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Ein starrer Rotator wird mit einem körperfesten Koordinatensystem beschrieben.
Die Winkelgeschwindigkeit wird durch einen Vektor
beschrieben. Der Betrag der
Winkelgeschwindigkeit,
gibt
mal die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde an,
die Richtung des Geschwindigkeitsvektors die Richtung der Drehachse, wobei der Daumen der rechten Hand zur Spitze
des Vektors zeigt und die Finger die Drehrichtung angeben.
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(6.546) |
Dabei ist der momentane Drehwinkel.
heisst die momentane Winkelgeschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit des Massenpunktes
am Ort
ist
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(6.547) |
Jedes Massenelement
hat eine kinetische Energie
Dann ist die kinetische Energie eines rotierenden Körpers gegeben durch
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(6.548) |
Beweis: Wir beginnen mit der Vektoridentität
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(6.549) |
mit
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(6.550) |
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(6.551) |
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(6.552) |
Also ist
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(6.553) |
Für ein Massenelement
ist die kinetische Energie
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(6.554) |
da
ist. Die kinetische Energie
aller Massenpunkte ist dann
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(6.555) |
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Der Satz von Steiner erlaubt einem, das Trägheitsmoment für eine beliebige Achse zu berechnen, wenn das Trägheitsmoment bezüglich einer dazu parallelen Achse durch den Schwerpunkt bekannt ist.
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Behauptung
Es gilt der Satz von Steiner
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Beweis: Wir berechnen die kinetische Energie eines
Massenelements . Es ist
.
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Der Mischterm kann umgeschrieben werden
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Ein Ortsvektor im Schwerpunktsystem ist
Also ist auch
Nun ist aber im Schwerpunktsystem
Also ist der Term
.
Damit wird die kinetische Energie
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(6.557) |
Einige Trägheitsmomente für eine Achse durch den Schwerpunkt sind:
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(6.558) |
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(6.559) |
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(6.560) |
Als Anwendung betrachten wir eine schiefe Ebene hinunterrollende Walze. Wir machen eine Energiebetrachtung.
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Rollende Walze
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Also folgt für die Endgeschwindigkeit
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(6.561) |
Ein Hohlzylinder rollt also langsamer eine schiefe Ebene hinunter wie ein Vollzylinder mit gleicher Masse und gleichem Durchmesser.
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Berechnung des Drehimpulses
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Analog zum Translations-Impuls eines Massenpunkts gilt für einen Massenpunkt
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(6.562) |
Damit gilt für den ganzen Körper
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(6.563) |
Die kinetische Energie eines Körpers mit dem
Drehimpuls ist
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(6.564) |
Beweis:
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(6.565) |
Wir verwenden das Spatprodukt
und setzen
,
und
. Dann ist
und damit
wobei wir die Definition des Drehimpulses
verwendet haben.
Bemerkung: Der Drehimpuls muss nicht parallel zur Drehachse sein. Wir betrachten den
Drehimpuls
bezüglich eines Punktes 0 auf der Drehachse.
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Aufspaltung des Drehimpulses in eine Parallel- und eine
Senkrechtkomponente
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Sei
. Dann kann der Drehimpuls in eine Komponente parallel zur
Drehachse und eine senkrecht dazu aufgespalten werden, also
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(6.567) |
Es gilt
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(6.568) |
Dabei ist
die Komponente des Ortsvektors
parallel zur Drehachse im körperfesten
Koordinatensystem.
Beweis. Wir verwenden die Vektoridentität
.
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(6.569) |
Da
und
ist.
Die Dynamik des starren Rotators bezüglich des Lagers 0 ist durch den Drallsatz gegeben.
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(6.570) |
Dabei ist
das Drehmoment bezüglich des Lagers 0. Bei einer gleichförmigen Rotation
ist
i.a. nicht konstant. Es gilt
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(6.571) |
Beweis:
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(6.572) |
da
ist.
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Die Dyname auf das Drehlager im Punkt 0 ist bei einem
Rotator ohne äussere Kräfte oder Momente
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(6.573) |
wegen dem Impulssatz. Das dazugehörige Drehmoment ist
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(6.574) |
Dabei ist
der Ortsvektor des Schwerpunktes. Wir haben also eine zeitlich veränderliche Dyname.
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Wir legen ein äusseres Drehmoment
an.Dann ist
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(6.575) |
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(6.576) |
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(6.577) |
Wirkt ein konstantes äusseres Drehmoment so gilt
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(6.578) |
oder
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(6.579) |
und
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(6.580) |
Beispiel: rollender Zylinder
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Rollender Zylinder
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ist die momentane Drehachse des Zylinders (Warum ist die Drehachse die Auflagelinie?). Nach dem Satz von
Steiner ist
Also ist
Die Translationsbeschleunigung des Schwerpunktes ist
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(6.581) |
Beispiel:
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Kippen eines starren Körpers
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Hier ist für kleine Auslenkungen
und nicht bei beim Pendel
. Die
Drehmomentengleichung lautet
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(6.582) |
Sie hat die Lösungen
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(6.583) |
Wenn zu Beginn der Bewegung
ist (Anfangsbedingung) ist die Lösung
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(6.584) |
Beispiel:
Kippender Kamin
Das Trägheitsmoment eines Kamins, der um seinen Fuss rotiert, ist
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(6.585) |
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(6.586) |
Daraus folgt für den Betrag der Drehfrequenz
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(6.587) |
Othmar Marti