Erhaltungssätze und Erhaltungsgrössen

Impulserhaltung

Wir nennen die Grösse

$$\vec{p}_i = m_i\cdot \vec{v}_i$$ (4.172)

Impuls.

Allgemein gilt

$$\sum\limits_{i=1}^n m_i\cdot \vec{v}_i = \sum\limits_{i=1}^n m_i\cdot \vec{v}_i'$$ (4.173)

Das heisst:

In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgrösse.

Dabei wird jede Impulskoordinate einzeln erhalten. In kartesischen Koordinatensystemen sind dies die Impulse in die $x$-, $y$- und $z$-Richtung. In Kugelkoordinaten sind dies die Impulse in der $r$-, $\theta$- und $\phi$-Richtung. Im Detail besprechen wir die Konsequenzen der Impulserhaltung im Abschnitt 4.4.

Kinetische Energie

Wir nennen die Grösse

$$E_{kin\text{,} i} = \frac{1}{2m_i}\cdot \vec{p}_i^2 = \frac{m_i}{2}\cdot \vec{v}_i^2$$ (4.174)

kinetische Energie.

Allgemein gilt

$$\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2m_i}\cdot \vec{p}_i^2 = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2m_i}\cdot \vec{p}_i'^2$$ (4.175)

Potentielle Energie

Unter potentieller Energie verstehen wir die Möglichkeit, Arbeit zu leisten, wobei wir die Energie, die in der Bewegung ist, ausklammern. Arbeit im physikalischen Sinne ist

$$dW = \vec{F}_{ext}\cdot d\vec{s}$$ (4.176)

Wir betrachten also nur die Komponente der Kraft $\vec{F}_{ext}$, die entlang des Wegelementes $d\vec{s}$ liegt.

Nun ist die Kraft, die das System aufbringt, die Kraft, gegen die wir arbeiten müssen, $\vec{F}=-\vec{F}_{ext}$. Die im System gespeicherte Energie ist deshalb

$$dW = \vec{F}_{ext}\cdot d\vec{s}= -\vec{F}\cdot d\vec{s}$$ (4.177)

Damit ist die potentielle Energie definiert durch

$$E_{pot}= -\int\limits_{s_1}^{s_2} \vec{F}\cdot d\vec{s}$$ (4.178)

Einheit der potentiellen Energie : $1Joule=1Nm$

Kraftfelder

Versuch zur Vorlesung: Energieerhaltung (Versuchskarte M-093)

Link zur Vorlesung:(Bahn eines geworfenen Balles)

Definition eines Kraftfelds:
Ein Kraftfeld ist ein Gebiet $G$, in dem die Kraft $\vec{F}$ existiert. $\vec{F}$ hängt dabei eindeutig vom Ort $\vec{r}$ ab.

$$\vec{F}=\vec{F}\left( \vec{r}\right)$$ (4.179)

Beispiel: Gravitation, Magnetfeld, Feder

Kraftfelder können zeitabhängig sein.

Feldlinien

Feldlinien $\vec{r}_{Fl}\left( s\right)$ sind Kurven, die in jedem Punkt parallel zu $\vec{F}\left( \vec{r}\left( s\right) \right)$sind.

Feldlinien

$$\vec{F}\left( \vec{r}_{Fl}\left( s\right) \right) = F\left( \vec{r}_{Fl}\left( s\right) \right) \cdot\vec{\tau }_{Fl}\left( s\right)$$

$$\vec{\tau}_{Fl} =\frac{d\vec{r}_{Fl}}{ds}$$ (4.180)

Beispiel Gummiband
Die Länge sei $l_{0}$
Das Feldlinienbild ergibt sich aus $F=k\left( l-l_{0}\right)$

Gummiband als Kraftfeldquelle

Konservative Kraftfelder

Arbeit verschwindet auf jedem geschlossenen Weg Arbeit ist unabhängig vom Weg Das Kraftfeld ist wirbelfrei Es existiert eine potentielle Energie

$\left\} \begin{array}{c} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \text{äquivalent}\right.$

Arbeit auf einem geschlossenen Weg

Definition: Sei $\vec{F}\left( \vec{r}\right)$ statisch, das Gebiet $G$ sei einfach zusammenhängend

Berechnung der potentiellen Energie auf einer geschlossenen Bahn $b$ in einem einfach-zusammenhängenden Gebiet $G$.

