Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-139) |
Stösse sind kurzzeitige Wechselwirkungen (WW) zwischen zwei Körpern.
Stoss zweier Massen
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Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist nach Gleichung (4.142) durch
Entsprechend sind die Massenmittelpunktsimpulse
Bei beliebigen Stössen mit zwei Massen haben die beiden Massen im Massenmittelpunktssystem immer entgegengesetzt gleich grosse Impulse, sowohl vor dem Stoss wie nachher. Diese Eigenschaft erleichtert Berechnungen wesentlich! |
Die kinetische Energie des Massenmittelpunktes ist
Die kinetischen Energien der beiden Massen im Massenmittelpunktssystem sind
Die Summe der drei kinetischen Energien ist
Die kinetische Energie kann also in eine kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung und in die kinetische Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem aufgeteilt werden.
Die kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung wird bei jedem Stoss erhalten. Die Summe der kinetischen Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem wird bei elastischen Stössen erhalten und bei plastischen Stössen vollständig in Deformation oder Wärme umgewandelt. |
Bei teilelastischen Stössen wird ein Teil der Energie umgewandelt. Der Faktor gibt an, welcher Bruchteil der Summe der kinetischen Energien im Massenmittelpunktssystem umgewandelt wird. bedeutet einen elastischen Stoss, einen vollständig plastischen Stoss. Da die Impulse im Massenmittelpunktssystem entgegengesetzt gleich sind, werden die Massenmittelpunktsgeschwindigkeiten mit dem Faktor multipliziert.
Der Rechenaufwand zur Behandlung von Stössen und insbesondere von teilelastischen Stössen im Massenmittelpunktssystem ist viel geringer, als wenn man im Laborsystem rechnet. |
Da bei einem elastischen Stoss im Massenmittelpunktssystem sich die Impulse und, da die Massen erhalten bleiben, die Geschwindigkeiten ihr Vorzeichen wechseln, ist die Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss gleich gross wie vorher. Wir haben also
Das bedeutet, dass bei einer Frontalkollision von einem Auto ( ) mit einem Fussgänger ( ) die Relativgeschwindigkeit vorher ( ) gleich dem negativen der Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ist. Da das Auto aber (siehe unten) nur unwesentlich abgebremst wird, fliegt der Fussgänger nach dem Stoss mit durch die Gegend.
Die Grösse heisst auch die reduzierte Masse. Mit ihr können Zweikörper-Probleme im Massenmittelpunktssystem einfacher gelöst werden.
Versuch zur Vorlesung: Nicht-zentraler Stoss (Versuchskarte M-039) |
Als Annäherung an den dreidimensionalen Fall betrachten wir den elastischen Stoss in der Ebene. Jeder Stoss im Raum mit zwei Körpern kann auf den ebenen Fall zurückgeführt werden (warum?).
Stoss in einer Ebene
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Annahmen
(4.250) | |||
(4.251) |
Impulssatz:
(4.252) | |||
(4.253) |
Energiesatz:
(4.254) | |||
(4.255) |
Zusammengesetzt erhalten wir
(4.256) | |||
(4.257) |
oder
(4.258) |
Da das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, ist der Zwischenwinkel bei jedem elastischen ebenen Stoss (und damit bei jedem elastischen Stoss)
(4.259) |
Wir betrachten Stösse, bei denen der zweite Stosspartner ruht. Die Geschwindigkeit des ersten Stosspartners () definiert eine Richtung. Der Abstand des Strahls definiert durch von der Masse wird mit (Stossparameter) bezeichnet.
Definition des Stossparameters
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nach dem Stoss:
Situation nach einem ebenen Stoss
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Unbekannte sind , , und .
Impulserhaltung: in der -Richtung
(4.260) |
Impulserhaltung in der -Richtung
(4.261) |
Energieerhaltung
(4.262) |
Eine 4. Relation ist durch den Stossparameter und die Physik der Wechselwirkung gegeben.
Experimentelle Stossverteilungen werden mit parametrisiert.
Grundlage: 2.Newton'sches Gesetz
(4.263) |
Versuch zur Vorlesung: Russische Kanone: Impuls- und Drehimpulserhaltung (Versuchskarte M-154) |
Rückstoss bei einer Armbrust
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Länge: (für Beschleunigung Beschleunigungsstrecke)
Endgeschwindigkeit:
Antriebszeit:
Rückstosskraft:
Wir erhalten die Betragsgleichung
(4.264) |
Beweis: Antrieb:
Newton:
Wenn über die Beschleunigungsphase konstant ist, gilt:
(4.265) |
(4.266) |
Versuch zur Vorlesung: Rakete (Versuchskarte M-147) |
Kräfte an einer Raketendüse. Die Rakete ist fixiert.
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Die Masse des wegfliegenden Gases trägt einen mit der Zeit grösser werdenden Impuls. Dieser Impulsänderung entspricht eine äussere Kraft und einer Schubkraft . Wir beachten weiter, dass wir Vektoren mit den dem Koordinatensystem angepassten Komponenten verwenden müssen. Hier hat also eine negative -Komponente.
(4.267) |
wobei mit die Relativgeschwindigkeit zur Düse gemeint ist.
Beweis mit Newton
(4.268) | |||
(4.269) | |||
(4.270) | |||
(4.271) |
Kräfte an einer Rakete
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(4.272) |
Beweis:
(4.273) |
Wenn ein Massenelement die Düse verlässt, hat es in diesem Augenblick die Geschwindigkeit . Es trägt also den Impuls weg. Auch hier verwenden wir die Vektoren mit den durch das Koordinatensystem gegebenen richtigen Vorzeichen. Infinitesimal gilt
und damit
(4.274) | |||
(4.275) | |||
(4.276) |
Bewegung der kräftefreien Rakete:
(4.277) |
(4.278) |
Also haben wir
(4.282) |
das heisst, die Endgeschwindigkeit einer Rakete kann man steigern, indem man die Ausströmgeschwindigkeit des Gases erhöht, oder indem man die Endmasse im Vergleich zur Anfangsmasse möglichst klein macht. Die zweite Lösung ergibt aber strukturelle Probleme.
Othmar Marti