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Stösse sind kurzzeitige Wechselwirkungen (WW) zwischen zwei Körpern.
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Stoss zweier Massen
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Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist nach Gleichung (4.141) durch
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Entsprechend sind die Massenmittelpunktsimpulse
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Bei beliebigen Stössen mit zwei Massen haben die beiden Massen im Massenmittelpunktssystem immer entgegengesetzt gleich grosse Impulse, sowohl vor dem Stoss wie nachher. Diese Eigenschaft erleichtert Berechnungen wesentlich! |
Die kinetische Energie des Massenmittelpunktes ist
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Die kinetischen Energien der beiden Massen im Massenmittelpunktssystem sind
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Die Summe der drei kinetischen Energien ist
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Die kinetische Energie kann also in eine kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung und in die kinetische Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem aufgeteilt werden.
Die kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung wird bei jedem Stoss erhalten. Die Summe der kinetischen Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem wird bei elastischen Stössen erhalten und bei plastischen Stössen vollständig in Deformation oder Wärme umgewandelt. |
Bei teilelastischen Stössen wird ein Teil der Energie umgewandelt. Der Faktor
gibt an,
welcher Bruchteil der Summe der kinetischen Energien im Massenmittelpunktssystem umgewandelt wird.
bedeutet einen elastischen Stoss,
einen vollständig plastischen Stoss. Da die Impulse im
Massenmittelpunktssystem entgegengesetzt gleich sind, werden die Massenmittelpunktsgeschwindigkeiten mit dem
Faktor
multipliziert.
Der Rechenaufwand zur Behandlung von Stössen und insbesondere von teilelastischen Stössen im Massenmittelpunktssystem ist viel geringer, als wenn man im Laborsystem rechnet. |
Da bei einem elastischen Stoss im Massenmittelpunktssystem sich die Impulse und, da die Massen erhalten bleiben, die Geschwindigkeiten ihr Vorzeichen wechseln, ist die Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss gleich gross wie vorher. Wir haben also
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Das bedeutet, dass bei einer Frontalkollision von einem Auto (
) mit einem
Fussgänger (
) die Relativgeschwindigkeit vorher (
) gleich dem negativen der
Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ist. Da das Auto aber (siehe unten) nur unwesentlich abgebremst wird, fliegt
der Fussgänger nach dem Stoss mit
durch die Gegend.
Die Grösse
heisst auch die reduzierte Masse. Mit
ihr können Zweikörper-Probleme im Massenmittelpunktssystem einfacher gelöst werden.
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Als Annäherung an den dreidimensionalen Fall betrachten wir den elastischen Stoss in der Ebene. Jeder Stoss im Raum mit zwei Körpern kann auf den ebenen Fall zurückgeführt werden (warum?).
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Stoss in einer Ebene
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Annahmen
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(4.254) |
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(4.255) |
Impulssatz:
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(4.256) |
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(4.257) |
Energiesatz:
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(4.258) |
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(4.259) |
Zusammengesetzt erhalten wir
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(4.260) |
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(4.261) |
oder
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(4.262) |
Da das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, ist der Zwischenwinkel bei jedem elastischen ebenen Stoss (und damit bei jedem elastischen Stoss)
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(4.263) |
n
Wir betrachten Stösse, bei denen der zweite Stosspartner ruht. Die Geschwindigkeit des ersten
Stosspartners () definiert eine Richtung. Der Abstand des Strahls definiert durch
von
der Masse
wird mit
(Stossparameter) bezeichnet.
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Definition des Stossparameters
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nach dem Stoss:
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Situation nach einem ebenen Stoss
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Unbekannte sind
Impulserhaltung: in der -Richtung
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(4.264) |
Impulserhaltung in der -Richtung
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(4.265) |
Energieerhaltung
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(4.266) |
Eine 4. Relation ist durch den Stossparameter und die Physik der Wechselwirkung gegeben.
Experimentelle Stossverteilungen werden mit parametrisiert.
Grundlage: 2.Newton'sches Gesetz
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(4.267) |
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Rückstoss bei einer Armbrust
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Länge: (für Beschleunigung Beschleunigungsstrecke)
Endgeschwindigkeit:
Antriebszeit:
Rückstosskraft:
Wir erhalten die Betragsgleichung
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(4.268) |
Beweis: Antrieb:
Newton:
Wenn
über die Beschleunigungsphase konstant ist, gilt:
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(4.269) |
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(4.270) |
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Kräfte an einer Raketendüse. Die Rakete ist fixiert.
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Die Masse des wegfliegenden Gases trägt einen mit der Zeit grösser werdenden Impuls. Dieser Impulsänderung
entspricht eine äussere Kraft und einer Schubkraft
. Wir beachten weiter, dass
wir Vektoren mit den dem Koordinatensystem angepassten Komponenten verwenden müssen. Hier hat also
eine negative
-Komponente.
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(4.271) |
wobei mit
die Relativgeschwindigkeit zur Düse gemeint ist.
Beweis mit Newton
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(4.272) |
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(4.273) |
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(4.274) |
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(4.275) |
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Kräfte an einer Rakete
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(4.276) |
Beweis:
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(4.277) |
Wenn ein Massenelement die Düse verlässt, hat es in diesem Augenblick die
Geschwindigkeit
. Es trägt also den Impuls
weg. Auch hier verwenden wir die
Vektoren mit den durch das Koordinatensystem gegebenen richtigen Vorzeichen.
Infinitesimal gilt
und damit
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(4.278) |
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(4.279) |
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(4.280) |
Bewegung der kräftefreien Rakete:
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(4.281) |
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(4.282) |
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(4.283) |
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(4.284) |
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(4.285) |
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(4.286) |
das heisst, die Endgeschwindigkeit einer Rakete kann man steigern, indem man die Ausströmgeschwindigkeit des Gases
erhöht, oder indem man die Endmasse
im Vergleich zur Anfangsmasse
möglichst klein macht. Die zweite Lösung ergibt aber strukturelle Probleme
Othmar Marti