Oberflächenspannung

Molekulares Bild der Flüssigkeit. Links das Innere, rechts die Oberfläche. Obere Zeile: Kohäsionskräfte an der Oberfläche sind nicht gleichverteilt. Untere Zeile: Stösse mit der Oberfläche erzeugen eine nach aussen gerichtete Kraft.

Im Inneren einer Flüssigkeit (oder eines Gases) sind die anziehenden Kräfte (auch Kohäsionskräfte genannt) isotrop verteilt. Es gibt auf ein bestimmtes Atom keine Nettokraft. Kohäsionskräfte sind kurzreichweitig. Mehr als über zwei bis vier Atome oder Moleküle reichen sie nicht. Ebenso sind im Inneren der Flüssigkeit oder des Gases die Stösse und die Impulse isotrop verteilt. Die Stösse ergeben also im Mittel keine Kraft. Dabei ist die Standardabweichung nicht null: dies führt zur Brownschen Bewegung.

An der Oberfläche einer Flüssigkeit existieren mindestens zwei, im Gravitationsfeld drei Kräfte.

1. Die Kohäsionskräfte auf Oberflächenatome oder Moleküle sind nicht mehr isotrop verteilt. Die nach aussen ziehenden Anteile fehlen, so dass Netto eine nach innen zeigende Kraft existiert.
2. Stösse an der Oberfläche sind nicht isotrop verteilt. Wie beim Stoss eines Balls mit der Wand überträgt jeder Stoss eines Atoms oder Moleküls mit der Oberfläche eine Impulsänderung in der Zeit $\Delta t$ auf die Oberfläche, übt also eine Kraft aus.
3. Wenn äussere Kräfte wie die Gravitation vorhanden sind, müssen sie berücksichtigt werden.

Da die Oberfläche in Ruhe ist, müssen die drei Kräfte im Gleichgewicht sein. Die aus dem Impulsübertrag resultierende Kraft nach aussen muss also gleich der Kohäsionskraft und, eventuell, der Gravitation oder anderer äusserer Kräfte, sein.

Da die Oberfläche stabil ist, bedeutet dies auch, dass die potentielle Energie eines Atoms oder Moleküls im Inneren tiefer liegen muss als ausserhalb der Flüssigkeit. Dies kann auch so verstanden werden, dass für jedes Teilchen im Inneren im Mittel $N$ Kohäsionspotentiale (alle $<0$!)aufsummiert werden müssen, während an der Oberfläche nur $N_{S} < N$ Potentiale zum Summieren vorhanden sind. Die Summe aller Kohäsionspotentiale an der Oberfläche ist also weniger negativ als im Inneren. Der Energieunterschied pro Fläche ist dann die Oberflächenenergie.

Diese Oberflächenenergie kann berechnet werden, wenn man annimmt, dass die Stösse mit der Oberfläche unveränderlich eine konstante nach aussen gerichtete Kraft erzeugen. Schiebt sich nun ein Molekül $M$ an die Oberfläche, so leistet es die Arbeit $W_{is}\left( M\right)$ gegen $\vec{F}_{S}$. Damit wird

$$E_S(M)=W_{is}(M)$$ (7.697)

Der Index $S$ bezeichnet dabei die Oberfläche (surface). Die gesamte Energie der Oberfläche wird berechnet, indem aufsummiert (oder integriert) wird.

Die potentielle Energie der gesamten Oberfläche $A$ (eventuell berandet) ist minimal, wenn die Oberfläche minimal ist. Die Gesamtenergie $E_S$ hängt mit der Oberfläche $A$ und der Oberflächenspannung $\sigma_S$ wie folgt zusammen:

$$E_{S}\left( M\right) =\sigma_{S}\cdot A$$ (7.698)

Die Einheit der Oberflächenspannung $\sigma_{S}$ ist $\left[ \frac{N}{m}\right]$.

Wenn $n\cdot A$ Moleküle an der Oberfläche sind, gilt

$$\sigma_{S}=nE_{S}\left( M\right) =\frac{1}{d_{eff^{2}}}E_{S}\left( M\right)$$ (7.699)

Dabei ist $n=\frac{1}{d_{eff^{2}}}$ die Flächendichte der Moleküle, $d_{eff}$ der effektive Durchmesser eines Moleküls und $E_{S}\left( M\right)$ die Arbeit, die benötigt wird um ein Molekül gegen die Oberflächenkraft an die Oberfläche zu bringen (siehe Gleichung (7.62) ).

Anwendung: Kraft eines Flüssigkeitsfilms

Berechnung der Kraft eines Flüssigkeitsfilmes

1. Der Flüssigkeitsfilm hat 2 Oberflächen.

2. Die Verschiebung der Grenze um $\Delta y$ benötigt die Arbeit

   $$\Delta F\cdot\Delta y=2\Delta E_{S}=\sigma_{S}\cdot2\Delta A=2\sigma _{S}b\Delta y$$ (7.700)

   
   
   und

   $$\Delta F=2\sigma_{S}b$$ (7.701)

   
   

Pro Flüssigkeitsoberfläche wirkt auf die Breite $\Delta x$ die Kraft.

$$\Delta F_{S}=\sigma_{S}\Delta x$$ (7.702)

Tropfenzähler

Der Querschnitt ist $2\pi r$. Das Kräftegleichgewicht verlangt, dass die aufwärtsgerichte Kraft der Oberflächenspannung gerade das Gewicht des Tropfens kompensiert. Ausser an der Berandung kompensieren sich alle Kräfte.

$$2\pi r\sigma_{S}=V\rho g$$ (7.703)

Also ist

$$V=\frac{2\pi r\sigma_{S}}{\rho g}$$ (7.704)

Also kann man mit der obigen Physik einen Tropfenzähler beschreiben.

Freie Oberflächen

Krümmungsradien bei einer freien Oberfläche

Die Oberfläche ist charakterisiert durch 2 Krümmungsradien $R_{1}$ und $R_{2}$

Behauptung

$$\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{\Delta p}{2\sigma_{S}}$$ (7.705)

Beweis für eine Kugel

Oberflächenspannung und Druck in einer Kugel

Wir haben eine Äquatorialfläche $A$ und einen Äquatorialumfang $U$. Die Druckkraft ist $\Delta p\cdot A$, die Oberflächenspannung am Umfang $2\sigma_{S}U$ (da wir 2 Oberflächen haben!)

Also

$$\Delta pA =2\sigma_{S}U$$

$$\Delta p\pi R^{2} =2\sigma_{S}\cdot2\pi R$$

$$\frac{2}{R} =\frac{\Delta p}{2\sigma_{S}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$$ (7.706)

da bei der Kugel $R_{1}=R_{2}=R$ ist.

Beispiel:

Seifenblasen.

Die kleinere Seifenblase hat den grösseren Druck (gilt auch für Luftballons, wieso?)

Freie nicht geschlossene Oberflächen sind Minimalflächen mit

$$\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=0$$ (7.707)

Da der Krümmungsradius $R^{-1}\propto\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$ ist, gilt auch

$$\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=0$$ (7.708)

Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität

Benetzende Flüssigkeiten

Steigt die Flüssigkeit um $\Delta h$ wird das Volumen $V = \pi r^2 \Delta h$ über den Spiegel der Flüssigkeit ausserhalb der Kapillare gehoben. Die Gewichtskraft dieses Volumens $V$ muss von der Oberflächenspannung entlang des Umfangs $2\pi r$ getragen werden.

$$F_{Graviation}=F_{S} \left( \text{am Umfang}\right)$$ (7.709)

$$\pi r^{2}\cdot \Delta h\cdot\rho\cdot g=\sigma_{S}\cdot2\pi r$$ (7.710)

und

$$\Delta h=\frac{2\sigma_{S}}{r\rho g}$$ (7.711)

Bei Nichtbenetzung beobachtet man eine Kapilardepression (Beispiel Glas und Quecksilber).

Wann immer zwei beliebige Substanzen sich berühren, existieren Grenzflächenenergien.

Kräftegleichgewicht an der Grenzfläche

Für benetzende Flüssigkeiten ist $\sigma_{23}$ negativ. Da die Randlinie sich nicht bewegt, muss

$$\sigma_{12}\cos\theta+\sigma_{23}=\sigma_{13}$$ (7.712)

sein. Für die Grenzflächen zwischen Flüssigkeit und Dampf sowie zwischen Flüssigkeit und Wand ist die Begrenzung oben, die Oberflächenspannung zeigt nach unten. Für die Grenzfläche Wand-Dampf zeigt die Grenzfläche nach oben. Umgeschrieben erhalten wir

$$\sigma_{12}\cos\theta=\sigma_{13}-\sigma_{23}$$ (7.713)

Wenn $\sigma_{13}-\sigma_{23}>\sigma_{12}$ ist, müsste $\left\vert\cos\theta\right\vert>1$ sein. Es gibt deshalb einen reellen Winkel $\theta$ und kein Kräftegleichgewicht. Die Flüssigkeit kriecht deshalb die Wand hoch.

Wenn $\sigma_{23}>\sigma_{13}>$ ist, das heisst, wenn $\sigma_{13}-\sigma_{23}<0$ ist, steigt der Flüssigkeitsspiegel am Rande nicht an, sondern wird nach unten gedrückt. Der Randwinkel $\theta$ ist dann $\theta>\frac{\pi}{2}$. Quecksilber in einem Glasgefäss zeigt dieses Verhalten.

Adhäsions-und Kohäsionskräfte

An der Grenze wo Luft, Flüssigkeit und die feste Wand sich berühren müssen die Adhäsions- und Kohäsionskräfte im Gleichgewicht sein. Die Adhäsionskräfte beschreiben die Kräfte zwischen der Flüssigkeit und der festen Wand. Die Adhäsionskräfte zwischen dem Dampf und der Wand werden vernachlässigt. Die Flüssigkeit selber wird durch Kohäsionskräfte, die anziehenden Kräfte zwischen den Molekülen, zusammengehalten.

Für ein Molekül an der Grenzlinie gibt es die Adhäsionskraft zur Wand. Diese Kraft $\vec{F}_{adh}$ steht senkrecht zur Wand. Die Kohäsionskräfte werden durch die anderen Flüssigkeitsmoleküle aufgebracht. Die resultierende Kohäsionskraft $\vec{F}_{ko}$ muss entlang der Winkelhalbierenden zwischen der Tangente zur Oberfläche und zur Wand liegen. Da die Oberfläche keine Scherkraft aufnehmen kann, muss die resultierende Kraft senkrecht zur Flüssigkeitsoberfläche liegen. Wir beobachten

• Bei benetzenden Oberflächen ist an der Grenzlinie $\left\vert\vec{F}_{ko}\right\vert<\left\vert\vec{F}_{adh}\right\vert$.
• Bei nicht benetzenden Oberflächen ist an der Grenzlinie $\left\vert\vec{F}_{ko}\right\vert>\left\vert\vec{F}_{adh}\right\vert$.

Kohäsion und Adhäsion bei Benetzung und ohne Benetzung

Der Grenzwinkel $\theta$ zwischen der Flüssigkeit und der Wand (in der Flüssigkeit!) kann mit dem folgenden Ansatz ausgerechnet werden. Wir legen die $x$-Achse horizontal nach rechts, die $y$-Achse nach oben. Die auf ein Teilchen an der Grenzlinie im Winkel $\theta$ wirkende Kohäsionskraft kann mit der Kohäsionskraft im Inneren (in einer Ebene) als

$$F_{ko}(\theta) = F_{ko\text{,} innen}\frac{\theta}{2\pi} = F_{ko}'\theta$$

geschrieben werden. Dabei haben wir angenommen, dass die Randlinie nur wenig gekrümmt ist.

$$\vec{F}_{ko} = F_{ko}'\theta\left(\begin{array}{c}\sin \frac{\theta}{2} -\cos\frac{\theta}{2}\end{array}\right) \nonumber$$

$$\vec{F}_{adh} = F_{adh}\left(\begin{array}{c}-1 0\end{array}\right)$$

$$\vec{F}_{res} = F_{res}\left(\begin{array}{c}-\cos\theta -\sin\theta\end{array}\right)$$

Wir können mit dem Kräftegleichgewicht, das heisst der resultierenden Kraft 0, für die $x$-und $y$-Richtung zwei Gleichungen aufstellen

$$F_{ko\text{,} x} + F_{adh\text{,} x} = F_{res\text{,} x}$$

$$F_{ko\text{,} y} =F_{res\text{,} y}$$ (7.714)

Eingesetzt haben wir

$$F_{ko}'\theta\sin\frac{\theta}{2}-F_{adh} = -F_{res}\cos\theta$$

$$-F_{ko}'\theta\cos\frac{\theta}{2} =-F_{res}\sin\theta$$ (7.715)

Aus der zweiten Gleichung in Gleichung (7.80) bekommen wir mit $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$

$$F_{res} = \frac{F_{ko}'\theta}{2\sin\frac{\theta}{2}}$$ (7.716)

Wir multiplizieren das Resultat aus Gleichung (7.81) mit $2\sin\frac{\theta}{2}$ in die erste Gleichung aus Gleichung (7.80) ein und erhalten

$$2\sin^2\frac{\theta}{2}F_{res}-F_{adh} = -F_{res}\cos\theta$$

$$2\sin^2\frac{\theta}{2}F_{res}-F_{adh} =-F_{res}\left[\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}\right]$$

$$F_{res}\left[\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\right] = F_{adh}$$

$$F_{res} = F_{adh}$$ (7.717)

Dies ist ein bemerkenswertes Resultat: Der Betrag der resultierenden Kraft hängt nur von der Adhäsionskraft ab, nicht aber von der Kohäsionskraft.

Wir setzen das Resultat aus Gleichung (7.82) zurück in die Gleichung (7.81) ein und erhalten die transzendente Gleichung

$$2\sin\frac{\theta}{2} F_{adh} = F_{ko}'\theta$$ (7.718)

Wenn wir annehmen, dass $\theta = \frac{\pi}{2}+d\theta$ ist mit $\left\vert d\theta\right\vert\ll 1$, so erhalten wir

$$d\theta = \frac{\sqrt{2}F_{adh}-\frac{\pi}{2}F_{ko}'}{F_{ko}'-\frac{1}{2}F_{adh}}$$ (7.719)

Diese Gleichung gilt nur da wo $F_{ko}' \approx 1.11 F_{adh}$ ist