( \cos \left( \theta \right) \righ...
...
\right) \right) ^{2}+{{ \ddot{r}}}^{2}-2 { \ddot{r}} r{{ \dot{\theta}}}^{
2}$  
$\displaystyle $   $\displaystyle -2 { \ddot{r}} r{{ \dot{\phi}}}^{2}+{r}^{2}{{ \dot{\theta}}}^{4...
...eft( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}{{ \dot{r}}}^{2}{{ \dot{\phi}}}^{2}$  
$\displaystyle $   $\displaystyle -4 
\left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}{ \dot{r}} { ...
...hi}}- \left( \cos
\left( \theta \right) \right) ^{2}{r}^{2}{{ \ddot{\phi}}}^{2}$  

Eine Ableitung der Gleichungen befindet sich im Anhang G.

Planare Kreisbewegung mit konstantem Radius

$ _{}$

Wir betrachten eine Bewegung in der $ xy$-Ebene





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{mechanik-010}
Bewegung in einer Ebene




Definitionen

Der Ortsvektor ist:

$\displaystyle \vec{r}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) ...
...i \left( t\right) \\
r\sin \varphi \left( t\right) \\
\end{array} \right)
$ (4.93)
$\displaystyle x\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\cos \varphi \left( t\right)    y\left( t\right) =r\sin \varphi \left(
t\right) \notag$ (4.94)

Daraus erhalten wir unter der Annahme, dass $ r$ konstant sei, die Winkelgeschwindigkeit:

Definition: $ \omega \left( t\right) =\frac{d}{dt}\varphi \left( t\right) $

(Alle Rechnungen müssen im Bogenmass durchgeführt werden.)

Die Geschwindigkeit ist


$\displaystyle \vec{v}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d\vec{r}\left( t\right) }{dt}$ (4.95)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(
\begin{array}{c}
v_{x}\left( t\right) \\
v_{y}\left( t\right) \\
\end{array} \right) \notag $ (4.96)
$\displaystyle v_{x}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( r\cos \varphi \left( t\right)
\right) \notag$ (4.97)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -r\sin \varphi \left( t\right) \cdot \frac{d\varphi \left( t\right) }{dt}
\notag$ (4.98)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -r\omega \left( t\right) \sin \varphi \left( t\right) \notag$ (4.99)
$\displaystyle v_{y}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( r\sin \varphi \left( t\right)
\right) \notag$ (4.100)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\cos \varphi \left( t\right) \omega \left( t\right) \notag$ (4.101)

also

$\displaystyle \vec{v}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\omega \left( t\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin\varphi \left( t\right) \\
\cos \varphi \left( t\right) \\
\end{array} \right)$ (4.102)
$\displaystyle v\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\omega \left( t\right)$ (4.103)

Die Radialkomponente der Geschwindigkeit ist

$\displaystyle \vec{v}_{r}=v_{x}\left( t\right) \cos \varphi \left( t\right) +v_{y}\left( t\right) \sin \varphi \left( t\right) =0$ (4.104)

die Tangentialkomponente ist

$\displaystyle v_{t}=-v_{x}\left( t\right) \sin \varphi \left( t\right) +v_{y}\left( t\right) \cos \varphi \left( t\right) =v\left( t\right)$ (4.105)

Für die Beschleunigung erhalten wir

$\displaystyle a\left( t\right) =\frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}= \left( \be...
...t( t\right) }{dt}   \frac{dv_{y}\left( t\right) }{dt}   \end{array} \right)$ (4.106)

mit

$\displaystyle \frac{dv_{x}\left( t\right) }{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( -r\omega \left( t\right) \sin \varphi \left( t...
...left( t\right) -\omega \left( t\right) ^{2}\cos
\varphi \left( t\right) \right)$ (4.107)
$\displaystyle \frac{dv_{y}\left( t\right) }{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( r\omega \left( t\right) \cos \varphi \left( t\...
...\right) -\omega \left( t\right) ^{2}\sin \varphi
\left( t\right) \right) \notag$ (4.108)

also ist

$\displaystyle \vec{a}\left( t\right) =$ $\displaystyle r \dot{\omega}\left( t\right) \left(
\begin{array}{c}
-\sin \varphi \left( t\right) \\
\cos \varphi \left( t\right) \\
\end{array} \right)$ $\displaystyle -r\omega ^{2}\left( t\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos \varphi \left( t\right) \\
\sin \varphi \left( t\right) \\
\end{array} \right)
$ (4.109)
$\displaystyle $ Tangentialkomponente Radialkomponente$\displaystyle \notag$ (4.110)

