Unterabschnitte

Stösse

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-139)

Stösse sind kurzzeitige Wechselwirkungen (WW) zwischen zwei Körpern.

Stösse auf einer Geraden, Berechnung im Massenmittelpunktssystem





\includegraphics[width=0.8\textwidth]{mechanik-045}
Stoss zweier Massen




Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist nach Gleichung (4.142) durch

$\displaystyle v_s = \frac{m_1  v_1 + m_2  v_2}{m_1+m_2}$    

gegeben. Da der Gesamtimpuls gleich dem Massenmittelpunktsimpuls ist und erhalten wird, ändert sich die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit $ v_s$ bei einem beliebigen Stoss nicht. Die Massen $ m_1$ und $ m_2$ haben im Massenmittelpunktssystem die Geschwindigkeiten (siehe Gleichung (4.149) )

$\displaystyle {u}_{1}$ $\displaystyle = v_1 -v_s = \frac{m_{2}\left( {v}_{1}-{v}_{2}\right) }{m_{1}+m_{2}}\nonumber$    
$\displaystyle {u}_{2}$ $\displaystyle ={v}_{2}-{v}_{s}=\frac{m_{1}\left( {v}_{2}-{v}_{1}\right) }{m_{1}+m_{2}}$    

Entsprechend sind die Massenmittelpunktsimpulse

$\displaystyle p_{s\text{,} 1}$ $\displaystyle = m_1  u_1 = \frac{m_1 m_{2}\left( {v}_{1}-{v}_{2}\right) }{m_{1}+m_{2}} \nonumber$    
$\displaystyle p_{s\text{,} 2}$ $\displaystyle = m_2  u_2 = \frac{m_2  m_{1}\left( {v}_{2}-{v}_{1}\right) }{m_{1}+m_{2}}= -p_{s\text{,} 1}$    

Bei beliebigen Stössen mit zwei Massen haben die beiden Massen im Massenmittelpunktssystem immer entgegengesetzt gleich grosse Impulse, sowohl vor dem Stoss wie nachher. Diese Eigenschaft erleichtert Berechnungen wesentlich!

Die kinetische Energie des Massenmittelpunktes ist

$\displaystyle E_{kin\text{,} s}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left(m_1+m_2\right) v_s^2$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \left(m_1+m_2\right)\left(\frac{m_1  v_1 + m_2  v_2}{m_1+m_2}\right)^2$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \frac{\left(m_1  v_1 + m_2  v_2\right)^2}{m_1+m_2}$    

Die kinetischen Energien der beiden Massen im Massenmittelpunktssystem sind

$\displaystyle E_{kin\text{,} s\text{,} 1}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} m_1 \left(\frac{m_{2}\left( {v}_{1}-{v}_{2}\right) }{m_{1}+m_{2}}\right)^2\nonumber$    
  $\displaystyle = \frac{m_1  m_2}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)^2} m_2 \left( {v}_{1}-{v}_{2}\right)^2\nonumber$    
$\displaystyle E_{kin\text{,} s\text{,} 2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} m_2 \left(\frac{m_{1}\left( {v}_{2}-{v}_{1}\right) }{m_{1}+m_{2}}\right)^2$    
  $\displaystyle = \frac{m_1  m_2}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)^2} m_1 \left( {v}_{2}-{v}_{1}\right)^2$    

Die Summe der drei kinetischen Energien ist

$\displaystyle E_{kin\text{,} tot} =$ $\displaystyle E_{kin\text{,} s}+ E_{kin\text{,} s\text{,} 1}+ E_{kin\text{,} s\text{,} 2}\nonumber$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)^2}$    
  $\displaystyle \cdot \left[\left(m_1+m_2\right)\left(m_1 v_1+m_2 v_2\right)^2+ m_1 m_2^2\left(v_1-v_2\right)^2+m_1^2m_2\left(v_1-v_2\right)^2\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\left(m_1+m_2\right)} \left[\left(m_1 v_1+m_2 v_2\right)^2+ m_1 m_2\left(v_1-v_2\right)^2\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\left(m_1+m_2\right)} \left[m_1^2 v_1^2+m_2^2 v_2^2+2m_1 m_2 v_1 v_2+ m_1 m_2\left(v_1^2-2v_1 v_2+v_2^2\right)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\left(m_1+m_2\right)} \left[m_1^2v_1^2 +m_2^2v_2^2 + m_1m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\left(m_1+m_2\right)} \left[m_1\left(m_1+m_2\right)v_1^2 +m_2\left(m_1+m_2\right)v_2^2 \right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} m_1 v_1^2 +\frac{1}{2}m_2 v_2^2$    

