Definition: Ein Kreisel ist ein starrer Körper, dessen Bewegung durch einen Fixpunkt festgelegt ist. |
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Die Lage der Drehachse eines Kreisels hängt von der Zeit ab
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(6.588) |
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Kreisel
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Die Geschwindigkeit eines Massenelementes
ist gegeben durch
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(6.589) |
ist die momentane Geschwindigkeit von
.
Die momentane Drehachse bewegt sich im Raum entlang einer Kegeloberfläche, der Oberfläche des
festen Polkegels
.
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Polkegel
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Bezüglich des Körpers bewegt sich auf einen beweglichen Polkegel
.
(körperfest) rollt auf
ab. Die Berührungslinie der beiden Polkegel ist die momentane Drehachse.
Wir betrachten den Zusammenhang zwischen
und
im
körperfesten Bezugssystem.
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(6.590) |
oder
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(6.591) |
oder
.
heisst der Trägheitstensor des Kreisels (des
starren Rotators) bezüglich dem Fixpunkt 0. Die Komponenten von
sind
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(6.592) |
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(6.593) |
ist symmetrisch, das heisst
Beweis: Die Definition des Drehimpulses ist
Für ein Massenelement gilt
Mit
wird
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Also wird
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(6.594) |
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(6.595) |
also ist
und
und
, wie
behauptet.
Die Grösse
heisst Deviationsmoment.
Die Spur von
ändert sich nicht bei einer Drehung des Koordinatensystems
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(6.596) |
Weiter gilt
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(6.597) |
und zyklisch.
Frage: gibt es ein Koordinatensystem, in dem die Deviationsmomente verschwinden?
Diese Frage ist äquivalent zur Frage nach den Eigenvektoren einer Matrix.
Aus der Mathematik weiss man, dass, da
gilt, ein
Hauptachsensystem existiert, in dem
diagonal ist.
Wir nennen die Hauptträgheitsmomente:
Seien
,
,
körperfeste Basisvektoren, die so nummeriert werden, dass
ist.
Sei
die momentane Drehachse und
die momentane Winkelgeschwindigkeit. Dann gilt
Der Drehimpulsvektor entlang der -Achse ist dann
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(6.599) |
Die Spur des Trägheitstensors ist
.
Es gilt
, da der Kreisel ein starrer Rotator ist. Im
Hauptachsensystem haben wir
Beweis
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||
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||
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||
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Die momentane Drehachse ist durch
gegeben. Wir definieren die
momentane Drehachse durch einen zeitabhängigen Einheitsvektor
mit
. Dann ist
Durch Umstellen erhalten wir
wobei wir
gesetzt haben. ist das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse
. Wenn die
kinetische Energie des Kreisels erhalten ist, ist auch
eine Konstante.
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Wir möchten den Körper mit einer allgemeinen Form, der durch den
Trägheitstensor
charakterisiert ist, durch den
einfachst möglichen Körper mit den gleichen Rotationseigenschaften ersetzen.
Dies ist das Trägheitsellipsoid charakterisiert durch den Vektor
. Wir
verwenden zur Definition von
die Definition des Trägheitsmomentes
bezüglich der momentanen Drehachse
vom vorherigen Abschnitt.
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(6.604) |
Wir setzen in die Ellipsengleichung ein und erhalten
beschreibt also in der Tat die Oberfläche eines Ellipsoids, das wir Trägheitsellipsoid nennen. Aus der
Konstruktion folgen die Eigenschaften des Trägheitsellipsoides:
Aus Gleichung (6.84) folgt, dass die Längen der Halbachsen des Trägheitsellipsoides
,
und
sind.
Für einen allgemeinen Kreisel mit dem Fixpunkt 0 im Schwerpunkt gibt es die folgenden Beziehungen zwischen
den Hauptträgheitsmomenten:
Bemerkung: nur Rotationen eines freien Körpers um die Hauptachsen mit dem grössten und dem kleinsten Hauptträgheitsmoment sind stabil.
Definition: Ein Kreisel heisst kräftefrei, wenn ![]() |
Dann ist
und
d.h.
Die kinetische Energie ist dann
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(6.606) |
d.h.
bewegt sich auf einem Kegel um
Wie realisiert man einen kräftefreien Kreisel?
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Kräftefreier Kreisel
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Es ist
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|
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d.h.
. Dabei ist
die Projektion von
auf
. Es gibt zwei
Fälle:
Bei einer permanenten Rotation ist
wenn
zur Hauptachse
ist. Es gilt dann
Beim asymmetrischen Kreisel ist
Rotationen um
Nach Gleichung (6.78) und Gleichung (6.80) ist
wenn
die Kreisfrequenz im Hauptachsensystem ist. Da
ist, sind alle einzelnen Komponenten kleiner als
. Also kann
man schreiben
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Poinsotsche Konstruktion
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Die Zeichnung zeigt, dass damit auch
und damit
ist. Weiter ist nach Gleichung (6.79)
Nach Gleichung (6.82) ist
Wir setzen den Punkt im Abstand
(siehe Gleichung (6.82) ) vom Nullpunkt auf die
Drehachse. Mit
wird
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Diese Gleichung beschreibt also nichts anderes als das Trägheitsellipsoid.
Allgemein gilt, dass eine Funktion
eine Oberfläche beschreibt. Dann ist der
Normalenvektor der Funktion
,
,
durch
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(6.608) |
Beweis:
Wir betrachten das totale Differential . Dieses muss null sein, da die Funktion
eine Konstante
ist. Wir bekommen also
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|
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(6.609) | |
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(6.610) |
Damit ist
senkrecht zu
. Da
in der Fläche
liegt (Die
möglichen Änderungen von
sind durch die durch
beschriebene Fläche begrenzt) ist
senkrecht zur Tangentialebene und damit der Normalenvektor.
Der Normalenvektor zum Trägheitsellipsoid
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Im Hauptachsensystem ist
Von der Konstruktion her sind
und
parallel. Wir können wie folgt umformen
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||
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Deshalb ist
, das heisst, dass
senkrecht zur Tangentialebene
im Durchstosspunkt
von
durch das Trägheitsellipsoid ist.
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Trägheitsellipsoid
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Rezept zur Konstruktion von :
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Interpretation der Poinsotschen Konstruktion
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Wir bezeichnen mit den Abstand von 0 zur Tangentialebene
in
. Der Abstand
hat die
folgende Bedeutung
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(6.611) |
Beweis: Die Tangentialebene ist durch den Vektor
,
,
gegeben. Dann gilt
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(6.612) |
Ausmultipliziert erhält man
Wir bezeichnen mit
den Einheitsvektor entlang
. Dann ist
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(6.614) |
oder
Wir vergleichen Gleichung (6.92) und Gleichung (6.94) . Die Vorfaktoren von ,
und
müssen identisch sein, da
bei beliebiger Variation der drei Grössen beide Gleichungen konstant sein müssen. Insbesondere kann man
setzen und bekommt dann
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(6.616) |
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(6.617) |
Da
ein Einheitsvektor ist, gilt
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(6.618) |
und
sind parallel, also ist
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(6.619) |
und
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(6.620) |
Mit der Definition
bekommt man
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(6.621) |
Andererseits ist
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(6.622) |
Damit folgt die Behauptung
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(6.623) |
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Poinsot-Ellipsoid
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Wir betrachten nun ein weiteres Ellipsoid, das Poinsot-Ellipsoid . Dieses ist ähnlich zum Trägheitsellipsoid
und liegt zu ihm konzentrisch. Wir wollen das Poinsot-Ellipsoid als Funktion von
darstellen. Die
Nutation im raumfesten Koordinatensystem wird nun beschrieben durch das Abrollen des Poinsot-Ellipsoids auf eine
Ebene
gegeben durch die Gesamtheit der Vektoren
. Diese Ebene
ist durch
Am Berührungspunkt des Poinsotschen Ellipsoides muss die vorherige Gleichung auch stimmen. Deshalb ist die Ellipsengleichung im körperfesten Hauptachsensystem
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||
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||
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(6.624) |
Die drei Halbachsen des Poinsotschen Ellipsoids sind
Der Punkt (Berührungspunkt zwischen dem Poinsot-Ellipsoid
und der Ebene
) ist gegeben durch
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(6.625) |
Die Bahnkurve von auf
heisst Polhoide
Die Bahnkurve von auf
heisst Herpolhoide
Im körperfesten Hauptachsensystem ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor
die Verbindung zwischen
dem Fixpunkt 0 (beim freien Körper ist das der Schwerpunkt, beim Kreisel der Auflagepunkt) und der
Polhoide.
Die Polhoide ist gegeben als Schnittpunkt des Poinsot-Ellipsoides und des Drallellipsoides
. Das
Drallellipsoid wird als Funktion der Variablen
,
,
geschrieben. Nach Gleichung (6.76) ist der Drehimpuls gegeben durch
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(6.626) |
Also können wir schreiben
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(6.627) |
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Diese Gleichung definiert das Drallellipsoid . Das Drallellipsoid
hat die Halbachsen
Bei einem reibungsfreien Kreisel ist sowohl seine kinetische Energie wie auch der Betrag seines
Drehimpulses erhalten. Die Winkelgeschwindigkeit
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Um den Vektor
vollständig anzugeben, sind drei Komponenten nötig. Mit der kinetischen Energie
und dem Quadrat des Drehimpulses
haben wir erst zwei Bestimmungsgrössen. Wir könnten also
die Komponenten von
entlang einer Koordinatenachse als dritte Angabe verwenden. Üblicherweise nennt
man diese Koordinatenachse die
-Achse: Wir bestimmen also die Komponente
.
Dieses Tripel (,
und
) ist das gleiche Tripel, das bei der Angabe der Quantenzahlen
für ein Elektron angegeben wird. Der quantenmechanische Zustand eines Elektrons in einem Atom ist also äquivalent
zu einem Bewegungszustand eines Kreisels.
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Wirkt ein externes Drehmoment
bezüglich 0 so gilt
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(6.628) |
Bemerkung: Durch den Drallsatz ist
bis auf eine Konstante
bestimmt.
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Unter Präzession versteht man die Rotation von
mit
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(6.629) |
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Präzedierender Kreisel
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Hier ist der Abstand des Schwerpunktes vom Fixpunkt. Dann ist
und daraus
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(6.630) |
ist unabhängig von
. Wir können auch eine Energiebetrachtung machen:
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(6.631) |
Da konstant ist, ist auch die kinetische Energie
konstant. Die totale Energie ist konstant, also
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(6.632) |
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das heisst, und
sind auch einzeln konstant. Das heisst der präzedierende Kreisel fällt nicht.
Othmar Marti