Gravitation

Unter Gravitation versteht man die gegenseitige Anziehung der Körper durch ihre Massen.

Die Keplerschen Gesetze

• Nikolaus Kopernikus (1473-1543) postuliert heliozentrisches System

• Tycho Brahe: (1546-1601) erste präzise Messungen

• Johannes Kepler (1571-1630) Interpretation und Gesetze

1. Gesetz (1609) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt.

2. Gesetz (1609) Jeder Strahl von der Sonne zu den Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen

3. Gesetz (1619) Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsen ihrer Bahnen um die Sonne.

Der Beweis des 2. Gesetzes geht wie folgt: Es gibt keine äusseren Kräfte, deshalb gibt es auch keine Drehmomente. Aus $\vec{M}_{0}=0$ bekommt man : $\vec{L}_{0}=const.$

2. Keplersches Gesetz

Behauptung: Für die Fläche $A\left( t\right)$ gilt

$$A\left( t\right) =\frac{L_{0}}{2m}\cdot t$$ (4.303)

Beweis:

$$\frac{\vec{L}_{0}}{2m}dt = \frac{1}{2}\left( \vec{r}\times \vec{v}\right) dt \notag$$ (4.304)

$$ = \frac{1}{2}\left( \vec{r}\times \vec{v}dt\right) \notag$$ (4.305)

$$ = \frac{1}{2}\left( \vec{r}\times d\vec{r}\right) =d\vec{A}$$ (4.306)

Bemerkung: bei einer ebenen Bewegung ist immer

$$d\vec{r} \perp \vec{L}$$ (4.307)

$$\vec{r} \perp \vec{L}$$ (4.308)

d.h. das 2. Keplersche Gesetz entspricht der Drehimpulserhaltung

Versuch zur Vorlesung: Planetenbewegung (Versuchskarte M-109)

Newtonsche Gravitationsgesetz

Wir betrachten das dritte Keplersche Gesetz für den Spezialfall einer Kreisbahn. Eine Masse $m$ soll um eine zentrale Masse $M$ kreisen. Eine Kreisbahn ist eine Ellipse, bei der die grosse und die kleine Halbachse gleich sind. Wir nennen die Grösse den Radius $r$.

Das 2.Keplersche Gesetz lautet

$$\frac{r^3}{T^2} = \mathfrak{G}= const$$ (4.309)

$\mathfrak{G}$ ist eine zunächst unbekannte Konstante. Bei einer gekrümmten Bahn mit dem Krümmungsradius $r$ muss immer eine physikalische Kraft existieren, deren Grösse durch die Zentripetalkraft gegeben ist.

$$F_{z} = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r = m \frac{(2\pi)^2}{T^2} r$$ (4.310)

Wir haben $v = \omega r$ und $\omega = 2\pi/T$ verwendet, wobei $T$ die Umlaufszeit ist. Wenn wir Gleichung (4.194) und Gleichung (4.195) kombinieren, erhalten wir

$$F_{z} = 4\pi^2 m r \frac{1}{T^2} = 4\pi^2 m r \frac{\mathfrak{G}}{r^3} = \frac{\left(4\pi^2 \mathfrak{G}\right) m}{r^2}$$ (4.311)

Wie gesagt, zeigt die Zentripetalkraft $F_{z}$ an, dass eine physikalisch begründete Kraft $F_{G}$ existieren muss mit $F_{z}=F_{G}$. Diese Kraft, von Newton die Schwerkraft oder die Gravitation genannt, hat die Eigenschaften

• Die Kraft ist proportional zu $r^{-2}$, wobei $r$ der Abstand der Masse $m$ zur Zentralen Masse $M$ ist.
• Für eine gerichtete Strecke von $M$ zu $m$ zeigt die Zentripetalkraft $F_{z}$ entgegen der Richtung der Strecke.
• Die Kraft ist proportional zur Masse $m$.
• Die Kraft ist proportional zu einer Konstante $4\pi^2 \mathfrak{G}$, deren Grösse wiederum nur von der zentralen Masse $M$ abhängen kann.

Zum letzten Punkt ist zu bemerken: bei einem Zweikörperproblem ist es unsere Wahl, ob wir $m$ oder $M$ als zentrale Masse anschauen. Die Gleichung für die Gravitationskraft muss also $m$ und $M$ gleich behandeln. Um dies zu berücksichtigen, hat Newton Gleichung (4.196) so geschrieben

$$F_{G} = - G \frac{m M}{r^2}$$ (4.312)

wobei $4\pi^2\mathfrak{G} = G M$ ist.

Das dritte Keplersche Gesetz lautet also

$$\frac{r^3}{T^2} = \frac{G M}{4\pi^2}$$ (4.313)

Die obigen Argumente gelten nur für Kreisbahnen. Ausgefeiltere mathematische Methoden aus der theoretischen Mechanik zeigen aber, dass Gleichung (4.198) auch gilt, wenn wir $r$ durch die Länge der grossen Halbachse ersetzen.

Newtonsches Gravitationsgesetz

Die Kraft der Masse $1$ auf die Masse $2$ ist $\vec{F}_{21}$, also

$$\vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}=-Gm_{1}m_{2}\frac{\vec{r}_{12}}{ r_{12}^{3}}$$ (4.314)

Betragsmässig:

$$F_{12}=F_{21}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^{2}}$$ (4.315)

Dabei ist $G=6.6742\cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg s^2}$ die Gravitationskonstante. Das Newtonsche Gravitationsgesetz definiert die schweren Masse, im Gegensatz zum 2. Newtonschen Gesetz der Bewegung ( $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$ ), das die träge Masse definiert.

Versuch zur Vorlesung: Gravitationswaage (Versuchskarte M-005)

Gravitationswaage

Im Gravitationsgesetz nach Newton (Gleichung (4.199) ) steht als unbekannte Konstante die Gravitationskonstante $G$. Aus den Keplerschen Gesetzen kann die Gültigkeit des Gravitationsgesetzes Gleichung (4.199) abgeleitet werden. Wenn man jedoch wissen will, wie schwer die zentrale Masse ist, muss $G$ bekannt sein. Mit der Gravitationswaage nach Abbildung 4.50 kann diese im Labor gemessen werden. Zwei kleine identische Massen $m_1=m_2$ sind im Abstand $D$ an einem feinen Faden (Torsionswaage) aufgehängt. Die beiden grossen identischen Massen $M_1=M_2$ sind auf einem äusseren beweglichen Halter montiert. Im Ruhezustand ist das Drehmoment auf dem Faden kompensiert durch das Drehmoment der Gravitationskräfte $F_G$. Non werden die grossen Massen $M_i$ mit ihrem Gestell so gedreht, dass sie auf der anderen Seite der kleinen Massen $m_i$ platziert sind. Die Gravitationskräfte sind nun $F_G'$ und erzeugen ein dem Betrage nach gleich grosses, aber in die umgekehrte Drehrichtung zeigendes Drehmoment.

$$\Delta M_0 = 2\left[ 2 D F_G\right] = 4 D F_G$$

Dieses Drehmoment führt zu einer Winkelbeschleunigung $\alpha = M_0/I$, wobei $I$ das Trägheitsmoment der beiden kleinen Massen $m_i$ ist. Der Torsionswinkel $\varphi$ ändert dann wie

$$\varphi(t) =\frac{1}{2} \alpha t^2$$

Der Torsionswinkel wird mit einem Lichtzeiger der Länge $\ell$ gemessen, der um $x(t)=2\varphi(t)\ell$ ausgelenkt wird. Damit kann aus der Auslenkung $x(t)$ der Torsionswinkel $\varphi(t)$ über $\alpha$ das Drehmoment $M_0$ und damit $F_G$ bestimmt werden. Da die Massen bekannt sind, folgt letztlich $G$.

Gravitationsfeld eines Massenpunktes

Testmasse $m_{0}$

$$m_{0}\Rightarrow \vec{F}\left( \vec{r}\right) =-Gm\frac{\vec{r}}{ r^{3}}m_{0}$$ (4.316)

Feldvektor

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) =\frac{\vec{F}\left( \vec{r}\right) }{m_{0}}=-Gm\frac{\vec{r}}{r^{3}}$$ (4.317)

$\vec{g}\left( \vec{r}\right)$ ist der Feldvektor des Gravitationsfeldes. Seine Einheit ist $[\vec{g}] = \frac{m}{s^2}$ Der Feldvektor des Gravitationsfeldes gibt die Stärke der Gravitation pro Einheitsmasse an. Mit dem Feldvektor kann also das Gravitationsfeld der Masse $m$ charakterisiert werden, ohne dass eine zweite Masse spezifiziert werden muss, das heisst, $\vec{g}\left( \vec{r}\right)$ ist unabhängig von der Testmasse $m_{0}$.

$\vec{g}$ ist ein konservatives Kraftfeld: einfacher Beweis

$_{}$

Wegunabhängigkeit der Arbeit im Gravitationsfeld

Die potentielle Energie des Gravitationsfeldes existiert dann, wenn die Arbeit um eine Masse $m_2$ im Gravoitationsfeld der Masse $m_1$ von $A$ nach $B$ zu bringen unabhängig vom Weg ist. In Abbildung 4.51 sind exemplarisch die beiden Wege $s_1$ und $s_2$ eingetragen. Wir stellen uns vor, dass der Raum zwischen der Masse $m_1$ und der Masse $m_2$ mit radial gleichabständigen Kugelschalen unterteilt wird. Den realen Weg $s_1$ ersetzen wir durch den Weg $A,f,e,d,b,c,a,B$, wobei die Abschnitte $Af$, $ed$, $cb$ und $aB$ radial verlaufen und die Abschnitte $fe$, $dc$ und $ba$ auf der Kugelschale liegen.

Analog wird der Weg $s_2$ durch den Weg $A,f,j,i,h,g,a,B$ ersetzt, wobei die Abschnitte $Af$, $ji$, $hg$ und $aB$ radial verlaufen und die Abschnitte $fj$, $ih$ und $ga$ auf der Kugelschale liegen.

Die Arbeit im Gravitationsfeld um die Masse $m_1$ entlang $A,f,e,d,b,c,a,B$ von $A$ nach $B$ zu bringen, ist die Summe der Arbeit auf den radialen Abschnitten plus der Summe der Arbeit auf den Abschnitten auf den Kugelschalen.

$$W(A,f,e,d,b,c,a,B) = W(A f)+ W(f e)+W(e d)+W(d c)$$

$$+W(c b)+W(b a)+W(a B)$$

$$= \left[W(A\text{,} f)+W(e\text{,} d)+W(c\text{,} b)+W(a\text{,} B)\right]$$

$$+\left[ W(f\text{,} e)+W(d\text{,} c)+W(b\text{,} a)\right]$$

$$= W(radial) + W(Kugelschalen)$$ (4.318)

Nun gilt für alle Wege auf einer Kugelschale, dass für jedes Wegelement $d\vec{s}$ gilt:

$$\vec{F}(\vec{r})\cdot d\vec{s}= 0$$ (4.319)

da $\vec{F}(\vec{r})$ immer senkrecht auf $d\vec{s}$ steht. Wir erhalten also

$$W(A,f,e,d,b,c,a,B) = \left[W(A\text{,} f)+W(e\text{,} d)+W(c\text{,} b)+W(a\text{,} B)\right]$$ (4.320)

