Kreisel

Die momentane Drehachse $\vec{e}$ bewegt sich im Raum entlang einer Kegeloberfläche, der Oberfläche des festen Polkegels

(körperfest) rollt auf

ab. Die Berührungslinie der beiden Polkegel ist die momentane Drehachse.

Drehimpuls und kinetische Energie

Wir betrachten den Zusammenhang zwischen $\vec{\omega}\left( t\right)$ und $\vec{L}_{0}\left( t\right)$ im körperfesten Bezugssystem.

$\displaystyle L_{x}$	$\displaystyle =I_{xx}\omega_{x}+I_{xy}\omega_{y}+I_{xz}\omega_{z}$
$\displaystyle L_{y}$	$\displaystyle =I_{yx}\omega_{x}+I_{yy}\omega_{y}+I_{yz}\omega_{z}$
$\displaystyle L_{z}$	$\displaystyle =I_{zx}\omega_{x}+I_{zy}\omega_{y}+I_{zz}\omega_{z}$	(6.590)

$\displaystyle \vec{L}=\overleftrightarrow{I}_{0}\vec{\omega}$

(6.591)

oder $\vec{L}_{i}=I_{ij}\omega_{j}$ . $\overleftrightarrow{I}_{0}$ heisst der Trägheitstensor des Kreisels (des starren Rotators) bezüglich dem Fixpunkt 0. Die Komponenten von $\overleftrightarrow{I}_{0}$ sind

$\displaystyle I_{xx}$	$\displaystyle =\int\left( y^{2}+z^{2}\right) dm$
$\displaystyle I_{yy}$	$\displaystyle =\int\left( x^{2}+z^{2}\right) dm$
$\displaystyle I_{zz}$	$\displaystyle =\int\left( x^{2}+y^{2}\right) dm$	(6.592)
$\displaystyle I_{xy}$	$\displaystyle =-\int xydm$
$\displaystyle I_{xz}$	$\displaystyle =-\int xzdm$
$\displaystyle I_{yz}$	$\displaystyle =-\int yzdm$	(6.593)

$\displaystyle \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$

$\displaystyle d\vec{L}=\vec{r}\times\left( dm\vec{v}\right)$

$\displaystyle d\vec{L}$	$\displaystyle \vec{=r\times}\left( \vec{\omega}\times\vec{r}\right) dm$
	$\displaystyle =\left( \vec{r}\cdot\vec{r}\right) \vec{\omega}dm-\left( \vec{r}\cdot\vec{\omega}\right) \vec{r}dm$

$\displaystyle \vec{L}=\vec{\omega}\int\vec{r}^{2}dm-\int\vec{r}\left( \vec{r}\cdot\vec{\omega}\right) dm$

(6.594)

$\displaystyle L_{x}$	$\displaystyle =\omega_{x}\int\vec{r}^{2}dm-\int x\left( x\omega_{x}+y\omega _{y}+z\omega_{z}\right) dm$
	$\displaystyle =\omega_{x}\int\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}-x^{2}\right) dm-\omega_{y}\int xydm-\omega_{z}\int xzdm$	(6.595)

also ist $I_{xx}=\int\left( y^{2}+z^{2}\right) dm$ und $I_{xy}=-\int xydm$ und $I_{xz}=-\int xzdm$ , wie behauptet.

Die Spur von $\overleftrightarrow{I}_{0}$ ändert sich nicht bei einer Drehung des Koordinatensystems

$\displaystyle spur\left( \overleftrightarrow{I_{0}}\right) =I_{xx}+I_{yy}+I_{zz} =2\int\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) dm=2\int r^{2}dm=const$

(6.596)

$\displaystyle I_{xx}+I_{yy}-I_{zz}=2\int z^{2}dm\geq0$

(6.597)

Frage: gibt es ein Koordinatensystem, in dem die Deviationsmomente verschwinden?

Aus der Mathematik weiss man, dass, da $\overleftrightarrow{I}_{0}=\overleftrightarrow{I}_{0}^{T}$ gilt, ein Hauptachsensystem existiert, in dem $\overleftrightarrow{I}_{0}$ diagonal ist.