Die kinetische Energie kann also in eine kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung und in die kinetische Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem aufgeteilt werden.

Die kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung wird bei jedem Stoss erhalten. Die Summe der kinetischen Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem wird bei elastischen Stössen erhalten und bei plastischen Stössen vollständig in Deformation oder Wärme umgewandelt.

Bei teilelastischen Stössen wird ein Teil der Energie umgewandelt. Der Faktor $ 0\leq \alpha\leq 1$ gibt an, welcher Bruchteil der Summe der kinetischen Energien im Massenmittelpunktssystem umgewandelt wird. $ \alpha = 0$ bedeutet einen elastischen Stoss, $ \alpha = 1$ einen vollständig plastischen Stoss. Da die Impulse im Massenmittelpunktssystem entgegengesetzt gleich sind, werden die Massenmittelpunktsgeschwindigkeiten mit dem Faktor $ \sqrt{1-\alpha}$ multipliziert.

Der Rechenaufwand zur Behandlung von Stössen und insbesondere von teilelastischen Stössen im Massenmittelpunktssystem ist viel geringer, als wenn man im Laborsystem rechnet.

Da bei einem elastischen Stoss im Massenmittelpunktssystem sich die Impulse und, da die Massen erhalten bleiben, die Geschwindigkeiten ihr Vorzeichen wechseln, ist die Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss gleich gross wie vorher. Wir haben also

$\displaystyle v_1$ $\displaystyle = u_1 + v_s \nonumber$    
$\displaystyle v_2$ $\displaystyle = u_2 + v_s$    

Nach dem Stoss haben wir

$\displaystyle v_1'$ $\displaystyle = -u_1+v_s \nonumber$    
$\displaystyle v_2'$ $\displaystyle = -u_2 +v_s$    

Das bedeutet, dass bei einer Frontalkollision von einem Auto ( $ v_{1}=36km/h=10m/s$) mit einem Fussgänger ( $ v_{2}=3.6km/h=1m/s$) die Relativgeschwindigkeit vorher ( $ v_{1}-v_{2}=9m/s$) gleich dem negativen der Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ist. Da das Auto aber (siehe unten) nur unwesentlich abgebremst wird, fliegt der Fussgänger nach dem Stoss mit $ v_{2}'=19m/s=68.4km/h$ durch die Gegend.

Die Grösse $ \mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ heisst auch die reduzierte Masse. Mit ihr können Zweikörper-Probleme im Massenmittelpunktssystem einfacher gelöst werden.

Stösse in der Ebene

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Nicht-zentraler Stoss (Versuchskarte M-039)

Als Annäherung an den dreidimensionalen Fall betrachten wir den elastischen Stoss in der Ebene. Jeder Stoss im Raum mit zwei Körpern kann auf den ebenen Fall zurückgeführt werden (warum?).





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-046}
Stoss in einer Ebene




Annahmen

$\displaystyle \vec{v}_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0   \notag$ (4.250)
$\displaystyle m_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_{2}=m$ (4.251)

Impulssatz:

$\displaystyle m_{1}\vec{v}_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_{1}\vec{v}_{1}'+m_{2}\vec{v}_{2}' \notag$ (4.252)
$\displaystyle \vec{v}_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{v}_{1}'+\vec{v}_{2}'$ (4.253)

Energiesatz:

$\displaystyle \frac{1}{2}m_{1}\vec{v}_{1}^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}m_{1}\vec{v}_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\vec{v}_{2}^{'2} \notag$ (4.254)
$\displaystyle \vec{v}_{1}^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{v}_{1}^{'2}+\vec{v}_{2}^{'2}$ (4.255)