Andererseits erhalten wir

$$W(A,f,j,i,h,g,a,B) = W(A f)+ W(f j)+W(j i)+W(i h)$$

$$+W(h g)+W(g a)+W(a B)$$

$$= \left[W(A\text{,} f)+W(j\text{,} i)+W(h\text{,} g)+W(a\text{,} B)\right]$$

$$+\left[ W(f\text{,} j)+W(i\text{,} h)+W(g\text{,} a)\right]$$

$$= W(radial) + W(Kugelschalen)$$ (4.321)

und

$$W(A,f,j,i,h,g,a,B) = \left[W(A\text{,} f)+W(j\text{,} i)+W(h\text{,} g)+W(a\text{,} B)\right]$$ (4.322)

In einem Zentralfeld, bei dem die Kraft radial ist und nur vom Abstand $r$ vom Zentrum abhängt sind die folgenden Arbeiten gleich

$$W(e d) = W(j i)$$

$$W(c b) = W(h g)$$ (4.323)

Deshalb gilt auch

$$W(A,f,e,d,b,c,a,B) = \left[W(A\text{,} f)+W(e\text{,} d)+W(c\text{,} b)+W(a\text{,} B)\right]$$

$$= \left[W(A\text{,} f)+W(j\text{,} i)+W(h\text{,} g)+W(a\text{,} B)\right]$$

$$= W(A,f,j,i,h,g,a,B)$$ (4.324)

Die Arbeit, um $m_2$ von $A$ nach $B$ zu bringen, ist also für die Wege $A,f,e,d,b,c,a,B$ und $A,f,j,i,h,g,a,B$ gleich.

Wenn wir nun den Abstand der Kugelschalen gegen Null gehen lassen, sehen wir, dass

$$W(A B s_1) = W(A B s_2)$$ (4.325)

für beide Wege gleich sind. Da wir keine besonderen Anforderungen an die Wahl der Wege gestellt haben, gilt diese Aussage auch für alle Wege zwischen $A$ und $B$. Das heisst:

Zentralfelder sind konservative Felder.

Das Gravitationsfeld als zentrales Kraftfeld ist konservativ.

$\vec{g}$ ist ein konservatives Kraftfeld: eleganter Beweis*

$_{}$

Behauptung: $\vec{g}\left( \vec{r}\right)$ist konservativ

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{g}\left( \vec{r}\right) = {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \left( -Gm\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right) \notag$$ (4.326)

$$ = -Gm {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \left( \frac{\vec{r}}{r^{3}}\right) \notag$$ (4.327)

$$ = -Gm\cdot \vec{\nabla }\times \left( \begin{array}{c} \frac{x}... ... \frac{y}{r^{3}} \\ \frac{z}{r^{3}} \end{array}\right) \notag$$ (4.328)

$$ = \left( \begin{array}{c} -3\frac{z}{r^{4}}\frac{\partial r}{\p... ...{r^{4}}\frac{ \partial r}{\partial z} \end{array}\right) \notag$$ (4.329)

$$ = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$$ (4.330)

da gilt

$$\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{r^3} = \frac{1}{r^3}\frac{\partial y}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{r^3}$$

$$= 0 -3y\frac{1}{r^4}\frac{\partial r}{\partial x}$$

$$= -\frac{3y}{r^4}\frac{\partial \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\partial x}$$

$$= -\frac{3y}{r^4}\; \frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$

$$= -\frac{3y}{r^4}\; \frac{x}{r}$$

Damit ist

$$\frac{-3z}{r^3}\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{-3z}{r^3}\cdot \frac{y}{r} = \frac{-3y}{r^3}\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{-3y}{r^3}\frac{z}{r} \text{und zyklisch}$$ (4.331)

Potentielle Energie des Gravitationsfeldes eines Massenpunktes

Weil das Kraftfeld der Gravitation konservativ ist, existiert eine potentielle Energie, die potentielle Energie der Gravitation.

$$E_{pot}\left( \vec{r}\right) =-Gmm_{0}\frac{1}{r}$$ (4.332)

ist die potentielle Energie der Gravitation, bezogen auf einen unendlich weit entfernten Punkt.

Als Referenz nehmen wir

$$E_{pot}\left( \infty \right) =0$$ (4.333)

Beweis: Berechnung der Arbeit gegen die Feldkraft längs einer Feldlinie

Berechnung der Kraft

Bei der Berechnung der potentiellen Energie muss man berücksichtigen, dass die Kraft $\vec{F}$ und $d\vec{r}$ entgegengesetzt angeordnet sind. Da das Gravitationsfeld konservativ ist, können wir eine ganz spezielle Bahn verwenden. Zwischen zwei beliebigen Punkten $\vec{r}$ und $\vec{r}_0$ lassen wir die Bahn von $\vec{r}$ bis zu der Kugelschale um den Massenpunkt $m$, auf der $\vec{r}_0$ liegt, laufen und führen sie dann auf der Kugelschale zu $\vec{r}_0$. Auf dem auf der Kugelschale liegenden Teil ist $\vec{F}_G$ senkrecht auf $d\vec{r}$, so dass $\vec{F}_G \cdot d\vec{r}=0$ ist: dieser Bahnabschnitt trägt nichts zur potentiellen Energie bei.