$\vec{F}\left( \vec{r}\right)$ ist konservativ, wenn

$$W\left( A,A,b\right) =W\left( \vec{r}_{1},\vec{r}_{1},b\right) =-\oint\limits_{\vec{r}_{1}\text{auf Bahn }b}\vec{F}\left( \vec{r}\right) d\vec{r=0}$$ (4.181)

unabhängig von $b$ gleich null ist

Unabhängigkeit der Arbeit vom Weg

Unabhängigkeit der potentiellen Energie vom Weg.

$$W\left( \vec{r}_{1},\vec{r}_{2},b_{1}\right) -W\left( \vec{r}_{1},\vec{r}_{2},b_{2}\right) =$$

$$W\left( \vec{r}_{1},\vec{r}_{2},b_{1}\right) +W\left( \vec{r}_{2},\vec{r}_{1},b_{2}\right) =$$

$$W\left( \vec{r}_{1},\vec{r}_{1},b_{1}+b_{2}\right) = 0$$ (4.182)

wegen der Tatsache, dass in einem konservativen Kraftfeld die Arbeit auf jedem geschlossenen Weg null ist.

Wirbelfreiheit konservativer Kraftfelder *

Wirbelfreiheit konservativer Felder.

Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{F}\left( \vec{r}\right) =0$$ (4.183)

Nach Stokes gilt

$$\oint\limits_{\vec{r}_{1},b}\vec{F}\left( \vec{r}\right) d\vec{r=... ...s} {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{F}\left( \vec{r}\right) \cdot\vec{n}da=0$$ (4.184)

da $b$ beliebig ist und auf einer beliebigen Bahn $b$ das Linienintegral entlang eines geschlossenen Weges verschwindet, muss ${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{F}=0$ gelten.

Potentielle Energie und Arbeitsvermögen

Die potentielle Energie ist eindeutig definiert, da in einem konservativen Kraftfeld $W$ unabhängig von $b$ ist.

Potentielle Energie und Arbeit der Feldkraft $\vec{F}_{sys}$

$${W}\left( \vec{r}_{1},\vec{r}_{2},b\right) =E_{pot}\left( \vec{r}_{1}\right) -E_{pot}\left( \vec{r}_{2}\right)$$ (4.185)

$E_{pot}$ ist das Arbeitsvermögen der Feldkraft.

Berechnung des Arbeitsvermögens der Feldkraft.

Beweis:

$E_{pot}$ sei bezüglich $\vec{r}_{0}$ definiert. Das heisst, dass

$$E_{pot}(\vec{r}) = -\int\limits_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{F}_{sys} \cdot d\vec{s}$$

ist. Die Arbeit, die das System leistet (nicht die Arbeit gegen die Feldkraft!) ist

$${W}\left( \vec{r}_{1},\vec{r}_{2},b\right) =\int \limits_{\vec{r}_{1},b}^{\vec{r}_{2}}\vec{F}_{sys}\left( \vec{r}\right) d\vec{r}$$

$$=\int\limits_{\vec{r}_{1},b_{1}}^{\vec{r}_{0}}\vec{F}_{sys}\left(... ...s_{\vec{r}_{0},b_{2}} ^{\vec{r}_{2}}\vec{F}_{sys}\left( \vec{r}\right) d\vec{r}$$

$$=-\int\limits_{\vec{r}_{0},b_{1}}^{\vec{r}_{1}}\vec{F}_{sys}\left... ...s_{\vec{r}_{0},b_{2}} ^{\vec{r}_{2}}\vec{F}_{sys}\left( \vec{r}\right) d\vec{r}$$

$$=E_{pot}\left( \vec{r}_{1}\right) -E_{pot}\left( \vec{r}_{2}\right)$$ (4.186)

Beispiel: Die Gravitation in Erdnähe wird durch das Kraftgesetz

$$\vec{F}=m\vec{g}=const$$ (4.187)

beschrieben.

Koordinatensystem zur Berechnung der Arbeit des Gravitationsfeldes

Die dazugehörige potentielle Energie ist

$$E_{pot}=-\int\limits_{0}^{z}Fdz=-\int\limits_{0}^{z}-mgdz=-Fz=mgz$$ (4.188)

$mgh$ ist nicht die Definition der potentiellen Energie, sondern ein Spezialfall.

Energieerhaltung mechanischer Systeme *

Versuch zur Vorlesung: Energieerhaltung (Versuchskarte M-093)

Wir betrachten ein System, dessen Energie konstant ist.

$$E_{tot} = E_{kin} + E_{pot} + E_{innen} = konstant$$ (4.189)

Dabei ist $E_{innen}$ die noch unspezifizierte innere Energie eines Teilchens. Für Massenpunkte ist $E_{innen}=0$.

Die Konstanz der gesamten Energie $E_{tot}$ bedeutet, dass deren zeitliche Ableitung null sein muss

$$\frac{d E_{tot}}{dt} = 0$$ (4.190)

Diese Gleichung ist ein Ausdruck des Hamiltonschen Prinzips, dass die Gesamtenergie konstant sei. Im Einzelnen hat man

$$0 = \frac{d E_{kin}}{dt}+\frac{dE_{pot}}{dt}+\frac{dE_{innen}}{dt}$$ (4.191)

Nehmen wir nun an, dass die innere Energie konstant sei (z.B. Massenpunkte). Dann ist

$$0 = \frac{d E_{kin}}{dt}+\frac{dE_{pot}}{dt}$$ (4.192)

Die Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt. Als Beispiel nehmen wir an, dass

$$E_{pot} = E_0\left(1-e^{-\vec{r}^2/r_0^2}\right)=E_0\left(1-e^{-\left(r_x(t)^2+r_y(t)^2+r_z(t)^2\right)/r_0^2}\right)$$

sei. Die kinetische Energie ist entsprechend

$$E_{kin} = \frac{1}{2}m\left(\frac{\partial \vec{r}(t)}{\partial t... ...{\partial t}\right)^2+ \left(\frac{\partial r_z(t)}{\partial t}\right)^2\right]$$

Aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält man dann

$$\begin{multline}0 = \frac{1}{2}m \left[ 2 \left( {\frac {d}{dt}}{ r_x} \left( ... ...r_z} \left( t \right) \right) ^{2}}{{{ r_0}}^{2}}}}}{{ r_0}^{2}} \end{multline}$$

Diese Gleichung kann auch mit Vektoren geschrieben werden. Wir setzen

$$\dot{\vec{r}}= \left( \begin{array}{c} \frac {d}{dt}{ r_x} \\ \... ... \frac {d^2}{dt^2}{ r_y} \\ \frac {d^2}{dt^2}{ r_z} \\ \end{array}\right)$$

und erhalten

$$0= m \dot{\vec{r}}\cdot\ddot{\vec{r}} +\frac{ 2E_0}{{ r_0}^{2}}\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}} e ^{-{\frac { \vec{r}^2}{{{ r_0}}^{2}}}}$$

Für $\dot{\vec{r}}\neq 0$ kann die Bewegungsgleichung als

$$0= m \ddot{\vec{r}} +\frac{ 2E_0}{{ r_0}^{2}}\vec{r}e^{-{\frac { \vec{r}^2}{{{ r_0}}^{2}}}}$$ (4.193)

geschrieben werden.

Arbeit und Leistung *

Versuch zur Vorlesung: Arbeit an der schiefen Ebene (Versuchskarte M-094)

Beispiel Hebel

$\Delta y=\Delta x$	$\Delta y=2\Delta x$
$F_{0}=mg$	$F_{0}=\frac{1}{2}mg$
$\Delta y\cdot F_{0}=\Delta x\cdot mg$	$\Delta y\cdot F_{0}=mg\cdot\Delta x$

Kräftegleichgewicht beim Hebel

Die Grösse $Weg \times Kraft$, also die Arbeit, wird beim Hebel erhalten.

$$dW =\vec{F}\cdot d\vec{r}$$ (4.194)

$$W =\int\limits_{s_{0}}^{s_{1}}\vec{F}d\vec{r}=W\left( s_{1}\right) ... ...}\vec{F}\left( \vec{r}\left( s\right) \right) \cdot\vec{\tau}\left( s\right) ds$$ (4.195)

dabei ist $ds$ der Weg entlang der Bahn!