Seien $\vec{e}_{x}$ , $\vec{e}_{y}$ , $\vec{e}_{z}$ körperfeste Basisvektoren, die so nummeriert werden, dass $I_{x}\geq I_{y}\geq I_{z}$ ist.

Sei $\vec{e}\left( t\right)$ die momentane Drehachse und $\vec{\omega }\left( t\right) =\omega\left( t\right) \vec{e}\left( t\right)$ die momentane Winkelgeschwindigkeit. Dann gilt

$\displaystyle \vec{L}_{0}=\left( \begin{array}[c]{ccc} I_{x} & 0 & 0 0 & I_{... ...rray}{c} I_x \omega_x I_y \omega_y I_z \omega_z \end{array} \right)$

(6.598)

$\displaystyle \vec{L}_{x}\left( t\right) =I_{x}\vec{\omega}_{x}\left( t\right) =I_{x}\omega\left( t\right) \vec{e}_{x}\left( t\right)$

(6.599)

Kinetische Energie des Kreisels

Es gilt $E_{kin}=\frac{1}{2}\vec{L}_{0}\cdot\vec{\omega}$ , da der Kreisel ein starrer Rotator ist. Im Hauptachsensystem haben wir

$\displaystyle E_{kin}$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \frac{L_{x}^{2}\left( t\right) }{I_{x}} +\frac{L_{y}^{2}\left( t\right) }{I_{y}}+\frac{L_{z}^{2}\left( t\right) }{I_{z}}\right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( I_{x}\omega_{x}^{2}\left( t\right) +I_{y}\omega _{y}^{2}\left( t\right) +I_{z}\omega_{z}^{2}\left( t\right) \right)$	(6.600)

$\displaystyle E_{kin}$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\vec{L}_{0}\cdot\vec{\omega}$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \begin{array}[c]{c} I_{x}\omega_{x} I_{y}\om... ...t( \begin{array}[c]{c} \omega_{x} \omega_{y} \omega_{z} \end{array} \right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( I_{x}\omega_{x}^{2}+I_{y}\omega_{y}^{2}+I_{z}\omega _{z}^{2}\right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \begin{array}[c]{c} L_{x} L_{y} L_{z} \end... ...c{L_{x}}{I_{x}} \frac{L_{y}}{I_{y}} \frac{L_{z}}{I_{z}} \end{array} \right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \frac{L_{x}^{2}}{I_{x}}+\frac{L_{y}^{2}}{I_{y}} +\frac{L_{z}^{2}}{I_{z}}\right)$

Die momentane Drehachse ist durch $\vec{\omega}(t)$ gegeben. Wir definieren die momentane Drehachse durch einen zeitabhängigen Einheitsvektor $\vec{e}(t)$ mit $\vert\vec{e}(t)\vert=1$ . Dann ist

$\displaystyle \vec{\omega}(t) = \omega(t) \vec{e}(t) = \omega(t) \left( \begin{array}{c} e_x(t) e_y(t) e_z(t) \end{array} \right)$

(6.601)

$\displaystyle E_{kin}$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( I_{x}\omega_{x}^{2}(t)+I_{y}\omega_{y}^{2}(t)+I_{z}\omega_{z}^{2}(t)\right)$	(6.602)
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(I_x \omega^2(t) e_x^2(t)+I_y \omega^2(t) e_y^2(t)+I_z \omega^2(t) e_z^2(t)\right)$
	$\displaystyle =\frac{\omega^2(t)}{2}\left(I_x e_x^2(t)+I_y e_y^2(t)+I_z e_z^2(t)\right)$
	$\displaystyle =\frac{\omega^2(t)}{2} I(t)$

$\displaystyle I = I_x e_x^2(t)+I_y e_y^2(t)+I_z e_z^2(t)$

(6.603)

gesetzt haben.

ist das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse $\vec{e}$ . Wenn die kinetische Energie des Kreisels erhalten ist, ist auch

eine Konstante.

Trägheitsellipsoid

Wir möchten den Körper mit einer allgemeinen Form, der durch den Trägheitstensor $\overleftrightarrow{I}_0$ charakterisiert ist, durch den einfachst möglichen Körper mit den gleichen Rotationseigenschaften ersetzen. Dies ist das Trägheitsellipsoid charakterisiert durch den Vektor $\vec{u}$ . Wir verwenden zur Definition von $\vec{u}$ die Definition des Trägheitsmomentes

bezüglich der momentanen Drehachse $\vec{e}$ vom vorherigen Abschnitt.

$\displaystyle \vec{u}=\left( \begin{array}[c]{c} u_{x} u_{y} u_{z} \end{a... ...ft( \frac{e_{x}}{\sqrt{I}},\frac{e_{y}}{\sqrt{I}},\frac{e_{z}}{\sqrt{I}}\right)$

(6.604)

$\displaystyle I_{x}u_{x}^{2}+I_{y}u_{y}^{2}+I_{z}u_{z}^{2}$	$\displaystyle =I_{x}\frac{e_{x}^{2}}{I}+I_{y} \frac{e_{y}^{2}}{I}+I_{z}\frac{e_{z}^{2}}{I}$	(6.605)
	$\displaystyle = \frac{I_x e_x^2+I_ye_y^2+I_ze_z^2}{I}$
	$\displaystyle =\frac{I_x e_x^2+I_ye_y^2+I_ze_z^2}{I_x e_x^2+I_y e_y^2+I_z e_z^2}$
	$\displaystyle =\frac{I}{I}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 1$

$\vec{u}$ beschreibt also in der Tat die Oberfläche eines Ellipsoids, das wir Trägheitsellipsoid nennen. Aus der Konstruktion folgen die Eigenschaften des Trägheitsellipsoides:

Aus Gleichung (6.84) folgt, dass die Längen der Halbachsen des Trägheitsellipsoides $\frac {1}{\sqrt{I_x}}$ , $\frac{1}{\sqrt{I_y}}$ und $\frac{1}{\sqrt{I_z}}$ sind.

Für einen allgemeinen Kreisel mit dem Fixpunkt 0 im Schwerpunkt

gibt es die folgenden Beziehungen zwischen den Hauptträgheitsmomenten:

Kreisel	Hauptträgheitsmomente	Trägheitsellipsoid
Kugel, Würfel, Tetraeder	$I_{1}=I_{2}=I_{3}$	Kugel
axialsymmetrisch, tellerförmig	$I_{1}>I_{2}=I_{3}$	Rotationsellipsoid, tellerförmig
axialsymmetrisch spindelförmig	$I_{1}=I_{2}>I_{3}$	Rotationsellipsoid, spindelförmig
niedrige Symmetrie	$I_{1}>I_{2}>I_{3}$	allg. Ellipsoid

Trägheitsellipsoide verschiedener Körper

Bemerkung: nur Rotationen eines freien Körpers um die Hauptachsen mit dem grössten und dem kleinsten Hauptträgheitsmoment sind stabil.

Kräftefreier Kreisel

$\displaystyle \vec{M}_{0}=0$

$\displaystyle \frac{d\vec{L}_{0}}{dt}=0$

$\displaystyle \vec{L}_{0}=const.$

$\displaystyle E_{kin}=\frac{1}{2}\sum\frac{L_{x}^{2}}{I_{x}}=const.=\frac{1}{2}\vec{L}_{0} \cdot\vec{\omega}\left( t\right)$

(6.606)

$\displaystyle \vec{L}_{0}\cdot\vec{\omega}\left( t\right)$	$\displaystyle =L_{0}\omega\left( t\right) \cos\alpha$
	$\displaystyle =L_{0}\omega_{\ell}=const.$

d.h. $\omega_{L}=const$ . Dabei ist $\omega_{L}$ die Projektion von $\vec{\omega}$ auf $\vec{L}_{0}$ . Es gibt zwei Fälle:

Bei einer permanenten Rotation ist $\vec{\omega}\parallel\vec{L}_{0}$ wenn $\vec{\omega}\parallel$ zur Hauptachse ist. Es gilt dann

$\displaystyle \vec{\omega}_i=\frac{1}{I_{i}}\vec{L}_{0} i=1...3$

$\displaystyle I_{1}>I_{2}>I_{3}$

Poinsotsche Konstruktion *

$\displaystyle E_{kin}=\frac{1}{2}I\omega^{2}=\frac{1}{2}I_{x}\omega_{x}^{2}+\frac{1}{2} I_{y}\omega_{y}^{2}+\frac{1}{2}I_{z}\omega_{z}^{2}$

wenn $\omega=\left( \omega_{x,}\omega_{y},\omega_{z}\right)$ die Kreisfrequenz im Hauptachsensystem ist. Da $\omega^2 = \omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2$ ist, sind alle einzelnen Komponenten kleiner als $\omega$ . Also kann man schreiben

$\displaystyle \omega_x$	$\displaystyle = \omega\cos\alpha$	$\displaystyle \omega_y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \omega\cos\beta$		$\displaystyle \omega_z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \omega\cos\gamma$
$\displaystyle \cos\alpha$	$\displaystyle =\frac{\omega_{x}}{\omega}$	$\displaystyle \cos\beta$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\omega_{y} }{\omega}$		$\displaystyle \cos\gamma$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\omega_{z}}{\omega}$

Die Zeichnung zeigt, dass damit auch $\omega^2 = \omega^2\cos^2\alpha+\omega^2\cos^2\beta+\omega^2\cos^2\gamma$ und damit $1 = \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma$ ist. Weiter ist nach Gleichung (6.79)

$\displaystyle e_x = \frac{\omega_x}{\omega}=\cos\alpha\hspace{1cm}e_y = \frac{\omega_y}{\omega}\hspace{1cm}=\cos\beta_z = \frac{\omega_z}{\omega}=\cos\gamma$

$\displaystyle I = I_x e_x^2+I_y e_y^2+I_ze_z^2$

$\displaystyle I=I_{x}\cos^{2}\alpha+I_{y}\cos^{2}\beta+I_{z}\cos^{2}\gamma$

Wir setzen den Punkt

im Abstand $\rho=\sqrt{\frac{1}{I}}$ (siehe Gleichung (6.82) ) vom Nullpunkt auf die Drehachse. Mit $\begin{displaymath}Q=\left( \begin{array}[c]{c} x\\ y\\ z \end{array}\right) =\vec{\rho}\end{displaymath}$ wird

$\displaystyle \cos\alpha$	$\displaystyle =\frac{x}{\rho}$
$\displaystyle \cos\beta$	$\displaystyle =\frac{y}{\rho}$
$\displaystyle \cos\gamma$	$\displaystyle =\frac{z}{\rho}$

$\displaystyle I_x(x/\rho)^2+I_y(y/\rho)^2+I_z(z/\rho)^2 = I$

$\displaystyle I_x x^2+I_y y^2 + I_z z^2 = I\rho^2 = \frac{I}{I} = 1$

(6.607)

Allgemein gilt, dass eine Funktion $f\left( x,y,z\right) =const$ eine Oberfläche beschreibt. Dann ist der Normalenvektor der Funktion $f(\vec{\rho}) = f(x$ ,

durch

$\displaystyle {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f=2\left( I_{x}x,I_{y}y,I_{z}z\right)$

(6.608)

Wir betrachten das totale Differential

. Dieses muss null sein, da die Funktion $f(\vec{\rho})$ eine Konstante ist. Wir bekommen also

$\displaystyle df$	$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y} dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$
	$\displaystyle =\left( {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f\right) \cdot\left( dx,dy,dz\right)$	(6.609)
	$\displaystyle =\left( {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f\right) \cdot\left( d\vec{\rho}\right) =0$	(6.610)

Damit ist ${}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f$ senkrecht zu $d\vec{\rho}$ . Da $d\vec{\rho}$ in der Fläche $f(\vec{\rho})$ liegt (Die möglichen Änderungen von $\vec{\rho}$ sind durch die durch $f(\vec{\rho})$ beschriebene Fläche begrenzt) ist ${}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f$ senkrecht zur Tangentialebene und damit der Normalenvektor.

Der Normalenvektor zum Trägheitsellipsoid

$\displaystyle f\left( x,y,z\right) = f(\vec{\rho})=I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1=const$

ist

$\displaystyle {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f=2\left( I_{x}x,I_{y}y,I_{z}z\right)$

$\displaystyle \vec{L}=\left( I_{x}\omega_{x},I_{y}\omega_{y},I_{z}\omega_{z}\right)$

Von der Konstruktion her sind $\vec{\rho}=\left( x,y,z\right)$ und $\vec{\omega=}\left( \omega_{x},\omega_{y},\omega_{z}\right)$ parallel. Wir können wie folgt umformen

$\displaystyle \vec{L}$	$\displaystyle = \left( I_{x}\omega_{x},I_{y}\omega_{y},I_{z}\omega_{z}\right)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \omega\left(I_x\cos\alpha +I_y\cos\beta+ I_z\cos\gamma\right)$
	$\displaystyle = \omega\left(I_x\frac{x}{\rho} +I_y\frac{y}{\rho}+ I_z\frac{z}{\rho}\right)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\omega}{\rho}\left(I_x x + I_y y +I_z z\right)$
	$\displaystyle = \frac{\omega}{\rho}\frac{ {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f(\vec{\rho})}{2}$

Deshalb ist $2\vec{L}\parallel {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f(\vec{\rho})$ , das heisst, dass $\vec{L}$ senkrecht zur Tangentialebene

im Durchstosspunkt

von $\vec{\omega}$ durch das Trägheitsellipsoid ist.

$\includegraphics[width=0.4\textwidth]{starr-023}$

Interpretation der Poinsotschen Konstruktion

Wir bezeichnen mit $\Delta$ den Abstand von 0 zur Tangentialebene

. Der Abstand $\Delta$ hat die folgende Bedeutung

$\displaystyle \Delta^{2}=\frac{2E_{kin}}{\vec{L}^{2}}$

(6.611)

Beweis: Die Tangentialebene

ist durch den Vektor $\vec{R}= (X$ ,

gegeben. Dann gilt

$\displaystyle \left( \vec{R}-\vec{\rho}\right) \cdot {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} f(\vec{\rho})=0$

(6.612)

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \\ \end{array}\right)\c... ...eft( \begin{array}{c} 2I_x x \\ 2I_y y \\ 2 I_z z \\ \end{array}\right)=0$

$\displaystyle 2I_x x X + 2 I_y y Y + 2I_z z Z = 2I_x x^2 + 2I_y y^2 + 2I_z z^2 = 2$

$\displaystyle I_{x}xX+I_{y}yY+I_{z}zZ=1$

(6.613)

Wir bezeichnen mit $\vec{\hat{e}}$ den Einheitsvektor entlang $\vec{R}\parallel \vec{L}$ . Dann ist $\Delta$

$\displaystyle \Delta=\vec{R}\cdot\vec{\hat{e}}=X\hat{e}_{x}+Y\hat{e}_{y}+Z\hat{e}_{z}$

(6.614)

$\displaystyle 1=\frac{X\hat{e}_{x}}{\Delta}+\frac{Y\hat{e}_{y}}{\Delta}+\frac{Z\hat{e}_{z}}{\Delta}$

(6.615)

Wir vergleichen Gleichung (6.92) und Gleichung (6.94) . Die Vorfaktoren von

und

müssen identisch sein, da bei beliebiger Variation der drei Grössen beide Gleichungen konstant sein müssen. Insbesondere kann man

setzen und bekommt dann

$\displaystyle I_x x X = 1 = \frac{\hat{e}_x}{\Delta}X \stackrel{X\neq 0}{\Rightarrow} I_x x = \frac{\hat{e}_x}{\Delta}$

$\displaystyle \frac{\hat{e}_{x}}{\Delta}=I_{x}x\;\;\;\;\;\;\;\frac{\hat{e}_{y}}{\Delta}=I_{y}y\;\;\;\;\;\;\frac{\hat{e}_{z}}{\Delta}=I_{z}z\;$

(6.616)

$\displaystyle \hat{e}_{x}=\Delta I_{x}x\;\;\;\;\;\;\;\hat{e}_{y}=\Delta I_{y}y\;\;\;\;\;\;\;\hat{e}_{z}=\Delta I_{z}z\;$

(6.617)

$\displaystyle 1=\hat{e}_{x}^{2}+\hat{e}_{y}^{2}+\hat{e}_{z}^{2}=\Delta^{2}\left( I_{x}^{2}x^{2}+I_{y} ^{2}y^{2}+I_{z}^{2}z^{2}\right)$

(6.618)

$\displaystyle \frac{x_{i}}{\rho}=\frac{\omega_{i}}{\omega}\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\;\;x_{i}=\frac{\rho }{\omega}\omega_{i}$

(6.619)

$\displaystyle \Delta^{2}\left( I_{x}^{2}\frac{\rho^{2}}{\omega^{2}}\omega_{x}^{... ...2}}\omega_{y}^{2}+I_{z}^{2}\frac{\rho^{2}} {\omega^{2}}\omega_{z}^{2}\right) =1$

(6.620)

$\displaystyle I_{x}^{2}\omega_{x}^{2}+I_{y}^{2}\omega_{y}^{2}+I_{z}^{2}\omega_{... ...\rho^{2}\Delta^{2}}=\frac{I\omega^{2}}{\Delta^{2}} =\frac{2E_{kin}}{\Delta^{2}}$

(6.621)

$\displaystyle \vec{L}=\left( I_{x}\omega_{x},I_{y}\omega_{y},I_{z}\omega_{z}\right)$

(6.622)

$\displaystyle \frac{2E_{kin}}{\Delta^{2}}=\vec{L}^{2}$

(6.623)

Wir betrachten nun ein weiteres Ellipsoid, das Poinsot-Ellipsoid

. Dieses ist ähnlich zum Trägheitsellipsoid und liegt zu ihm konzentrisch. Wir wollen das Poinsot-Ellipsoid als Funktion von $\vec{\omega}_P$ darstellen. Die Nutation im raumfesten Koordinatensystem wird nun beschrieben durch das Abrollen des Poinsot-Ellipsoids auf eine Ebene

gegeben durch die Gesamtheit der Vektoren $\vec{\omega}_E$ . Diese Ebene

ist durch

$\displaystyle \vec{\omega}_{E}\cdot \vec{L}_{0}=\omega_{L}\cdot L_{0}=2E_{kin}=const.$

Am Berührungspunkt des Poinsotschen Ellipsoides muss die vorherige Gleichung auch stimmen. Deshalb ist die Ellipsengleichung im körperfesten Hauptachsensystem

$\displaystyle 1$	$\displaystyle =\frac{\vec{L}_{0}\cdot\vec{\omega}_{p}}{2E_{kin}}$
	$\displaystyle =\frac{1}{2E_{kin}}\left[ \left( I_{x}\omega_{px}\right) \omega _... ...ga_{py}\right) \omega_{py}+\left( I_{y}z\omega _{pz}\right) \omega_{pz}\right)]$
	$\displaystyle = \frac{I_x \omega_{px}^2}{2 E_{kin}}+\frac{I_y \omega_{py}^2}{2 E_{kin}}+\frac{I_z \omega_{pz}^2}{2 E_{kin}}$
	$\displaystyle =\frac{\omega_{px}^{2}}{\frac{2E_{kin}}{I_{x}}}+\frac{\omega_{py}^{2} }{\frac{2E_{kin}}{I_y}}+\frac{\omega_{pz}^{2}}{\frac{2E_{kin}}{I_{z}}}$	(6.624)

$\displaystyle \sqrt{\frac{2E_{kin}}{I_x}}\hspace{1cm}\sqrt{\frac{2E_{kin}}{I_y}}\hspace{1cm}\sqrt{\frac{2E_{kin}}{I_z}}$

Der Punkt

(Berührungspunkt zwischen dem Poinsot-Ellipsoid

und der Ebene

) ist gegeben durch

$\displaystyle \vec{\omega}_{E}=\vec{\omega}_{p}=\vec{\omega}\left( t\right)$

(6.625)

Im körperfesten Hauptachsensystem ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor $\vec{\omega}(t)$ die Verbindung zwischen dem Fixpunkt 0 (beim freien Körper ist das der Schwerpunkt, beim Kreisel der Auflagepunkt) und der Polhoide.

Die Polhoide ist gegeben als Schnittpunkt des Poinsot-Ellipsoides

und des Drallellipsoides

. Das Drallellipsoid wird als Funktion der Variablen $\vec{\omega}_D = (\omega_{Dx}$ , $\omega_{Dy}$ , $\omega_{Dz})$ geschrieben. Nach Gleichung (6.76) ist der Drehimpuls gegeben durch

$\displaystyle \vec{L}_{0}=\left( I_{x}\omega_{x}\text{,} I_{y}\omega_{y}\text{,} I_{z}\omega_{z}\right)$

(6.626)

$\displaystyle 1$	$\displaystyle =\frac{\vec{L}_{0}^{2}}{L_{0}^{2}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{I_x^2\omega_{Dx}^2+I_y^2\omega_{Dy}^2+I_z^2\omega_{Dz}^2}{L_0^2}$	(6.627)
	$\displaystyle = \frac{I_x^2\omega_{Dx}^2}{L_0^2}+\frac{I_y^2\omega_{Dy}^2}{L_0^2}+\frac{I_z^2\omega_{Dz}^2}{L_0^2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\omega_{Dx}^{2}}{\left( \frac{L_{0}}{I_{x}}\right) ^{2}}+\f... ...}}\right) ^{2}}+\frac{\omega_{Dz}^{2}}{\left( \frac{L_{0}}{I_{z} }\right) ^{2}}$

Diese Gleichung definiert das Drallellipsoid

. Das Drallellipsoid

hat die Halbachsen

$\displaystyle \frac{L_0}{I_x}\hspace{1cm}\frac{L_0}{I_y}\hspace{1cm}\frac{L_0}{I_z}$

Bei einem reibungsfreien Kreisel ist sowohl seine kinetische Energie wie auch der Betrag seines Drehimpulses erhalten. Die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ bestimmt zusammen mit dem Trägheitstensor beide Grössen. Im Hauptachsensystem folgt aus der Erhaltung der kinetischen Energie, dass $\vec{\omega}$ sich auf dem Poinsot-Ellipsoid

bewegen muss. Die Erhaltung des Drehimpuls-Quadrates $\vec{L}_0^2$ bedingt, dass im Hauptachsensystem $\vec{\omega}$ sich auf dem Drallellipsoid

befinden muss. Die möglichen Bahnkurven sind also die Schnittmenge von

und

Um den Vektor $\vec{\omega}$ vollständig anzugeben, sind drei Komponenten nötig. Mit der kinetischen Energie $E_{kin}$ und dem Quadrat des Drehimpulses $\vec{L}_0^2$ haben wir erst zwei Bestimmungsgrössen. Wir könnten also die Komponenten von $\vec{L}_0$ entlang einer Koordinatenachse als dritte Angabe verwenden. Üblicherweise nennt man diese Koordinatenachse die

-Achse: Wir bestimmen also die Komponente

Dieses Tripel ( $E_{kin}$ , $\vec{L}_0^2$ und

) ist das gleiche Tripel, das bei der Angabe der Quantenzahlen für ein Elektron angegeben wird. Der quantenmechanische Zustand eines Elektrons in einem Atom ist also äquivalent zu einem Bewegungszustand eines Kreisels.