Also haben wir

$$E_{pot} =W\left( \vec{r}_{0},\vec{r},b\right) = -W\left( \vec{r},\vec{r}_{0},b\right)$$

$$=-\int\limits_{\vec{r}}^{\vec{r}_{0}}-\vec{F}\left( \vec{r}\right) d\vec{r} = +\int\limits_{\vec{r}}^{\vec{r}_{0}}-Gmm_{0}\frac{\vec{r}}{r_{3}} d\vec{r}$$

$$=-Gmm_{0}\int\limits_{r}^{r_{0}}\frac{dr}{r^{2}} = \left.Gmm_{0}\frac{1}{r}\right\vert _r^{r_0}$$

$$= -\frac{Gmm_0}{r}+\frac{Gmm_0}{r_0}$$ (4.334)

Es ist üblich, den Referenzpunkt $\vec{r}_0 \rightarrow \infty$ zu setzen:

$$E_{pot}(\vec{r}) = E_{pot}(r) = \lim\limits_{r_{0}\rightarrow \infty}\left(-\frac{Gmm_0}{r}+\frac{Gmm_0}{r_0}\right) = -\frac{Gmm_0}{r}$$ (4.335)

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Gravitationspotential einer Punktmasse

$_{}$

Die potentielle Energie hängt nicht nur von der zu untersuchenden Masse $m$, sondern auch von der Testmasse $m_{0}$ ab.

Wir definieren das Testmassen-unabhängige Gravitationspotential

$$\phi \left( \vec{r}\right) =\frac{E_{pot}\left( \vec{r}\right) }{m_{0}}$$ (4.336)

Die Einheit des Gravitationspotentials ist

$$\left[\phi\left( \vec{r}\right)\right] = \frac{Nm}{kg} = \frac{m^2}{s^2}$$

dann gilt:

$$\phi \left( \vec{r}\right) = -G\frac{m}{r} \notag$$ (4.337)

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) = - {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \phi \left( \vec{r}\right) \notag$$ (4.338)

$$\vec{F}\left( \vec{r}\right) = - {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} E_{pot}\left( \vec{r}\right)$$ (4.339)

Wir erhalten die folgenden Zusammenhänge:

$E_{pot}(\vec{r})= -\frac{Gmm_0}{r}$		$$\begin{array}{c}/ m_0 \Rightarrow \Leftarrow \cdot m_0\end{array}$$	$\phi \left( \vec{r}\right) =-G\frac{m}{r}$
${}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \Downarrow$	$\Uparrow \int\limits_S ds$		$\int\limits_S ds \Uparrow$	$\Downarrow {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}$
$\vec{F}\left( \vec{r}\right) = -G\frac{m m_0}{r^3}\vec{r}$		$$\begin{array}{c}/ m_0 \Rightarrow \Leftarrow \cdot m_0\end{array}$$	$\vec{g}\left( \vec{r}\right) = -G\frac{m}{r^3}\vec{r}$

Oberflächenintegral über eine Kugel*

$_{}$

Oberflächenintegrale: Definition der Grössen

Normalenvektor $\vec{n}=\frac{\vec{r}}{r}$

Oberflächenelement in Kugelkoordination

$$da=r\sin \theta d\varphi rd\theta$$ (4.340)

dabei ist $r\sin \theta d\varphi$ die horizontale Seite des Flächenelementes, $rd\theta$ die vertikale Seite.

Koordinaten des Oberflächenelementes

$$\int\limits_{Kugel}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot \vec{n\cdot da } \vec{=} \int -Gm\frac{\vec{r}}{r^{3}}\frac{\vec{r}}{r}\cdot r^{2}\sin \theta d\theta d\varphi \notag$$ (4.341)

$$ = -Gm\int\limits_{Kugel}\sin \theta d\theta d\varphi \notag$$ (4.342)

$$ = -2\pi Gm\int\limits_{0}^{\pi}\sin \theta d\theta \notag$$ (4.343)

$$ = -4\pi Gm$$ (4.344)

also

$$\int\limits_{Kugel}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot \vec{n}da=-4\pi Gm$$ (4.345)

Die in einer Kugel (beliebigen Fläche) eingeschlossene Masse kann aus dem Integral über $\vec{g}\left( \vec{r}\right)$ an der Oberfläche bestimmt werden. Damit kann man über die Keplerschen Gesetze mit einer Testmasse (Satellit) die Masse eines Himmelskörpers bestimmen!

Gravitation eines Ensembles von Massenpunkten

Betrachte $n$ Massenpunkt mit $m_{k}$ an den Orten $\vec{r}_{k}$

Anordnung von Massenpunkten

Wir nehmen das folgende Postulat an

Die Gravitationskräfte sind additiv.

Damit sind auch die Gravitationsfelder additiv. Deshalb gilt

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) = -G\sum\limits_{k=1}^{n}m_{k}\frac{ \vec{r}-\vec{r}_{k}}{\left\vert \vec{r}-\vec{r}_{k}\right\vert ^{3}} \notag$$ (4.346)

$$\phi \left( \vec{r}\right) = -G\sum\limits_{k=1}^{n}m_{k}\frac{1}{ \left\vert \vec{r}-\vec{r}_{k}\right\vert }$$ (4.347)

Da die einzelnen Teilfelder konservativ sind, ist auch das Gesamtfeld konservativ.

Bei Kräften zwischen Atomen und Molekülen gibt es viele Beispiele nichtadditiver Kraftfelder.

Oberflächenintegral*

$_{}$

$$\int\limits_{S}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \vec{n}\left( S,\vec{ r}\right) da\left( S,\vec{r}\right) = -4\pi G\sum\limits_{k}m_{k}\left( \text{innerhalb von S}\right) \notag$$ (4.348)

$$ = -4\pi Gm$$ (4.349)

wobei $m$ die Masse innerhalb $S$ ist

Koordinaten zur Berechnung eines Oberflächenintegrals

Kontinuierliche Massenverteilung *

Kontinuierliche Massenverteilung: gegeben durch Massendichte $\rho \left( \vec{r}\right)$

$$\rho \left( \vec{r}\right) =\underset{\Delta V\rightarrow 0}{\lim }\frac{ \Delta m\left( \vec{r}\right) }{\Delta V\left( \vec{r}\right) }$$ (4.350)

Berechnung der Gesamtmasse aus Dichte:

$$m = \int\limits_{v}\rho \left( \vec{r}\right) dV \notag$$ (4.351)

$$ = \iiint\limits_{V}\rho \left( x,y,z\right) dxdydz$$ (4.352)

In Kugelkoordinaten wäre

$$m = \iiint\limits_{V} \rho(r \theta \phi) r^2\sin(\theta) dr d\theta d\phi$$ (4.353)

Oberflächenintegral

$$\int\limits_{s}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot \vec{n}\left( \... ...\left( \text{in } S\right) =-4\pi G\int\limits_{V}\rho \left( \vec{r}\right) dV$$ (4.354)

Für kontinuierliche Massenverteilungen gilt die Feldgleichungen der Gravitation

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{g}\left( \vec{r}\right) =-4\pi G\rho \left( \vec{r}\right)$$ (4.355)

Def:

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{r=\nabla \cdot r=}\frac{\partial x}{\partial x}+ \frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}$$ (4.356)

Beweis: Nach Gauss gilt:

$$\int\limits_{s}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \vec{n}\left( \vec{r}... ...g }\left( \vec{r}\right) dV=\int\limits_{V}-4\pi G\rho \left( \vec{r}\right) dV$$ (4.357)

Die Lösung der Feldgleichung ist

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) =-G\int\limits_{Raum}\rho \left( \ve... ...c{r}'\right) }{ \left\vert \left( \vec{r}-\vec{r}'\right) \right\vert ^{3}} dV'$$ (4.358)

Dabei ist $dV'$ das Volumenelement am Ort $\vec{r}'$. Die Lösung hat die gleiche Struktur wie das Gesetz für den Feldvektor der Gravitation, Gleichung (4.202) . Die ist leicht zu sehen, wenn man die Variablen wie folgt umschreibt:

$$m \rightarrow \rho(\vec{r})dV'$$

$$\vec{r} \rightarrow \vec{r}-\vec{r}'$$

$$r \rightarrow \left\vert(\vec{r}-\vec{r}'\right\vert$$

Da $\vec{g}\left( \vec{r}\right) =- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \phi \left( \vec{r}\right)$ gilt

$$-4\pi G\rho \left( \vec{r}\right) = {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{g}\left( \vec{r}\right) \notag$$ (4.359)

$$ = - {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \phi \left( \vec{r}\right) \notag$$ (4.360)

$$ = -\vec{\nabla }\cdot \vec{\nabla }\phi \left( \vec{r}\right) =-\Delta \phi \left( \vec{r}\right)$$ (4.361)

also

$$\Delta \phi \left( \vec{r}\right) =4\pi G\rho \left( \vec{r}\right)$$ (4.362)

heisst Poisson-Gleichung

$\Delta$ heisst Laplace-Operator:

$$\vec{\nabla \cdot \nabla =}\left( \begin{array}{c} \frac{\partial... ...^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}$$ (4.363)

Formal ist die Lösung der Poissongleichung

$$\phi \left( \vec{r}\right) =-G\int\limits_{Raum}\rho \left( \vec{r}'\right) \frac{1}{\left\vert \left( \vec{r}-\vec{r}'\right) \right\vert }dV'$$ (4.364)

Gravitationsfeld einer Kugel

Masse einer Kugel

$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho_{0}$$ (4.365)

bei konstanter Dichte $\rho_{0}$

Gravitationsfeld einer homogenen Kugel

Wir unterscheiden die folgenden Fälle:

$r>R$		$g\left( r\right) =-G\frac{m}{r^{2}}$		$\phi\left( r\right) =-\frac{Gm}{r}$
$r=R$		$g\left( R\right) =-G\frac{m}{R^{2}}$		$\phi\left( r\right) =-\frac{Gm}{R}$
$r<R$		$g\left( r\right) =-G\frac{m}{R^{3}}r$		$\phi\left( r\right) =-G\frac{m}{R^{3}}\left( \frac{3}{2}R^{2}-\frac{1}{2}r^{2}\right)$

Gravitationsfeld als Funktion der Distanz

Links wird der Verlauf des Gravitationsfeldvektors gezeigt, rechts der des dazu gehörigen Gravitationspotentials. Beide sind für eine massive homogene Kugel mit dem Radius 1 gerechnet.

Im Folgenden werden drei Beweisarten gezeigt:

a)

Behauptung: Nur die Masse innerhalb der Kugelschale beeinflusst die Gravitationskraft. Wir berechnen zuerst die Gravitationskraft einer Kugelschale mit dem Radius $R$ und der Dicke $dR$ auf eine Masse $m$ im Inneren. Die Gesamtmasse der Kugelschale ist

$$dM = 4\pi R^2 \rho dR$$ (4.366)

wenn $\rho$ die Massendichte ist. Wir betrachten die folgende Situation:

Kräfte auf eine Punktmasse im Inneren einer Hohlkugel.

