Teilchensysteme

Wir betrachten ein System von Teilchen

Skizze der Koordinaten in einem Teilchensystem

Die folgenden Grössen benötigen wir

• Äussere Kräfte $\vec{F}_{ai}$
• Innere Kräfte $\vec{F}_{ij}$
• Impulse $\vec{p}_{i}$

Der Gesamtimpuls ist

$$\vec{p}=\sum\vec{p}_{i}$$ (4.229)

Aus dem Impulssatz folgt

$$\frac{d}{dt}\vec{p}=\frac{d}{dt}\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{p}_{i}=\vec{F}_{a}=\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ai}$$ (4.230)

Beweis

$\vec{F}_{ai}$ äussere Kraft auf $m$

$\vec{F}_{ij}$ innere Kraft von $m_{i}$ auf $m_{j}$

$\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}$ Reaktionsprinzip

$$\vec{\dot{p}}=\sum\vec{\dot{p}}_{i} =\sum\limits_{i}\left( \vec{F}_{ai}+\vec{F}_{2i}+\vec{F}_{3i}+\ldots\right)$$

$$=\left(\sum\limits_{i}\vec{F}_{ai}\right)+\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}+\vec{F}_{13}+\vec{F}_{31}+\ldots$$

$$=\sum\limits_{i}\vec{F}_{ai}=\vec{F}_{a}$$

Impulserhaltung

Wenn keine äusseren Kräfte wirken gilt:

$$\vec{p}=\sum\limits_{i}\vec{p}_{i}=\sum\limits_{i}m_{i}\vec{v}_{i} =$$ (4.231)

Massenmittelpunkt

Definition des Ortsvektors des Massenmittelpunktes

$$\vec{r}_{s}=\frac{\sum\limits_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum\limits_{i}m_{i}}$$ (4.232)

Der Ortsvektor des Massenmittelpunktes ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Ortsvektoren der einzelnen Massepunkte. Für eine kontinuierliche Massenverteilung gilt:

$$\left( \sum\limits_{i}m_{i}\right) \cdot\vec{r}_{s} = \vec{r}_{s}... ...int \rho(\vec{r})dV =\int\vec{r}dm=\int\vec{r}\cdot\rho\left( \vec{r}\right) dV$$ (4.233)

In kartesischen Koordinaten gilt

$$\vec{r}_{s}=\left( \begin{array}[c]{c} x_{s} y_{s} z_{s} \end{array} \right)$$ (4.234)

mit

$$x_{s} =\frac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}}$$ (4.235)

$$y_{s} =\frac{\sum m_{i}y_{i}}{\sum m_{i}}$$ (4.236)

$$z_{s} =\frac{\sum m_{i}z_{i}}{\sum m_{i}}$$ (4.237)

Massenmittelpunktsimpuls

Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-047)

Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-065)

Mit $m=\sum m_{i\text{ }}$gilt:

$$\vec{p}=m\vec{v}_{s}=\frac{d}{dt}\left( m\vec{r}_{s}\right)$$ (4.238)

Beweis

Lokales Koordinatensystem in einer Massenverteilung

Wir verwenden ein lokales Koordinatensystem

$$\vec{r}_{i}=\vec{r}_{s}+\vec{R}_{i}$$

$$\sum m_{i}\vec{R}_{i}=\sum m_{i}\vec{r}_{i}-m\vec{r}_{s}=0$$

wenn $m_{i}=const$

$$\Rightarrow\vec{p}=\sum m_{i}\vec{v}_{i}=\frac{d}{dt}\sum m_{i}\l... ...\left( \vec{R}_{i}\right) +\frac{d}{dt}\left( m\vec{r}_{s}\right) =m\vec{v}_{s}$$

Aus

$$\sum m_i \vec{v}_i = m \vec{v}_s = \left(\sum m_i\right) \vec{v}_s$$

bekommt man für die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit

$$\vec{v}_s = \frac{\sum m_i \vec{v}_i }{\sum m_i}$$ (4.239)

Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit $v_s$ ist also das mit den Massen gewichtete Mittel der einzelnen Geschwindigkeiten.

Massenmittelpunktsbeschleunigung

Bei konstanten Massen $m_{i}=const$ gilt für die Massenmittelpunktsbeschleunigung

$$m\vec{a}_{s}=m\vec{\dot{v}}_{s}=\sum_{i}\vec{F}_{ai}=\frac{d} {dt}\vec{p}$$ (4.240)

Wenn keine äusseren Kräfte wirken folgt aus

$$\vec{F}_{a}=\sum\vec{F}_{ai}=0$$

$$\vec{p}=$$ (4.241)

$$\vec{v}_{s}=\frac{d}{dt}\vec{r}_{s}=$$ (4.242)

Potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld

Wir wollen nun die potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld berechnen.

Koordinatensystem zur Berechnung der potentiellen Energie im Erdschwerefeld

Sei $\vec{g}$ der Feldvektor des Gravitationsfeldes der Erde

Für die Koordinate $z$ gilt

$$mz_{s}=\sum m_{i}z_{i}$$ (4.243)

mit $m=\sum m_{i}$ der Gesamtmasse. Die potentielle Energie ist dann

$$E_{pot}=\sum_{i}m_{i}g z_{i}=g\sum m_{i}z_{i}=g\cdot m z_{s}$$ (4.244)

• $z_{s}$ wird minimal bei jeder Aufhängung eines Systems von Massepunkten an einer punktförmigen Aufhängung

• Wenn das System von Massenpunkten in $z_{s}$ unterstützt wird, ist es im indifferentes Gleichgewicht.

Massenmittelpunktsystem (2 Massen)

Definition der Grössen beim Zweikörperproblem.

Seien die $\vec{u}_{i}$ die Geschwindigkeiten im Massenmittelpunktsystem

$$\vec{u}_{1} =\vec{v}_{1}-\vec{v}_{s}$$

$$\vec{u}_{2} =\vec{v}_{2}-\vec{v}_{s}$$

Im Laborsystem gilt:

$$\vec{v}_{s}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$ (4.245)

Die Geschwindigkeiten im Massenmittelpunktsystem sind

$$\vec{u}_{1} =\vec{v}_{1}-\vec{v}_{s}=\frac{\vec{v}_{1}\left( m_{1}+m_{2}\righ... ...{m_{1}+m_{2} }=\frac{m_{2}\left( \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right) }{m_{1}+m_{2} }$$

$$\vec{u}_{2} =\vec{v}_{2}-\vec{v}_{s}=\frac{m_{1}\left( \vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}\right) }{m_{1}+m_{2}}$$ (4.246)

Beispiel:

Kollision zweier Massen

Kollision zweier Massepunkte

Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist

$$v_{s}=\frac{50\cdot3000-30\cdot1000}{4000}\frac{m}{s}=30\frac{m}{s}$$ (4.247)

Bei einer Kollision bleibt die Massenmittelpunktgeschwindigkeit $\vec{v}_{s}$ bleibt erhalten. Die Relativgeschwindigkeiten im Massenmittelpunktsystem sind

$$u_{1}=\frac{1000\left( 50-/-30\right) }{4000}= 20m/s$$

$$u_{2}=\frac{3000\left( -30-50\right) }{4000}= -60m/s$$ (4.248)

Im Massenmittelpunktsystem hat die leichtere Masse die grössere Geschwindigkeit.

Kinetische Energie

Die kinetische Energie eines Systems von Massen ist durch

$$E_{kin} =\sum\limits_{i}\frac{1}{2}m_{i}\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{i}$$

$$=\sum\limits_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left( \vec{v}_{s}+\vec{u}_{i}\right) \cdot\left( \vec{v}_{s}+\vec{u}_{i}\right)$$ (4.249)

$$=\sum\limits_{i}\frac{1}{2}m_{i}\left[ \vec{v}_{s}^{2}+\vec{v}_{s}\vec{u}_{i}+\vec{u}_{i}\vec{v}_{s}+\vec{u}_{i}^{2}\right]$$ (4.250)

$$=\frac{1}{2}\vec{v}_{s}^{2}\sum\limits_{i}m_{i}+\frac{1}{2} \vec{... ...sum\limits_{i}m_{i}2\vec{u}_{i}+\frac{1}{2}\sum \limits_{i}m_{i}\vec{u}_{i}^{2}$$ (4.251)

$$=\frac{1}{2}m\vec{v}_{s}^{2}+\vec{v}_{s}\underset{\text{Nach Defi... ...um\limits_{i}m_{i}\vec{u}_{i}}} +\sum\limits_{i}\frac{1}{2}m_{i}\vec{u}_{i}^{2}$$ (4.252)

$$=\frac{1}{2}m\vec{v}_{s}^{2}+\frac{1}{2}\sum m_{i}\vec{u}_{i} ^{2}=E_{kin}+E_{kin,innen}$$ (4.253)

Da die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit erhalten bleibt, ist nur $E_{kin,innen}$ relevant für Kollisionen $\Rightarrow$ Beschleunigung mit gegenläufigen Bahnen.