also

$$\vec{F}\parallel Weg\Rightarrow W =F\cdot s$$ (4.196)

$$\vec{F}\perp Weg\vec{\Rightarrow}W =0!$$ (4.197)

Beispiel:

Kreisbahn $\vec{a}_{zentripetal}\perp d\vec{r}\Rightarrow W=0$

Einheit der Arbeit $1\frac{m^{2}kg}{s^{2}}=1 Joule =1J=1Nm=\frac {1}{3600000}kWh$

Im allgemeinen hängt die Arbeit $W$ von der durchlaufenden Bahn $\vec{r}(s)$ ab.

Beispiel:

Luftwiderstand

$$F =bv^{2}$$

$$v\left( s\right) =\sqrt{2as}$$

dann ist

$$W_{Luft}=\int\limits_{0}^{s_{0}}bv^{2}ds=\int\limits_{0}^{s_{0}}2as\cdot b ds=ab\cdot s^{2}$$

Gleitreibung

$$\vec{F}_{G} =-F_{G}\cdot\vec{\tau}\left( s\right)$$

$$W\left( r_{1},r_{2},b\right) =\int\limits_{s_{2}}^{s_{1}}\left( -\vec{F}_{G}\right) \vec{\tau}_{b}\left( s\right) ds$$

$$=F_{G}\int\limits_{s1}^{S_{2}}\vec{\tau}_{b}\cdot\vec{\tau}_{b}ds$$

$$=F_{G}\int\limits_{s2}^{S_{1}}ds$$

$$=F_{G}\left( s_{2}-s_{1}\right)$$

das heisst, die Arbeit ist, wie erwartet, proportional zur zurückgelegten Strecke.

Bei der Berechnung der Arbeit spielt Zeit keine Rolle. Wenn wir die Zeit, in der eine Arbeit geleistet wird, berücksichtigen wollen, sprechen wir von Leistung. Sie ist durch

$$P=\frac{dW}{dt}$$ (4.198)

oder

$$P=\frac{dW}{dt}=\frac{\vec{F\cdot}d\vec{r}}{dt}=\vec{F\cdot}\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{F}\left( t\right) \cdot\vec{v}\left( t\right)$$ (4.199)

definiert.

Beweis:

$$W\left( t_{0},t\right) =W\left( \vec{r}\left( t_{0}\right) ,\vec{r}\left( t\right) \righ... ...ight) }^{\vec{r}\left( t\right) }\vec{F}\left( t\right) d\vec{r}\left( t\right)$$

$$=\int\limits_{\vec{r}\left( t_{0}\right) }^{\vec{r}\left( t\right... ...mits_{\vec{r}\left( t_{0}\right) }^{\vec{r}\left( t\right) }P\left( t\right) dt$$ (4.200)

Die Einheit der Leistung ist

$$1Watt=1W=1\frac{Nm}{s}=1\frac{m^{2}}{s^{3}}kg$$ (4.201)

Potentielle Energie und Kräfte

$$\vec{F}\left( \vec{r}\right) =- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \left( E_{pot}\left( \vec{r}\right) \right)$$ (4.202)

Definition des Gradienten:

$${}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} = \begin{pmatrix}\frac{\partial}... ... x}\ \frac{\partial}{\partial y}\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}$$ (4.203)

Beweis:

$$d\left( E_{pot}\left( \vec{r}\right) \right) =\frac{\partial E_{pot}}{\partial x}dx+\frac{\partial E_{pot}}{\partial y}dy+\frac{\partial E_{pot}}{\partial z}dz$$

$$=\left( \begin{array}[c]{c} \frac{\partial E_{pot}}{\partial x}\\... ...\end{array} \right) \left( \begin{array}[c]{c} dx dy dz \end{array} \right)$$ (4.204)

$$= {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}  E_{pot}\cdot d\vec{r}$$ (4.205)

$$=d\left[ -\int\limits_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{F}\left( \vec{r}\right) d\vec{r}\right] \vec{=-F}\left( \vec{r}\right) d\vec{r}$$ (4.206)