also ist $ a_{r}=-r\omega ^{2}\left( t\right) $ die ins Zentrum gerichtete Zentripetalbeschleunigung

und $ a_{\varphi }=r \dot{\omega}\left( t\right) $ die den Geschwindigkeitsbetrag erhöhende Tangentialbeschleunigung

mit dem Betrag der Beschleunigung $ a=r\sqrt{\omega ^{4}+\left( \dot{\omega} \right) ^{2}}$

Beschreibung einer ebenen Bewegung mit komplexen Zahlen *

$ _{}$

Die obige Rechnung kann sehr viel bequemer mit komplexen Zahlen durchgeführt werden.





\includegraphics[width=0.9\textwidth]{mechanik-011}
Kartesische und komplexe Ebene




Es gelten die Beziehungen

$\displaystyle z=x+iy$ $\displaystyle =r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)$ (4.111)
$\displaystyle x$ $\displaystyle =r\cos \varphi$ (4.112)
$\displaystyle y$ $\displaystyle =r\sin \varphi$ (4.113)

Es gilt:


$\displaystyle e^{i\varphi }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos \varphi +i\sin \varphi$ (4.114)
$\displaystyle \mathrm{Re}\left( e^{i\varphi }\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos \varphi$ (4.115)
$\displaystyle \mathrm{Im}\left( e^{i\varphi }\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin \varphi$ (4.116)

daher ist auch

$\displaystyle \frac{e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\cos \varphi +i\sin \varphi
+\cos \left( -\varphi \right) +i\sin \left( -\varphi \right) }{2}$ (4.117)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos \varphi ^{2} \notag$ (4.118)
$\displaystyle \frac{e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\cos \varphi +i\sin \varphi
-\cos \left( -\varphi \right) -i\sin \left( -\varphi \right) }{2i} \notag$ (4.119)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin \varphi \notag$ (4.120)

Eine Kreisbahn wird mit komplexen Zahlen durch


$\displaystyle z\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x\left( t\right) +iy\left( t\right) =re^{i\varphi \left(
t\right) }$ (4.121)
$\displaystyle \left\vert z\left( t\right) \right\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( z\left( t\right) \cdot \bar{z}\left( t\right) \right)
^{\frac{1}{2}}=r \notag$ (4.122)

beschrieben. Wir erhalten die konjugiert komplexe Grösse

$\displaystyle \bar{z}\left( t\right) =x\left( t\right) -iy\left( t\right)$ (4.123)

Geschwindigkeit ist dann

$\displaystyle v\left( t\right)$ $\displaystyle =v\left( t\right) +iv_{y}\left( t\right)$ (4.124)
  $\displaystyle =\frac{d}{dt} z\left( t\right)$    
  $\displaystyle =\frac{d}{dt}\left( re^{i\varphi \left( t\right) }\right)$    
  $\displaystyle =r i e^{i\varphi \left( t\right)}\cdot\frac{d\varphi \left( t\right) }{dt}$    
  $\displaystyle =i\omega \left( t\right) z\left( t\right)$    

wobei $ \omega \left( t\right) =\dot{\varphi}\left( t\right) $ die Winkelgeschwindigkeit ist.

Die Beschleunigung ist


$\displaystyle a\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{x}\left( t\right) +ia_{y}\left( t\right)$ (4.125)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d^{2}}{dt^{2}}z\left( t\right) \notag$ (4.126)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( i\omega \left( t\right) z\left( t\right) \right)
\notag$ (4.127)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle i\frac{d\omega \left( t\right) }{dt}z\left( t\right) +i\omega \left(
t\right) \cdot i\omega \left( t\right) z\left( t\right) \notag$ (4.128)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle i\frac{d\omega \left( t\right) }{dt}z\left( t\right) -\omega ^{2}\left( t\right) z\left( t\right) \notag$ (4.129)

Der erste Summand ist wieder die Tangentialbeschleunigung, während der zweite die Zentripetalbeschleunigung beschreibt

Kinematik bezogen auf die Bahn des Massenpunktes *





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-012}
Definition des Tangenteneinheitsvektors $ \vec{\tau}$ und des Normaleneinheitsvektors $ \vec{n}$.