Wir betrachten in der Abbildung 4.59 die beiden Flächen $dA_1$ und $dA_2$. Die von den Massen in diesen beiden Flächen auf $m$ ausgeübten Kräfte zeigen entlang der gleichen Gerade, aber in entgegengesetzte Richtungen. Die Massen in $dA_1$ und $dA_2$ sind jeweils

$$dm_1 = dM \frac{dA_1}{4\pi R^2}$$

$$dm_2 = dM \frac{dA_2}{4\pi R^2}$$ (4.367)

Dabei ist $4\pi R^2$ die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius $R$. Die Beträge der Kräfte $\vec{F}_1$ und $\vec{F}_2$ sind

$$F_1 = -G \frac{m dm_1}{r_1^2} = -G \frac{m dM}{4\pi R^2}\frac{dA_1}{r_1^2}$$

$$F_2 = - G \frac{m dm_2}{r_2^2} = - G \frac{m dM}{4\pi R^2}\frac{dA_2}{r_2^2}$$ (4.368)

Nach dem Strahlensatz gilt (beachte dass $dA_1$ und $dA_2$ Flächen sind)

$$\frac{dA_1}{r_1^2} = \frac{dA_2}{r_2^2}$$ (4.369)

Kombinieren wir Gleichung (4.240) und Gleichung (4.241) , so sehen wir sofort, dass

$$\left\vert\vec{F}_1\right\vert = \left\vert\vec{F}_2\right\vert$$ (4.370)

Da wir über die Lage von $dA_1$ und $dA_2$ nichts vorausgesetzt hatten, ausser dass beide mit der Masse auf einer Linie liegen, können wir folgern:

Auf Massenpunkte im Inneren einer Hohlkugel mit einer homogenen Massenverteilung wirken keine Kräfte.

Genauere Rechnungen zeigen, dass dies bei allen genügend symmetrischen Hohlkörpern der Fall ist.

Ausserhalb einer Massenverteilung wirkt die Gravitationskraft immer so, wie wenn sie vom Massenmittelpunkt käme.

Ausserhalb der kugelförmigen homogenen Massenverteilung können wir die Gravitationskraft so ausrechnen, wie wenn sie am Massenmittelpunkt konzentriert wäre (siehe Gleichung (4.202) ).

$$\vec{g}(\vec{r}) = - G m\frac{\vec{r}}{r^3} r>R$$ (4.371)

An der Oberfläche der Masse gilt Gleichung (4.243) gerade noch.

$$\vec{g}(\vec{R}) = - G m\frac{\vec{R}}{R^3}$$ (4.372)

Im Inneren ($r<R$) der homogenen kugelförmigen Massenverteilung können wir die Masse in zwei Bereiche einteilen, eine Hohlkugel mit $r<r'\leq R$ sowie eine homogene Kugel mit $r'\leq r$. Die Hohlkugel trägt, wie gezeigt, nichts zum Gravitationsfeld bei. Nur Masse der Kugel mit dem Radius $r$ erzeugt das Gravitationsfeld. Wenn $m$ die Gesamtmasse ist, ist die relevante Masse

$$m'(r) = m \frac{V(r)}{V(R)} = m \frac{\frac{4\pi}{3} r^3}{\frac{4\pi}{3}R^3} = m \frac{r^3}{R^3}$$ (4.373)

Der Feldvektor der Gravitation an der Oberfläche der inneren Masse ist dann

$$\vec{g}(\vec{r}) = -G m'(r) \frac{\vec{r}}{r^3} = -G m \frac{r^3}{R^3} \frac{\vec{r}}{r^3} = -G m \frac{\vec{r}}{R^3}$$ (4.374)

b)*

$$-4\pi G\int\limits_{\text{Kugel, Radius }F}\rho\left( \vec{r}\rig... ...l\uml {a}che}}\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot\vec{n}\left( \vec{r}\right) da$$ (4.375)

mit

$$\vec{g}\left( \vec{r}\right) \cdot\vec{n}\left( \vec{r}\right) ={g}\left( {r}\right) \$$

da $\vec{n}\left\Vert \vec{r}\right\Vert \vec{g}$ ist. Also ist

$$-4\pi G\underset{\text{Masse}}{\underbrace{\rho_{0}\frac{4\pi}{3}... ...ight) \int\limits_{\text{Kugeloberfläche}}da=g\left( r\right) \cdot4\pi r^{2}$$ (4.376)

Innerhalb der kugelförmigen Masse gilt also

$$g\left( r\right) =-\frac{4\pi}{3}G\rho_{0}r$$

$$=-\frac{4\pi}{3}G\rho_{0}R^{3}\frac{r}{R^{3}}$$

$$=-mG\frac{r}{R^{3}}$$ (4.377)

Ausserhalb erhalten wir

$$-4\pi G\underset{\text{Masse}}{\underbrace{\rho_{0}\frac{4\pi}{3}... ...ight) \int\limits_{\text{Kugeloberfläche}}da=g\left( r\right) \cdot4\pi r^{2}$$ (4.378)

oder

$$-4\pi Gm =g\left( r\right) \cdot4\pi r^{2}$$ (4.379)

$$g\left( r\right) =-\frac{Gm}{r^{2}}$$ (4.380)

Aus diesen Gleichungen kann das Potential berechnet werden.

Dazu verwendet man die Definition der potentiellen Energie für ein radialsymmetrisches Potential

$$\phi(r) = -\int\limits_\infty^r \vec{g}(r)d\vec{r}$$

Für ausserhalb bekommt man

$$\phi(r) = -\int\limits_\infty^r -\frac{Gm}{\hat{r}^2}d\hat{r} = -... ...ft(-\left(-\frac{Gm}{\hat{r}}\right)\right)\right\vert _\infty^r= -\frac{Gm}{r}$$

Innerhalb der Kugel verwendet man den Radius der Kugel $R$ als Referenz

$$\phi(r) = -\int\limits_R^r \vec{g}(r)d\vec{r}$$

und damit

$$\phi(r) = -\int\limits_R^r -mG\frac{\hat{r}}{R^{3}}d\hat{r} = -\l... ...hat{r}}{2R^3}\right)\right)\right\vert _R^r=\frac{mG}{2R^3}\left(r^2-R^2\right)$$

Für die Distanz $R$ muss das Potential kontinuierlich sein. Wir führen eine Konstante $K$ ein und setzen

$$-\frac{Gm}{R}=K-\frac{mG}{2R^3}\left(R^2-R^2\right)= K$$

Also ist für Innen das Resultat

$$\phi(r) = \frac{mG}{2R^3}\left(r^2-R^2\right) -\frac{Gm}{R} = -\frac{mG}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right)$$

Das Schlussresultat ist

$$\phi(r) = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{Gm}{r} & \hbox{für $r\... ...frac{mG}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right) & \hbox{für $r<R$.} \end{array} \right.$$ (4.381)

c)*

zu Fuss

Gravitationskraft eines Kreisringes

Berechnung des Kreisringes

Symmetrie: nur $x$-Komponente betrachten

$$dF=-\frac{Gm_{0}\left( dm\right) }{s^{2}}$$ (4.382)

$$dF_{x}=dF\cos\alpha=-\frac{Gm_{0}}{s^{2}}\cos\alpha dm$$ (4.383)

Die $x$-Komponente des Feldvektors der Gravitation ist nun (betragsmässig):

$$dg_{x}=\frac{dF_{x}}{m_{0}}=-\frac{G}{s^{2}}\cos\alpha dm$$ (4.384)

Die Integration über den Feldvektor ergibt das totale Feld

$$g_{x}=-\int\limits_{Kreisring}\frac{G\cos\alpha}{s^{2}}dm=-\frac{... ...}} {s^{2}}\cos\alpha\int\limits_{Kreisring}dm=-\frac{Gm_{0}}{s^{2}}\cos\alpha m$$ (4.385)

Dabei ist $m$ die Masse des Kreisringes. $\frac{G}{s^{2}} \cos\alpha$ ist unabhängig vom Azimut. Mit

$$\cos\alpha=\frac{x}{s}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}$$ (4.386)

wird

$$g_{x}=-\frac{Gmx}{\left( x^{2}+a^{2}\right) ^{3/2}}$$ (4.387)

Als nächstes berechnen wir eine Kugelschale zusammengesetzt aus Kreisringen.

Berechnung einer Kugelschale zusammengesetzt aus Kreisringen

Umfang eines Kreisringes:	$2\pi R \sin \theta\newline$
Breite:	$Rd\theta\newline$
Oberfläche:	$4\pi R^{2}$

Parameter des Kreisringes

Daraus ergibt sich:

$$dM=M\frac{dA}{A}=M\frac{2\pi R^{2}\sin\theta d\theta}{4\pi R^{2}}=\frac{M} {2}\sin\theta d\theta$$ (4.388)

und mit

$$dg_{R}=-\frac{Gdm}{s^{2}}\cos\alpha=-\frac{Gm\sin\theta d\theta}{2s^{2}} \cos\alpha$$ (4.389)

Es gilt weiter:

$$\theta =0..\pi$$

$$s =r-R..r+R$$

$$s^{2} =r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta$$ (4.390)

oder

$$2sds=2rR\sin\theta d\theta$$ (4.391)

Für $\cos\alpha$ gilt:

$$R^{2}=s^{2}+r^{2}-2sr\cos\alpha$$ (4.392)

oder

$$\cos\alpha=\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2sr}$$ (4.393)

also

$$dg_{R}=-\frac{GM}{2s^{2}}\frac{sds}{rR}\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2sr} =-\frac{GM}{4r^{2}R}\left( 1-\frac{r^{2}-R^{2}}{s^{2}}\right) ds$$ (4.394)

Die Integration über $ds$ liefert

$$g_{R}=-\frac{GM}{4r^{2}R}\int\limits_{r-R}^{r+R}\left( 1-\frac{r^... ...right) ds=-\frac{GM}{4r^{2}R}\left[ s-\frac{r^{2}-R^{2}}{s}\right] _{r-R}^{r+R}$$ (4.395)

Nach dem Einsetzen erhält man

$$g_{R}=-\frac{GM}{r^{2}}$$ (4.396)

Wenn wir innerhalb der Kreisschale sind muss von $R-r$ bis $R+r$ integriert werden. Dann ist $g_{R}=0$!

Eine Kugelschale trägt zum Feldvektor der Gravitation für Punkte innerhalb nichts bei.

Den Feldvektor der Gravitation für einen Punkt innerhalb einer Vollschale kann jetzt noch durch Integration über alle eingeschlossenen Unterschalen erhalten werden, deren Radien kleiner sind als der Radius des betrachteten Punktes. An der Form des Resultates ändert sich nichts mehr.

Gewicht

Das Gewicht oder die Gewichtskraft $\vec{F}_{G}$ einer Masse $m$ wird durch die Gravitation zwischen der Erde und $m$ bewirkt.

Modell: Die Erde entspricht einer Kugel. Dann gilt an der Oberfläche

$$\frac{\vec{F}_{G}}{m}=\vec{g}\left( \vec{r}=\vec{R}\right) =-GM\frac{\vec{R}}{R^{3}}$$ (4.397)

Im Labor ist $\vec{g}=konst.$

und $E_{pot}=mgh=m\phi$

Gewichtsbedingte Bewegung

Freier Fall:

$$\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{g}$$ (4.398)

mit $\vec{r}\left( t=0\right) =\vec{r}_{0}$ und $\vec{v}\left( t=0\right) =\vec{v}_{0}$ bekommt man

$$\vec{r}\left( t\right) =r_{0}+\vec{v}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^{2}$$ (4.399)

Mathematisches Pendel

Mathematisches Pendel

Versuch zur Vorlesung: Fadenpendel (Versuchskarte M-077)

$\vec{F}_{a}$ beschleunigt die Masse, also gilt:

$$\left\vert \vec{F}_{a}\right\vert =\left\vert \vec{F}_{G}\right\vert \cdot\sin\phi$$ (4.400)

Beschleunigung:

$$a=\ell \ddot{\phi}$$ (4.401)

Bewegungsgleichung

$$m\cdot a=m\ell\ddot{\phi}=-mg\sin\phi$$ (4.402)

$$\Rightarrow\hspace{1cm}\ddot{\phi}+\frac{g}{\ell}\sin\ddot{\phi}=0=\ddot{\phi}+\omega_{0}^{2}\sin\phi$$ (4.403)

mit

$$\omega_{0}^{2}=\frac{g}{\ell}$$ (4.404)

Kleine Auslenkungen:

$$\sin\phi=\phi-\frac{\phi^{3}}{3!}+\frac{\phi^{5}}{5!}-...$$ (4.405)

also

$$\ddot{\phi}+\omega_{0}^{2}\phi=0$$ (4.406)

harmonische Schwingung:

$$\Rightarrow\hspace{1cm}\phi\left( t\right) =\phi_{0}\cos\left( \omega_{0}t-\alpha\right)$$ (4.407)

Beweis

$$\ddot{\phi}=-\phi_{0}\omega_{0}^{2}\cos\left[ \omega_{0}t-\alpha\right]$$ (4.408)

d.h. die Bewegungsgleichung ist erfüllt.

$\phi_{0}$ und $\alpha$ hängen von den Anfangsbedingungen ab.

Schwere und träge Masse

Beispiel: Freier Fall

von	$m_{T}$ träge Masse (Beschleunigung)
	$m_{S}$ schwere Masse (Gravitation)

$$\vec{F} =m_{t}\vec{a}=-Gm_{s}\frac{M_{s}}{R^{3}}\vec{R}$$ (4.409)

$$\Rightarrow\vec{a}=-G\frac{m_{s}}{m_{t}}\left( \frac{M_{s}}{R^{3} }\right) \vec{R}$$ (4.410)

Beobachtung $\alpha=\frac{m_{s}}{m_{t}}=const$ ist unabhängig vom Material

Experimentell: $\left\vert \alpha-1\right\vert <10^{-12}$

Satelliten und Ähnliches

Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes, mit Kreisbahnen

Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes

Zentripetalkraft $F_{z}=\frac{mv_{1}^{2}}{r_{1}}$

$$F_{z}'=\frac{mv_{2}^{2}}{r_{2}}$$ (4.411)

$$F_{z}=F_{Graviation}!$$

$$\frac{Gm_{s}m_{1}}{r_{1}^{2}}=m_{1}\frac{v_{1}^{2}}{r_{1}}$$ (4.412)

nun ist die Umlaufszeit $T_{1}=\frac{2\pi r_{1}}{v_{1}}$ oder $v_{1} =\frac{2\pi r_{1}}{T_{1}}$

also ist

$$\frac{Gm_{s}}{r_{1}^{2}} =\frac{4\pi r_{1}^{2}}{T_{1}^{2}r_{1}}$$ (4.413)

$$\Rightarrow\frac{T_{1}^{2}}{r_{1}^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{Gm_{s}}$$ (4.414)

Dies ist das 3. Keplersche Gesetz.

Beispiel:

Maximale Höhe eines Satelliten

Wir wissen

$$E_{pot}=-\frac{Gm_{e}m}{r}$$ (4.415)

Energiesatz:

$$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{Gm_{e}m}{R}=\frac{1}{2}mv^{2}\left( r\right) -\frac{Gm_{e}m}{r}$$

wobei $R$ der Erdradius ist.

$$v^{2}\left( r\right) =v_{0}^{2}-2Gm_{e}\left( \frac{1}{R}-\frac{1} {r}\right)$$ (4.416)

$$r\left( v\right) =\frac{Gm_{e}}{\frac{1}{2}\left( v_{0}^{2} -v^{2}\right) }+R$$ (4.417)

$$r_{\max}=\frac{R\cdot2Gm_{e}}{2Gm_{e}-v_{0}^{2}R}$$ (4.418)

$\Rightarrow r_{\max}$ divergiert wenn $v_{0}^{2}=\frac{2Gm_{e}}{R}$

oder mit $\frac{Gm_{e}}{R^{2}}=g$ bekommt man die Fluchtgeschwindigkeit

$$v_{0}=\sqrt{2gR}=11,2km/s$$

Gesamtenergie eines Satelliten

$$E_{pot}=-\frac{Gm_{e}m}{r}$$ (4.419)

Zentripetalkraft

$$m\frac{v^{2}}{r}=\frac{Gm_{e}'m}{r^{2}}\Rightarrow mv^{2}=\frac {Gm_{e}m}{r}$$ (4.420)

Kinetische Energie

$$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}\frac{Gm_{e}m}{r}=-\frac{1}{2}E_{pot}$$ (4.421)

$$E_{total}=\frac{1}{2}E_{pot}$$ (4.422)