Zusammengesetzt erhalten wir

$\displaystyle \left( \vec{v}_{1}'+\vec{v}_{2}'\right) ^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{v}_{1}^{'2}+2\vec{v}_{1}'\vec{v}_{2}'+\vec{v}_{2}^{'2} \notag$ (4.256)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{v}_{1}^{'2}+\vec{v}_{2}^{'2}$ (4.257)

oder

$\displaystyle \vec{v}_{1}'\vec{v}_{2}'=0$ (4.258)

Da das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, ist der Zwischenwinkel bei jedem elastischen ebenen Stoss (und damit bei jedem elastischen Stoss)

$\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{2}$ (4.259)


Stösse im Raum

Wir betrachten Stösse, bei denen der zweite Stosspartner ruht. Die Geschwindigkeit des ersten Stosspartners ($ m_{1}$) definiert eine Richtung. Der Abstand des Strahls definiert durch $ \vec{v}_{1\text{ }}$von der Masse $ m_{2\text{ }}$wird mit $ b$ (Stossparameter) bezeichnet.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-047}
Definition des Stossparameters $ b$




nach dem Stoss:





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{mechanik-048}
Situation nach einem ebenen Stoss




Unbekannte sind $ v_{1}'$, $ v_{2}'$, $ \theta _{1}$ und $ \theta _{2}$.

Impulserhaltung: in der $ x$-Richtung

$\displaystyle m_{1}v_{1}=m_{1}v_{1}'\cos \theta _{1}+m_{2}v_{2}'\cos \theta _{2}$ (4.260)

Impulserhaltung in der $ y$-Richtung

$\displaystyle 0=m_{1}v_{1}'\sin \theta _{1}-m_{2}v_{2}'\sin \theta _{2}$ (4.261)

Energieerhaltung

$\displaystyle \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{'2}+\frac{1}{2} m_{2}v_{2}^{'2}$ (4.262)

Eine 4. Relation ist durch den Stossparameter $ b$ und die Physik der Wechselwirkung gegeben.

Experimentelle Stossverteilungen werden mit $ b$ parametrisiert.

Raketen oder Tintenfische

Grundlage: 2.Newton'sches Gesetz

$\displaystyle \vec{F=}\frac{d\vec{p}}{dt}$ (4.263)

Rückstoss einer Armbrust

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Russische Kanone: Impuls- und Drehimpulserhaltung (Versuchskarte M-154)





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{mechanik-049}
Rückstoss bei einer Armbrust




Länge:$ d$ (für Beschleunigung Beschleunigungsstrecke)

Masse: $ m$ (Pfeil)

Endgeschwindigkeit: $ v_{0}$

Antriebszeit:$  t_{0}$

Rückstosskraft: $ F_{R}$

Wir erhalten die Betragsgleichung

$\displaystyle F_{R}=\frac{m}{t_{0}}v_{0}=\frac{m}{2}\frac{v_{0}^{2}}{d}$ (4.264)

Beweis: Antrieb: $ \vec{F}_{a}=-\vec{F}_{R}$

Newton: $ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{a}$

Wenn $ \vec{F}_{a}$ über die Beschleunigungsphase konstant ist, gilt:

$\displaystyle \frac{\vec{p}}{t_{0}}=\vec{F}_{a}=\frac{m\vec{v}_{0}}{t_{0}}=- \vec{F}_{R}$ (4.265)

Arbeit und Energie

$\displaystyle E_{kin}=\frac{m\vec{v}_{0}^2}{2}=W\left( 0,d\right) =F_{a}d$ (4.266)

Schub

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Rakete (Versuchskarte M-147)





\includegraphics[width=0.8\textwidth]{mechanik-050}
Kräfte an einer Raketendüse. Die Rakete ist fixiert.




Die Masse des wegfliegenden Gases trägt einen mit der Zeit grösser werdenden Impuls. Dieser Impulsänderung entspricht eine äussere Kraft $ \vec{F}_a$ und einer Schubkraft $ \vec{F}_s = -\vec{F}_a$. Wir beachten weiter, dass wir Vektoren mit den dem Koordinatensystem angepassten Komponenten verwenden müssen. Hier hat also $ \vec{v}_{Gas}$ eine negative $ x$-Komponente.

$\displaystyle \vec{F}_{s}=\frac{dm}{dt}\vec{v}_{Gas}=-\left\vert \frac{dm}{dt} \right\vert \vec{v}_{Gas}$ (4.267)

wobei mit $ \vec{v}_{Gas}$ die Relativgeschwindigkeit zur Düse gemeint ist.

Beweis mit Newton

$\displaystyle \vec{F}_{a}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\vec{F}_s$ (4.268)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} \notag$ (4.269)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( m_{Gas}\left( t\right) \right) \vec{v}_{Gas} \notag$ (4.270)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{dm\left( t\right) }{dt}\cdot \vec{v}_{Gas} \notag$ (4.271)

Raketengleichung





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-051}
Kräfte an einer Rakete




$\displaystyle m\left( t\right) \frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}=-\left\vert \frac{ dm\left( t\right) }{dt}\right\vert \cdot \vec{v}_{Gas}+\vec{F}$ (4.272)

Beweis:

$\displaystyle \frac{d}{dt}m_{Gas}=-\frac{d}{dt}m\left( t\right)$ (4.273)

Wenn ein Massenelement $ dm$ die Düse verlässt, hat es in diesem Augenblick die Geschwindigkeit $ \vec{v}\left( t\right)+\vec{v}_{Gas}$. Es trägt also den Impuls $ dm\left(\vec{v}\left(
t\right)+\vec{v}_{Gas}\right)$ weg. Auch hier verwenden wir die Vektoren mit den durch das Koordinatensystem gegebenen richtigen Vorzeichen. Infinitesimal gilt

$\displaystyle \vec{F}\left( t\right)dt + d\vec{p}_{Gas}\left( t\right) = \vec{F...
...(\vec{v}\left( t\right)+\vec{v}_{Gas}\right) = d\vec{p}_{Rakete}\left( t\right)$

und damit


$\displaystyle \vec{F}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d\vec{p}_{Rakete}\left( t\right)}{dt}-\frac{dm\left( t\right)}{dt} \left(\vec{v}\left( t\right)+\vec{v}_{Gas}\right)\notag$ (4.274)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{ m\left( t\right) \frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}+\fra...
...right) }{dt}\left[ \vec{v}\left( t\right) +\vec{v}_{Gas}\right]
\right\} \notag$ (4.275)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle m\left( t\right) \frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}-\frac{dm\left( t\right) }{dt}\vec{v}_{Gas}$ (4.276)

Bewegung der kräftefreien Rakete:

$\displaystyle m\left( t\right) \frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}=\frac{dm\left( t\right) }{dt} \cdot \vec{v}_{Gas}$ (4.277)

$\displaystyle d\vec{v}\left( t\right) =\frac{dm\left( t\right) }{m\left( t\right) } \cdot \vec{v}_{Gas}$ (4.278)


$\displaystyle \int\limits_{0}^{t_{0}}d\vec{v}\left( t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{v}_{Gas}\int\limits_{0}^{t_{0}}\frac{dm\left( t\right) }{m\left( t\right)} \notag$ (4.279)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{v}\left( t_{0}\right) -\vec{v}\left( 0\right) \notag$ (4.280)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{v}_{Gas}\cdot \left( \ln \left( m\left( t_{0}\right) \right) -\ln
m_{0}\left( 0\right) \right)$ (4.281)

Also haben wir

$\displaystyle \vec{v}\left( t\right) =\vec{v}_{0}-\vec{v}_{Gas}\ln \frac{m\left( 0\right) }{m\left( t\right) }$ (4.282)

das heisst, die Endgeschwindigkeit einer Rakete kann man steigern, indem man die Ausströmgeschwindigkeit des Gases $ \vec{v}_{Gas}$ erhöht, oder indem man die Endmasse $ m\left( t\right) $ im Vergleich zur Anfangsmasse $ m\left(
0\right) $ möglichst klein macht. Die zweite Lösung ergibt aber strukturelle Probleme.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm