Materie besteht aus Atomen oder Molekülen. Sie kommt in 4 verschiedenen Zuständen, Aggregatszustände genannt, vor.
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Flüssigkeitsoberfläche
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Eine Kraft tangential zur Flüssigkeitsoberfläche bewirkt eine Verschiebung aber keine
Formänderung
An der Flüssigkeitsoberfläche gibt es keine Tangantialkräfte. |
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Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeitsfläche
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Beispiel: Kaffee beim Umrühren. Wir wollen die Form der Flüssigkeitsfläche berechnen.
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(7.660) |
und
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(7.661) |
Eine rotierende Flüssigkeitsoberfläche hat also Parabelform.
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Definition des Druckes
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Druck ist die Kraft pro Fläche auf die Berandung eines Behälters.
Es sei
Bemerkung: die Energiedichte
hat die gleiche Einheit wie der Druck. Eingehendere Überlegungen zeigen,
dass Druck immer mit einer Energiedichte, und Energiedichte mit Druck verbunden ist.
Merken Sie sich die Identität:
Energiedichte =Druck
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Eine Druckänderung bewirkt eine Volumenänderung.
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(7.662) |
Lokal bewirkt eine Volumenänderung eine Dichteänderung
.
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(7.663) |
(Wenn das Volumen abnimmt, nimmt die Dichte zu.)
Die Volumenänderung ist proportional zur Druckänderung
heisst Kompressionsmodul. Seine Einheit ist
Pascal
. Wir haben weiter
heisst Kompressibilität. Ihre Einheit ist
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Hydraulische Presse. Kräfte bezogen auf die Wirkung auf die Aussenwelt
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Wir haben
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und
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(7.666) |
Bemerkung: Die Wirkung von hydraulischen Pressen kann sehr gut mit virtuellen Verrückungen berechnet werden.
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Druckarbeit
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Das Differential der Druckarbeit ist
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(7.667) |
da ist. Also ist die geleistete Arbeit:
Ändert sich wenig, so ist die Druckarbeit
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Berechnung des Schweredruckes
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Wir berechnen die Kraft bei (1). Die Masse des verdrängten Wassers ist . Die daraus
resultierende Gewichtskraft beträgt
. Also ist der Schweredruck des Wassers
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(7.670) |
unabhängig von . In einem Meter Tiefe ist der Schweredruck
, das heisst es ist unmöglich mit einer
Schnorchel von 1m Länge zu atmen. Der Schweredruck hängt nur von der Flüssigkeitshöhe ab, nicht jedoch vom
Querschnitt der Flüssigkeitssäule. Deshalb steht in kommunizierenden Rohren das Wasser überall gleich hoch.
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Auftrieb in Flüssigkeiten
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Wir betrachten einen untergetauchten Würfel. Die Kraft von oben ist
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(7.671) |
Salopp gesagt, ist der Auftrieb die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Ein Körper schwebt im Wasser, wenn
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(7.672) |
ist.
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Schwimmen
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Wenn
ist die Gewichtskraft
. Die Auftriebskraft ist hingegen
. Der Körper schwimmt, wenn die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft ist (
). Dann ist
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(7.673) |
und der Körper taucht bis zu
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(7.674) |
ins Wasser ein.
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Stabilität eines schwimmenden Körpers
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Sei der Schwerpunkt des Körpers.
sei der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit. Solange der
Körper schwimmt ist
. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar und damit erzeugen sie ein
Drehmoment
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(7.675) |
Dieses Drehmoment richtet den Körper auf. Wenn unter
liegt, ist die Schwimmlage stabil. Wenn
über
liegt, hängt die Stabilität von der Lage des Metazentrums
ab.Das Metazentrum ist durch die
Schnittlinie der Mittellinie des Körpers und der Verlängerung von
gegeben. Die Schwimmlage ist
stabil, wenn
über
liegt.
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Aräometer
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Mit einem Aräometer misst man die Dichte einer Flüssigkeit (Schnapswaage). Wir haben
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Das Gesetz von Boyle-Mariotte lautet
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(7.676) |
Damit es anwendbar ist, brauchen wir
hängt von der Temperatur
und der Anzahl Moleküle ab. Bei
ist das Volumen eines
Gases
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(7.677) |
wobei die Masse des Gases,
die Molmasse,
das Volumen in Litern und
der Druck in
bar ist. Bei langsamen Zustandsänderungen ist die isotherme Kompressibilität
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(7.678) |
Der Luftdruck kann mit einem Barometer gemessen werden.
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Quecksilber-Barometer
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(7.679) |
Unter dem Normaldruck versteht man einen Druck von
(Quecksilbersäule). Die Einheit
bezeichnet man nach Torricelli mit
. Der Normaldruck ist also auch
. In SI-Einheiten ist der
Normaldruck
, was der alten Einheit Atmosphäre
entspricht.
Die Dichte der Luft bei Umgebungsbedingungen ist
mit
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(7.680) |
bekommt man
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(7.681) |
Aber: Gesetz von Boyle-Mariotte
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(7.682) |
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Druckänderung mit der Höhe
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mit folgt
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(7.683) |
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(7.684) |
Nun ist aber
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(7.685) |
Also ist
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(7.686) |
und
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(7.687) |
Die Lösung ist
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(7.688) |
Wir setzen ein und erhalten
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(7.689) |
oder
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(7.690) |
Also
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(7.691) |
Diese Gleichung heisst isotherme Barometerformel. Sie ist eine Näherung, da wir die Temperatur als konstant
angenommen haben ebenso wie den Feldvektor des Gravitationspotentials
.
Der Druck
sei eine skalare Funktion des Ortes
Behauptung:
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(7.692) |
ist die Volumenkraft. Das ist die resultierende Kraft auf die
Oberfläche des Volumenelements, dividiert durch das Volumen dieses Elements.
Beweis
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Druck auf ein Volumenelement
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also
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||
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(7.693) |
Daraus folgt die Behauptung.
Eine andere Möglichkeit des Beweises ist: Wähle ein Volumenelement mit der Oberflächen
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(7.694) |
Beispiel: Wasser:
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Kräfte auf ein Volumenelement Wasser
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(7.695) |
Der Druck ist also das Potential zur Volumenkraft
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(7.696) |
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Daraus folgt:
Othmar Marti