Zentralbewegung

Winkelgeschwindigkeit

Definition der Drehwinkel bei einer Zentralbewegung

$$ds = v\left( r\right) dt \notag$$ (4.283)

$$d\theta = \theta \left( t+dt\right) -\theta \left( t\right)$$ (4.284)

$$ = \frac{ds}{r}$$ (4.285)

$$ = \frac{vdt}{r}$$ (4.286)

Der Umfang (Weg für 1 Umdrehung) im Bogenmass ist $2\pi$

Def: $\frac{d\theta }{dt}=\omega$: Winkelgeschwindigkeit

Winkelbeschleunigung

$$\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}=\ddot{\theta}$$ (4.287)

Bemerkung: Es gilt

$$\omega \left( t\right) = \omega _{0}+\alpha t$$ (4.288)

$$\theta \left( t\right) = \theta _{0}+\omega _{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$$ (4.289)

$$\omega = \sqrt{2\alpha \theta }$$ (4.290)

wenn $\omega \left( 0\right) =0$; $\theta \left( 0\right) =0$ und $\alpha =const.$

Die Gleichungen für die Zentralbewegung sind analog zu denen der Kinematik in einer Dimension.

Vektorcharakter der Drehbewegung

Eine Drehbewegung ist durch die Richtung ihrer Drehachse definiert

Definition des Winkelgeschwindigkeitsvektors $\vec{\omega}$

Definition: $\vec{\omega}$ zeigt in Richtung des Daumens der rechten Hand, wenn die Finger in die Drehrichtung zeigen. Rechte Handregel

Transformation eines Drehvektors an einem Spiegel

Der gespiegelte Drehvektor entspricht dem Original: Diese Art Vektoren heissen Axialvektoren.

Drehvektoren (auch axiale Vektoren genannt) transformieren anders als Ortsvektoren.

Drehmoment

Versuch zur Vorlesung: Drehmomentenscheibe (Versuchskarte M-071)

Definition:

Definition des Drehmomentes

$$\vec{M}=\vec{r}_{0m}\times \vec{F}$$ (4.291)

heisst mechanisches Drehmoment.

Wir betrachten das Drehmoment für eine Zentralbewegung bei einer konstanten punktförmigen Masse. Dann ist

$$M= r\cdot F$$

und

$$F= m\dot{v} = mr\dot{\omega}$$

oder

$$M=r\cdot mr\dot{\omega} = \left(m r^2\right)\dot{\omega}= I\dot{\omega}$$

wobei $I= mr^2$ das Trägheitsmoment eines Massenpunktes $m$ im Abstand $r$ von der Drehachse ist.

Beispiel:

Anwendung Hebelgesetz

Hebelgesetz

Im Gleichgewicht ist

$$0 = \vec{M}\notag$$ (4.292)

$$ = \vec{M}_{1}+\vec{M}_{2} \notag$$ (4.293)

$$ = \vec{r}_{01}\times \vec{F}_{1}+\vec{r}_{02}\times \vec{F}_{2}$$ (4.294)

Eindimensionale Formulierung des Hebelgesetzes

im eindimensionalen Falle gilt

$$0=x_{1}\left( -F_{1}\right) +\left( -x_{2}\right) \left( -F_{2}\right)$$ (4.295)

und

$$F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}$$ (4.296)

Drall, Drehimpuls

Versuch zur Vorlesung: Drehimpulssatz (Versuchskarte M-063)

Definition des Dralls oder des Drehimpulses.

$$\vec{L}_{0} = \vec{r}_{0m}\times \vec{p}\notag$$ (4.297)

$$ = \vec{r}_{0m}\times m\vec{v}$$ (4.298)

Drallsatz

$$\vec{M}_{0}=\frac{d}{dt}\vec{L}_{0}$$ (4.299)

Voraussetzung $\vec{M}_{0}$ und $\vec{L}_{0}$ beziehen sich auf das gleiche Zentrum 0

Beweis:

$$\frac{d}{dt}\vec{L}_{0} = \frac{d}{dt}\left( \vec{r}_{0m}\times \vec{p}\right) \notag$$ (4.300)

$$ = \frac{d}{dt}\vec{r}_{0m}\times \vec{p+r}_{0m}\times \frac{d\vec{p }}{dt}$$ (4.301)

$$ = \vec{r}_{0m}\times \vec{F}_{m}=\vec{M}_{0}$$ (4.302)

da $\frac{d}{dt}\vec{r}_{0m}=\vec{v}$ ist.

Drehmoment von Zentralkräften

Definition: wenn $\vec{F}\parallel \vec{r}_{0m}$ dann ist $\vec{M}_{0}=\vec{r}_{0m}\times \vec{F}=0$

Bei Zentralkräften ist: $\vec{L}_{0}=$konstant, da $\vec{M}_{0}=0= \frac{d\vec{L}_{0}}{dt}$