Unter Gravitation versteht man die gegenseitige Anziehung der Körper durch ihre Massen.
Beweis: des 2. Gesetzes
Es gibt keine äusseren Kräfte, deshalb gibt es auch keine Drehmomente. Aus bekommt man :
![]()
2. Keplersches Gesetz
|
Behauptung: Für die Fläche
gilt
![]() |
(4.307) |
Beweis:
![]() |
![]() |
![]() |
(4.308) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.309) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.310) |
Bemerkung: bei einer ebenen Bewegung ist immer
![]() |
![]() |
![]() |
(4.311) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.312) |
d.h. das 2. Keplersche Gesetz entspricht der Drehimpulserhaltung
![]() |
![]() |
![]()
Newtonsches Gravitationsgesetz
|
Die Kraft der Masse auf die Masse
ist
, also
![]() |
(4.313) |
Betragsmässig:
![]() |
(4.314) |
Dabei ist
die
Gravitationskonstante. Das Newtonsche Gravitationsgesetz definiert die
schweren Masse, im Gegensatz zum 2. Newtonschen Gesetz der Bewegung
(
), das die träge Masse definiert.
Testmasse
![]() |
(4.315) |
Feldvektor
ist der Feldvektor des Gravitationsfeldes. Seine Einheit ist
Der Feldvektor des Gravitationsfeldes gibt die Stärke der Gravitation pro Einheitsmasse an. Mit dem
Feldvektor kann also das Gravitationsfeld der Masse
charakterisiert werden, ohne dass eine zweite Masse
spezifiziert werden muss, das heisst,
ist unabhängig von der Testmasse
.
![]() |
Die potentielle Energie des Gravitationsfeldes existiert dann, wenn die Arbeit um eine Masse im
Gravoitationsfeld der Masse
von
nach
zu bringen unabhängig vom Weg ist. In Abbildung
4.50 sind exemplarisch die beiden Wege
und
eingetragen. Wir stellen uns vor, dass der
Raum zwischen der Masse
und der Masse
mit radial gleichabständigen Kugelschalen unterteilt wird. Den
realen Weg
ersetzen wir durch den Weg
, wobei die Abschnitte
,
,
und
radial
verlaufen und die Abschnitte
,
und
auf der Kugelschale liegen.
Analog wird der Weg durch den Weg
ersetzt, wobei die Abschnitte
,
,
und
radial
verlaufen und die Abschnitte
,
und
auf der Kugelschale liegen.
Die Arbeit im Gravitationsfeld um die Masse entlang
von
nach
zu bringen, ist die Summe
der Arbeit auf den radialen Abschnitten plus der Summe der Arbeit auf den Abschnitten auf den Kugelschalen.
Nun gilt für alle Wege auf einer Kugelschale, dass für jedes Wegelement gilt:
da
immer senkrecht auf
steht. Wir erhalten also
Andererseits erhalten wir
In einem Zentralfeld, bei dem die Kraft radial ist und nur vom Abstand vom Zentrum abhängt sind die folgenden
Arbeiten gleich
![]() ![]() |
![]() ![]() |
|
![]() ![]() |
![]() ![]() |
(4.322) |
Deshalb gilt auch
![]() |
![]() |
|
![]() |
||
![]() |
(4.323) |
Die Arbeit, um von
nach
zu bringen, ist also für die Wege
und
gleich.
Wenn wir nun den Abstand der Kugelschalen gegen Null gehen lassen, sehen wir, dass
für beide Wege gleich sind. Da wir keine besonderen Anforderungen an die Wahl der Wege gestellt haben, gilt diese
Aussage auch für alle Wege zwischen und
. Das heisst:
Zentralfelder sind konservative Felder. |
Das Gravitationsfeld als zentrales Kraftfeld ist konservativ. |
Behauptung:
ist konservativ
![]() |
![]() |
![]() |
(4.325) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.326) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.327) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.328) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.329) |
da gilt
![]() |
![]() |
|
![]() |
||
![]() |
||
![]() |
||
![]() |
Damit ist
![]() |
![]() |
![]() |
(4.330) |
Weil das Kraftfeld der Gravitation konservativ ist, existiert eine potentielle Energie, die potentielle Energie der Gravitation.
ist die potentielle Energie der Gravitation, bezogen auf einen unendlich weit entfernten Punkt. |
Als Referenz nehmen wir
![]() |
(4.332) |
Beweis: Berechnung der Arbeit gegen die Feldkraft längs einer Feldlinie
![]() |
Bei der Berechnung der potentiellen Energie muss man berücksichtigen, dass die
Kraft und
entgegengesetzt angeordnet sind. Da das
Gravitationsfeld konservativ ist, können wir eine ganz spezielle Bahn
verwenden. Zwischen zwei beliebigen Punkten
und
lassen
wir die Bahn von
bis zu der Kugelschale um den Massenpunkt
, auf
der
liegt, laufen und führen sie dann auf der Kugelschale zu
. Auf dem auf der Kugelschale liegenden Teil ist
senkrecht auf
, so dass
ist: dieser
Bahnabschnitt trägt nichts zur potentiellen Energie bei.
Also haben wir
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
(4.333) |
Es ist üblich, den Referenzpunkt
zu setzen:
Damit ist die Behauptung gezeigt.
Die potentielle Energie hängt nicht nur von der zu untersuchenden Masse , sondern auch von der Testmasse
ab.
Wir definieren das Testmassen-unabhängige Gravitationspotential
![]() |
(4.335) |
Die Einheit des Gravitationspotentials ist
![]() |
dann gilt:
![]() |
![]() |
![]() |
(4.336) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.337) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.338) |
Wir erhalten die folgenden Zusammenhänge:
|
![]()
Oberflächenintegrale: Definition der Grössen
|
Normalenvektor
Oberflächenelement in Kugelkoordination
![]() |
(4.339) |
dabei ist
die horizontale Seite des Flächenelementes,
die vertikale Seite.
![]()
Koordinaten des Oberflächenelementes
|
![]() |
![]() |
![]() |
(4.340) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.341) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.342) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.343) |
also
|
Die in einer Kugel (beliebigen Fläche) eingeschlossene Masse kann aus dem Integral über
an der Oberfläche bestimmt werden. Damit kann man über die Keplerschen Gesetze mit einer
Testmasse (Satellit) die Masse eines Himmelskörpers bestimmen!
Betrachte Massenpunkt mit
an den Orten
![]()
Anordnung von Massenpunkten
|
Wir nehmen das folgende Postulat an
Die Gravitationskräfte sind additiv. |
Damit sind auch die Gravitationsfelder additiv. Deshalb gilt
![]() |
![]() |
![]() |
(4.345) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.346) |
Da die einzelnen Teilfelder konservativ sind, ist auch das Gesamtfeld konservativ.
Bei Kräften zwischen Atomen und Molekülen gibt es viele Beispiele nichtadditiver Kraftfelder.
![]() |
![]() |
![]() |
(4.347) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.348) |
![]()
Koordinaten zur Berechnung eines Oberflächenintegrals
|
Kontinuierliche Massenverteilung: gegeben durch Massendichte
![]() |
(4.349) |
Berechnung der Gesamtmasse aus Dichte:
![]() |
![]() |
![]() |
(4.350) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.351) |
In Kugelkoordinaten wäre
![]() ![]() ![]() |
(4.352) |
Oberflächenintegral
![]() |
(4.353) |
Für kontinuierliche Massenverteilungen gilt die Feldgleichungen der Gravitation
![]() |
(4.354) |
Def:
![]() |
(4.355) |
Beweis: Nach Gauss gilt:
![]() |
(4.356) |
Die Lösung der Feldgleichung ist
![]() |
(4.357) |
Dabei ist das Volumenelement am Ort
. Die Lösung hat die
gleiche Struktur wie das Gesetz für den Feldvektor der Gravitation,
Gleichung (4.200) . Die ist leicht zu sehen, wenn man die Variablen wie folgt
umschreibt:
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Da
gilt
![]() |
![]() |
![]() |
(4.358) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.359) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.360) |
also
heisst Poisson-Gleichung |
heisst Laplace-Operator:
![]() |
(4.362) |
Formal ist die Lösung der Poissongleichung
![]() |
(4.363) |
![]() |
(4.364) |
bei konstanter Dichte
![]() |
Wir unterscheiden die folgenden Fälle:
|
![]() ![]()
Links wird der Verlauf des Gravitationsfeldvektors
gezeigt, rechts der des dazu gehörigen Gravitationspotentials. Beide sind für eine massive homogene Kugel mit dem
Radius 1 gerechnet.
|
Im Folgenden werden drei Beweisarten gezeigt:
![]() |
Wir betrachten in der Abbildung 4.58 die beiden Flächen und
. Die von den Massen
in diesen beiden Flächen auf
ausgeübten Kräfte zeigen entlang der gleichen Gerade, aber in
entgegengesetzte Richtungen. Die Massen in
und
sind jeweils
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
(4.366) |
Dabei ist die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius
. Die Beträge der Kräfte
und
sind
Nach dem Strahlensatz gilt (beachte dass und
Flächen sind)
Kombinieren wir Gleichung (4.238) und Gleichung (4.239) , so sehen wir sofort, dass
Da wir über die Lage von und
nichts vorausgesetzt hatten, ausser dass beide mit der Masse auf
einer Linie liegen, können wir folgern:
Auf Massenpunkte im Inneren einer Hohlkugel mit einer homogenen Massenverteilung wirken keine Kräfte. |
Genauere Rechnungen zeigen, dass dies bei allen genügend symmetrischen Hohlkörpern der Fall ist.
Ausserhalb einer Massenverteilung wirkt die Gravitationskraft immer so, wie wenn sie vom Massenmittelpunkt käme. |
Ausserhalb der kugelförmigen homogenen Massenverteilung können wir die Gravitationskraft so ausrechnen, wie wenn sie am Massenmittelpunkt konzentriert wäre (siehe Gleichung (4.200) ).
An der Oberfläche der Masse gilt Gleichung (4.241) gerade noch.
Im Inneren () der homogenen kugelförmigen Massenverteilung können wir die Masse in zwei Bereiche
einteilen, eine Hohlkugel mit
sowie eine homogene Kugel mit
. Die Hohlkugel trägt, wie
gezeigt, nichts zum Gravitationsfeld bei. Nur Masse der Kugel mit dem Radius
erzeugt das Gravitationsfeld.
Wenn
die Gesamtmasse ist, ist die relevante Masse
Der Feldvektor der Gravitation an der Oberfläche der inneren Masse ist dann
![]() |
(4.374) |
mit
da
ist. Also ist
![]() |
(4.375) |
Innerhalb der kugelförmigen Masse gilt also
![]() |
![]() |
|
![]() |
||
![]() |
(4.376) |
Ausserhalb erhalten wir
![]() |
(4.377) |
oder
![]() |
![]() |
(4.378) |
![]() |
![]() |
(4.379) |
Aus diesen Gleichungen kann das Potential berechnet werden.
Dazu verwendet man die Definition der potentiellen Energie für ein radialsymmetrisches Potential
Für ausserhalb bekommt man
Innerhalb der Kugel verwendet man den Radius der Kugel als Referenz
und damit
Für die Distanz muss das Potential kontinuierlich sein. Wir führen eine Konstante
ein und setzen
Also ist für Innen das Resultat
Das Schlussresultat ist
![]() |
(4.380) |
Gravitationskraft eines Kreisringes
![]()
Berechnung des Kreisringes
|
Symmetrie: nur -Komponente betrachten
![]() |
(4.381) |
![]() |
(4.382) |
Die -Komponente des Feldvektors der Gravitation ist nun (betragsmässig):
![]() |
(4.383) |
![]() |
(4.384) |
![]() |
(4.385) |
![]() |
(4.386) |
![]()
Berechnung einer Kugelschale zusammengesetzt aus Kreisringen
|
|
Daraus ergibt sich:
![]() |
(4.387) |
und mit
![]() |
(4.388) |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
(4.389) |
oder
![]() |
(4.390) |
![]() |
(4.391) |
![]() |
(4.392) |
![]() |
(4.393) |
![]() |
(4.394) |
![]() |
(4.395) |
Den Feldvektor der Gravitation für einen Punkt innerhalb einer Vollschale kann jetzt noch durch Integration über alle eingeschlossenen Unterschalen erhalten werden, deren Radien kleiner sind als der Radius des betrachteten Punktes. An der Form des Resultates ändert sich nichts mehr.
Das Gewicht oder die Gewichtskraft
einer Masse
wird durch die Gravitation
zwischen der Erde und
bewirkt.
Modell: Die Erde entspricht einer Kugel. Dann gilt an der Oberfläche
![]() |
(4.396) |
Im Labor ist
und
Freier Fall:
![]() |
(4.397) |
mit
und
bekommt man
![]() |
(4.398) |
![]() |
![]() |
beschleunigt die Masse, also gilt:
![]() |
(4.399) |
![]() |
(4.400) |
Bewegungsgleichung
![]() |
(4.401) |
![]() |
(4.402) |
mit
![]() |
(4.403) |
Kleine Auslenkungen:
![]() |
(4.404) |
also
![]() |
(4.405) |
harmonische Schwingung:
![]() |
(4.406) |
Beweis
![]() |
(4.407) |
d.h. die Bewegungsgleichung ist erfüllt.
und
hängen von den Anfangsbedingungen ab.
Beispiel: Freier Fall
von | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
(4.408) |
![]() |
(4.409) |
Beobachtung
ist unabhängig vom Material
Experimentell:
Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes, mit Kreisbahnen
![]()
Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes
|
Zentripetalkraft
![]() |
(4.410) |
![]() |
(4.411) |
nun ist die Umlaufszeit
oder
also ist
![]() |
![]() |
(4.412) |
![]() |
(4.413) |
Dies ist das 3. Keplersche Gesetz.
Maximale Höhe eines Satelliten
Wir wissen
![]() |
(4.414) |
Energiesatz:
wobei der Erdradius ist.
![]() |
![]() |
(4.415) |
![]() |
![]() |
(4.416) |
![]() |
(4.417) |
divergiert wenn
oder mit
bekommt man die Fluchtgeschwindigkeit
Gesamtenergie eines Satelliten
![]() |
(4.418) |
Zentripetalkraft
![]() |
(4.419) |
![]() |
(4.420) |
![]() |
(4.421) |
Othmar Marti