Um die Kinematik in drei Dimensionen berechnen zu können, müssen wir die Differentialgeometrie von Bahnen verstehen. Wir definieren den Ortsvektor als

$\displaystyle \vec{r=}\left( \begin{array}{c} x   y   z \end{array} \right)$ (4.130)

Für eine infinitesimale Strecke ist der zurückgelegte Weg

$\displaystyle ds=\left\vert d\vec{r}\right\vert =\sqrt{dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ (4.131)

Durch Integration bekommt man die gesamte Strecke

$\displaystyle s=\int\limits_{\vec{r}_{anfang}}^{\vec{r}_{ende}}ds=\int\limits_{ \vec{r}_{anfang}}^{\vec{r}_{ende}}\sqrt{dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ (4.132)

Die Bahn (Trajektorie) des Massenpunktes wird durch die Streckenlänge $ s$ auf der Bahn bestimmt. Diese Definition ist ähnlich wie die im täglichen Leben übliche, ausser dass dort in der Regel Richtungen nicht berücksichtigt werden.

$\displaystyle \vec{r}\left( s\right) =\left( \begin{array}{c} x\left( s\right)   y\left( s\right)   z\left( s\right) \end{array} \right)$ (4.133)

Der Tangentenvektor ist

$\displaystyle \vec{\tau }\left( s\right) =\frac{d\vec{r}\left( s\right) }{ds}$ (4.134)

wobei $ \left\vert \vec{\tau }\left( s\right) \right\vert =1$ ist.

Beweis:
Die Tangentialrichtung ist durch $ \vec{\tau =}\underset{\Delta s\rightarrow 0}{\lim
}\frac{\vec{r}\left( s+\Delta s\right) -\vec{r}\left( s\right) }{\Delta s}$ gegeben. Also ist

$\displaystyle \left\vert \vec{\tau }\left( s\right) \right\vert =\left\vert \fr...
...}\right\vert =\frac{\left\vert d\vec{r}\right\vert }{ds} =\cdot \frac{ds}{ds}=1$ (4.135)

Den Einheitsvektor senkrecht auf die Bahn (auch Bahnnormale genannt) $ \vec{n}\left( s\right) $ und den Krümmungsradius $ R\left( s\right) $ bekommt man aus $ \vec{\tau }\left( s\right) $ durch Ableitung

$\displaystyle \frac{d\vec{\tau }\left( s\right) }{ds}=\frac{\vec{n}\left( s\right) }{ R\left( s\right) } $   mit$\displaystyle      \left\vert \vec{n}\left( s\right) \right\vert =1$ (4.136)

Beweis:

$\displaystyle \left( \vec{\tau }\left( s\right) \right) ^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{\tau }\left(
s\right) \cdot \vec{\tau }\left( s\right) =1$ (4.137)
$\displaystyle \frac{d}{ds}\left( \vec{\tau }\left( s\right) \right) ^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\vec{ \tau }\left( s\right) \cdot \frac{d\vec{\tau
}\left( s\right) }{ds}=0$ (4.138)

also ist $ \vec{\tau }\left( s\right) $ senkrecht zur Ableitung bezogen auf die Streckenlänge der Bahn $ \frac{d\vec{\tau }\left( s\right) }{ds} $.





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{mechanik-013}
Berechnung des Krümmungsradius




Betrachtet man den an die Bahn geschmiegten Krümmungsradius $ R\left( s\right) $, so kann aus der Wegstrecke eine Winkeländerung berechnet werden.

$\displaystyle \Delta s=R\left( s\right) \cdot \Delta \varphi$    

Wir erhalten für die Änderung des Normalenvektors aus dem Strahlensatz

$\displaystyle \frac{\left\vert \Delta \vec{\tau }\left( s\right) \right\vert }{...
...t\vert    \textrm{da} \left\vert \vec{\tau }\left( s\right) \right\vert =1!$ (4.139)

also ist

$\displaystyle \frac{1}{R\left( s\right) }=\left\vert\frac{\Delta \vec{\tau }\left( s\right) }{ \Delta s}\right\vert$ (4.140)

und

$\displaystyle R(s) = \frac{1}{\left\vert\frac{d\vec{\tau }\left( s\right) }{ds}\right\vert}$ (4.141)

Bahnbewegung *

$ _{}$

Wir zerlegen die Beschleunigung in ihre Tangentialkomponente $ \vec{\tau}$ und die Radialkomponente $ \vec{n}$.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-014}
Tangentialbeschleunigung $ \vec{a}_\tau$ und Zentripetalbeschleunigung $ \vec{a}_n$.




Die Änderung des Ortsvektor $ \vec{r}\left( s\right) $ erhalten wir aus der Differentialgeometrie. Wir nennen $ s\left( t\right) $ den Fahrplan. Also ist der Ortsvektor auch eine Funktion der Zeit $ \vec{r}\left(
s\left( t\right) \right) $

Die Geschwindigkeit ist durch

$\displaystyle \vec{v}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\left( t\right) \cdot \vec{\tau }\left(
t\right)$ (4.142)
$\displaystyle v\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{ds\left( t\right) }{dt}$ (4.143)

definiert.

Beweis:

$\displaystyle \vec{v}\left( t\right) =\frac{d\vec{r}\left( s\left( t\right) \ri...
...\frac{ds}{dt}=\vec{\tau }\left( s\left( t\right) \right) \cdot v\left( t\right)$ (4.144)

Bemerkung : Dies ist die Definition der Geschwindigkeit, die wir üblicherweise geben würden, aber ohne auf die Richtung $ \vec{\tau }\left( s\left( t\right) \right) $ zu achten.

Die Beschleunigung ist:

$\displaystyle \vec{a}\left( t\right) =\vec{a}_{\tau }\left( t\right) +\vec{a}_{...
...t) +\frac{v^{2}\left( t\right) }{R\left( t\right) }\cdot \vec{n}\left( t\right)$ (4.145)

$ \vec{a}_{\tau }$ heisst die Tangentialbeschleunigung

$ \vec{a}_{r}$ heisst die Zentripetalbeschleunigung

Beweis:

$\displaystyle \vec{a}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\vec{v}\left( t\right) =\frac{d }{dt}\left\{ \vec{\tau }\left( t\right)
\cdot v\left( t\right) \right\}
\notag$ (4.146)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d\vec{\tau }}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}\cdot v\left( t\right) +
\vec{\tau }\left( t\right) \frac{dv\left( t\right) }{dt} \notag$ (4.147)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{n}\left( t\right) }{R\left( t\right) }\cdot v\left( t\right) ^{2}+\vec{\tau }\left( t\right)
\frac{dv\left( t\right) }{dt}$ (4.148)

Bemerkung: Wenn wir eine gekrümmte Bahn haben, also $ R\left( t\right) <\infty $ (Kurve), gibt es die Zentripetalbeschleunigung, sogar wenn $ \frac{ dv\left( t\right) }{dt}=0$ ist.

Bewegung eines Massenpunktes auf einer ebenen Bahn *

$ _{}$

Wir setzen:

$\displaystyle \vec{r}$ $\displaystyle \vec{=}\left( \begin{array}{c} x  y  \end{array} \right)$ (4.149)
$\displaystyle \vec{v}=\vec{\dot{r}}$ $\displaystyle \vec{=}\left( \begin{array}{c} \dot{x}  \dot{y}  \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} v_{x}  v_{y}  \end{array} \right)$ (4.150)
$\displaystyle \vec{a}=\vec{\ddot{r}}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{c} \ddot{x}  \ddot{y}  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_{x}  a_{y}  \end{array} \right)$ (4.151)

Wegelement:

$\displaystyle ds=\sqrt{d_{x}^{2}+d_{y}^{2}}=\sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right) ^...
...}\right) ^{2}}dt=\sqrt{\left( \dot{x}\right) ^{2}+\left( \dot{y}\right) ^{2}}dt$ (4.152)

Tangentenvektor:

$\displaystyle \vec{\tau}= \left( \begin{array}{c} \dfrac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}...
...}}}   \dfrac{\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}   \end{array} \right)$ (4.153)

da $ \left\vert \vec{\tau}\right\vert =1$

Normalenvektor:

$\displaystyle \vec{n}= \left( \begin{array}{c} \dfrac{-\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^{...
...}}}   \dfrac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}   \end{array} \right)$ (4.154)

Krümmungsradius:

$\displaystyle R=\frac{\left( \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)^{3/2} }{\dot{x} \ddot{y}-\ddot {x} \dot{y}}$ (4.155)

Betrag von $ \vec{v}$:

$\displaystyle v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}$ (4.156)

Tangentialbeschleunigung

$\displaystyle a_{\tau}=\frac{\dot{x} \ddot{x}+\dot{y} \ddot{y}}{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot {y}^{2}}}$ (4.157)

Zentripetalbeschleunigung

$\displaystyle a_{n}=\frac{\dot{x} \ddot{y}-\ddot{x} \dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y} ^{2}}}=\frac{v^{2}}{R}$ (4.158)

Kontrolle

$\displaystyle \vec{a=}\left( \begin{array}{c} a_{x}   a_{y}   \end{array} \right)=\vec{\tau}\cdot a_{t}+\vec{n\cdot}a_{n}$ (4.159)

x-Komponente

$\displaystyle a_{x}=$ $\displaystyle \frac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}\frac{\dot{x}  \dd...
...2}}}\frac{\dot{x} \ddot{y}-\ddot{x} \dot{y} }{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\dot{x}^{2}\ddot{x}+\dot{y}^{2}\ddot{x}}{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}$ (4.160)
$\displaystyle =$ $\displaystyle \ddot{x}$ (4.161)

y-Komponente

$\displaystyle a_{y}$ $\displaystyle =\frac{\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}\frac{\dot{x}  \d...
...2}}}\frac{\dot{x} \ddot{y}-\ddot{x} \dot{y} }{\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}}$ (4.162)
  $\displaystyle =\ddot{y}$ (4.163)

Beispiel:

Schlangenlinie beschleunigt

$\displaystyle x\left( t\right)$ $\displaystyle =\frac{1}{2}at^{2}$ $\displaystyle \dot{x}\left( t\right)$ $\displaystyle =at$ $\displaystyle \ddot{x}\left( t\right)$ $\displaystyle =a$ (4.164)
$\displaystyle y\left( t\right)$ $\displaystyle =y_{0}\sin\omega t$ $\displaystyle \dot{y}\left( t\right)$ $\displaystyle =y_{0} \cos\omega t$ $\displaystyle \ddot{y}\left( t\right)$ $\displaystyle =-y_{0}\sin\omega t$   (4.165)

$\displaystyle \vec{\tau}$ $\displaystyle \vec{=}\frac{1}{\sqrt{a^{2}t^{2}+y_{0}^{2}\omega^{2} \cos^{2}\ome...
...} \left( \begin{array}{c} at  \omega y_{0}\cos\omega t  \end{array} \right)$ (4.166)
$\displaystyle \vec{n}$ $\displaystyle \vec{=}\frac{1}{\sqrt{a^{2}t^{2}+y_{0}^{2}\omega^{2}\cos ^{2}\ome...
... \left( \begin{array}{c} -\omega y_{0}\cos\omega t  at  \end{array} \right)$ (4.167)

$ \vec{\tau}$ wird mit zunehmendem $ t$ parallel zur $ x$-Achse, $ \vec{n}$ wird parallel zur $ y$-Achse

Der Krümmungsradius ist

$\displaystyle R=\frac{\left( a^{2}t^{2}+y_{0}^{2}\omega^{2}\cos^{2}\omega t\right) ^{\frac{3}{2}}}{-ay_{0}t_{0}\omega^{2}\sin t-ay_{0}\omega\cos t}$ (4.168)

Der Betrag der Geschwindigkeit wird

$\displaystyle \left\vert v\right\vert =v=\left( a^{2}t^{2}+y_{0}^{2}\omega^{2}\cos ^{2}t\right) ^{\frac{1}{2}}$ (4.169)

Die Tangentialbeschleunigung (Änderung des Geschwindigkeitsbetrages) ist

$\displaystyle a_{\tau}=\frac{a^{2}t-y_{0}^{2}\omega^{3}\sin t\cos t}{\sqrt{a^{2}t^{2} +y_{0}^{2}\omega^{2}\cos^{2}t}}$ (4.170)

und

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty}a_{\tau}=a
$

Die Normalbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) ist.

$\displaystyle a_{n}=\frac{-aty_{0}\omega^{2}\sin t-ay_{0}\omega\cos t}{\sqrt{a^{2} t^{2}+y_{0}^{2}\omega^{2}\cos^{2}t}}$ (4.171)

Der Grenzwert wird

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty}a_{n}=-y_{0}\omega^{2}\sin t
$

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm