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Definition: ein Körper ist starr, wenn
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Die Massendichte (auch kurz Dichte genannt) ist definiert durch
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(6.524) |
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(6.525) |
Der Schwerpunkt eines starren Körpers hat bezüglich dieses Körpers eine fest Lage. Ein Körper kann in einem
homogenen Kraftfeld an seinem Schwerpunkt gestützt werden, und er is tim Gleichgewicht. Der Schwerpunkt ist
gegeben durch
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(6.526) |
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Schwerpunktsystem
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Im Laborsystem gilt
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(6.527) |
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(6.528) |
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Wir betrachten 2 Koordinatensysteme, beide mit dem Ursprung im Schwerpunkt S.
,
,
ist das
raumfeste Koordinatensystem, d.h. es dreht sich nicht mit dem Körper mit.
,
,
: ist ein
körperfestes Koordinatensystem, das sich mit dem Körper mitdreht. Die Koordinatensysteme werden durch die
Einheitsvektoren
,
,
und
,
,
beschrieben.
Also ist
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(6.529) |
,
,
sind zeitunabhängige Basisvektoren,
,
,
sind zeitabhängige Basisvektoren.
Das Koordinatensystem
,
,
geht durch drei Drehungen aus dem
Koordinatensystem
,
,
hervor.
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Definition der Eulerschen Winkel
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Die Eulerschen Winkel sind
steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch
und
.
Die Reihenfolge der Drehungen ist
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Die Beziehungen zwischen dem ungesternten und dem gesternten Koordinatensystem können mit einer Matrix formuliert werden:
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(6.530) |
und
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(6.531) |
In Matrixschreibweise haben wir
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(6.532) |
und
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(6.533) |
Wir haben hier behauptet, dass die Transformationsmatrix
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(6.534) |
und die inverse Transformationsmatrix
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(6.535) |
durch
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(6.536) |
verbunden sind. Dabei ist die transponierte Matrix (an der Hauptdiagonale gespiegelt) und
die
inverse Matrix.
In Matrixschreibweise haben wir
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||||
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Die Matrix berechnet sich aus dem Matrixprodukt der drei Drehmatrizen.
Dabei betrachten wir die Transformation aus dem ortsfesten System ins
mitbewegte System, also die Matrix
.
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Wir betrachten die die
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Dann ist
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und
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Die Drehungen um die folgt analog. Dann sind die Drehmatrizen gegeben durch
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Drehung um ![]() ![]() |
(6.537) |
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Drehung um ![]() ![]() |
(6.538) |
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Drehung um ![]() ![]() |
(6.539) |
Dann ist
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(6.540) |
wobei die Multiplikation von rechts durchzuführen ist. Das Resultat ist
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(6.541) |
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(6.542) |
oder
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Beim einem allgemeinen rotierenden starren Körper sind die Eulerwinkel im Allgemeinen zeitabhängig!
Die Lage eines starren Körpers ist gegeben durch
Othmar Marti