Wir betrachten ein System von Teilchen
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Skizze der Koordinaten in einem Teilchensystem
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Die folgenden Grössen benötigen wir
Der Gesamtimpuls ist
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(4.229) |
Aus dem Impulssatz folgt
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(4.230) |
Beweis
Reaktionsprinzip
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||
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Wenn keine äusseren Kräfte wirken gilt:
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(4.231) |
Definition des Ortsvektors des Massenmittelpunktes
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(4.232) |
Der Ortsvektor des Massenmittelpunktes ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Ortsvektoren der einzelnen Massepunkte. Für eine kontinuierliche Massenverteilung gilt:
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(4.233) |
In kartesischen Koordinaten gilt
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(4.234) |
mit
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(4.235) |
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(4.236) |
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(4.237) |
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Mit
gilt:
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(4.238) |
Beweis
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Wir verwenden ein lokales Koordinatensystem
wenn
Aus
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bekommt man für die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit
Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist also das mit den Massen gewichtete Mittel der einzelnen
Geschwindigkeiten.
Bei konstanten Massen
gilt für die Massenmittelpunktsbeschleunigung
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(4.240) |
Wenn keine äusseren Kräfte wirken folgt aus
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(4.241) |
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(4.242) |
Wir wollen nun die potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld berechnen.
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Sei der Feldvektor des Gravitationsfeldes der Erde
Für die Koordinate gilt
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(4.243) |
mit
der Gesamtmasse. Die potentielle Energie ist dann
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(4.244) |
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Definition der Grössen beim Zweikörperproblem.
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Seien die
die Geschwindigkeiten im Massenmittelpunktsystem
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Im Laborsystem gilt:
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(4.245) |
Die Geschwindigkeiten im Massenmittelpunktsystem sind
Beispiel:
Kollision zweier Massen
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Kollision zweier Massepunkte
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Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist
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(4.247) |
Bei einer Kollision bleibt die Massenmittelpunktgeschwindigkeit
bleibt erhalten. Die
Relativgeschwindigkeiten im Massenmittelpunktsystem sind
Im Massenmittelpunktsystem hat die leichtere Masse die grössere Geschwindigkeit.
Die kinetische Energie eines Systems von Massen ist durch
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(4.249) | |
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(4.250) | |
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(4.251) | |
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(4.252) | |
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(4.253) |
Da die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit erhalten bleibt, ist nur
relevant für Kollisionen
Beschleunigung mit gegenläufigen Bahnen.
Othmar Marti