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Jeder Schwimmer habe die Geschwindigkeit gegen das Wasser, beide schwimmen die Strecke hin und zurück
Schwimmer 1) schwimmt vom Pfeiler zur Boje und zurück.
Schwimmer 2) schwimmt vom Pfeiler ans Ufer und zurück. Damit er wieder beim Pfeiler ankommt, muss er seine Schwimmrichtung um den Winkel gegen die Strömung vorhalten.
Vorhalten des Schwimmers 2.
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Der Vorhaltewinkel wird gegeben durch
(5.461) |
(5.462) |
(5.463) |
(5.464) |
unabhängig von .
Der Zeitunterschied ist, andererseits
(5.465) |
Wir machen nun die folgende Identifikation
Wir erhalten also
(5.466) |
Michelson-Morley-Experiment: Interferometrische Längenmessung.
|
Der zu gehörende Weglängenunterschied ist
(5.467) |
Im Michelson-Morley-Versuch erwartet man für die verwendeten Parameter
Wenn man eine Verschiebung um einen Viertel Interferenzring beobachten kann, dann gilt für die Äthergeschwindigkeit
(5.468) |
Wie die Rechnung zeigt, ist das Michelson-Morley-Experiment an der Grenze der Signifikanz. Der aufgrund der Messdaten durchaus zweifelhafte Befund der beiden wurde später glänzend bestätigt. Heute wird eine äquivalente Technik zur Gravitationswellendetektion angewandt.
Es wurde aber kein Gangunterschied beobachtet über eine Jahreszeit. Es gibt nun zwei Lösungen:
Das Experiment kann so interpretiert werden: Das Interferometer bewegt sich gleich schnell gegenüber dem Äther, unabhängig von der Position auf der Erdbahn.
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 1156]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 838])
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Eine andere Formulierung des 2. Postulates ist
Jeder Beobachter misst für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum den gleichen Wert. |
Anders kann man auch sagen
Eine sehr gut lesbare Einführung in die Relativitätstheorie bietet das Buch von Jürgen Freund, Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger, [Fre04].
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 838])
Ereignisse sind durch einen Ort und eine Zeit gegeben. Dies kann so ausgedrückt werden, dass 4 Koordinaten zur Angabe eines Ereignisses notwendig sind.
(5.469) |
Wir multiplizieren hier die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit, um ihr die Einheit einer Länge zu geben.
Zwei Ereignisse sind in jedem Inertialsystem gleichzeitig, wenn sie am Ort und zur gleiche Zeit (an dem betreffenden Ort) stattfinden. |
Ein Bezugssystem ist allgemein formuliert ein System von Mechanismen und materiellen Körpern, (Z.B. Uhren und Massstäbe), mit deren Hilfe die Lage anderer Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt relativ zu den Massstäben angegeben werden kann (das Punktereignis). |
Ein Körper ist also eine Folge von Punktereignissen. Man nennt diese Linie die Weltlinie des Körpers. |
All das was sich auf mich wirkt, oder auf was ich wirken kann, muss sich in einem Gebiet befinden, von dem aus ein Punktereignis mit dem jetzt mit einer Geschwindigkeit verbunden werden kann. In einem Koordinatensystem mit den Achsen , , und bedeutet dies, dass nur Punktereignisse aufeinander einwirken können, bei denen die Steigung der Verbindungslinie steiler als ist.
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 839])
Rückdatierung der Beobachtung eines Ereignisses auf die wahre Zeit und den wahren Ort.
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Wenn ich weiss, dass die Nachricht von einem Ereignis mich mit einer bestimmten Laufzeit aus einer bestimmten Richtung erreicht, kann ich die Zeit und den Ort des Ereignisses bestimmen. Durch diese sogenannte Rückdatierung kann es mir gelingen, festzustellen, wann und wo ein oder mehrere Ereignisse stattgefunden haben sowie ob mehrere Ereignisse für andere Beobachter gleichzeitig sind.
Um die Lage eines Punktereignisses in einer für alle möglichen Beobachter nachvollziehbaren Weise anzugeben, muss das Hilfsmittel der Rückdatierung angewandt werden. |
Im Regelfall werden bei der Diskussion der speziellen Relativitätstheorie Licht- oder Radiosignale verwendet. Sie haben den Vorteil, dass ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen ist. Natürlich könnten wir auch Schall, oder jedes andere Medium verwenden: die Berechnungen wären durch die niedrigere Geschwindigkeit bedingt aber komplizierter.
Die Zeitachse wird mit bezeichnet, um die gleiche Einheit wie die
-Achse zu haben. Die -Achse fasst alles zusammen, was jetzt geschieht. Die -Achse fasst alles
zusammen, was am Ort des Beobachters, hier geschieht. Zum dargestellten Zeitpunkt hat der Beobachter bei
und Kenntnis über alles was im zeitartigen Gebiet unterhalb der -Achse liegt. Alles was im
zeitartigen Gebiet über der -Achse liegt, kann beeinflusst werden. Zum dargestellten Zeitpunkt gibt es keine
gegenseitige Beeinflussung von Punkten im raumartigen Gebiet.
|
Wir definieren als Mass (verallgemeinerte Längenmessung)
(5.470) |
Dies ist analog zum Euklidischen Mass
Zwei Novae explodieren im Weltall. Wir betrachten diese Ereignisse in zwei Bezugssystemen, dem Bezugssystem von und dem dazu mit der Geschwindigkeit bewegten Bezugssystem von .
Die zwei Novae sollen an den angegebenen Orten und Zeiten ausbrechen. B
befindet sich in einem Inertialsystem, das sich mit der Geschwindigkeit gegenüber dem Inertialsystem
von bewegt.
|
In der Abbildung stellt die horizontale Achse alle drei Raumkoordinaten zusammen dar. Am Ort befindet sich in Ruhe. Deshalb ist die Zeitachse von sein hier. Andererseits haben alle Punkte auf der -Achse die gleich Zeit wie , sie befinden sich also jetzt. Die hier und jetzt eines sich in einem mit der Geschwindigkeit gegenüber s Inertialsystem bewegenden Beobachters sind gekippt gegenüber meinen Koordinatenachsen, wobei der Kippwinkel der Zeitachse (, hier) durch die Geschwindigkeit gegeben ist. Unbekannt ist der Kippwinkel der Raumachse (, jetzt). soll gleichzeitig die Explosion von je einer Nova links und rechts von ihm beobachten. Beide Novae sollen den gleichen Abstand von haben. Sie sollen, als s Weltlinie die von kreuzte ausgebrochen sein.
Dies kann wie folgt eingesehen werden:
Zwischenbeobachtung: Die beiden roten Linien unter stellen die Ausbreitung des Lichtes dar, die Lichtgeraden: die Lichtgeschwindigkeit bei unserer Wahl der Koordinaten ist 1. Die beiden roten Linien durch die beiden Ereignisse zeigen, dass beide Novae gleichzeitig wahrnimmt. hingegen sieht zuerst die Nova 1, dann die Nova 2, da der Schnittpunkt der ersten roten Linie mit der -Achse unter dem der zweiten Linie liegt.
Der Begriff der Gleichzeitigkeit hängt vom betrachteten Inertialsystem ab. |
(5.471) |
Diagramme wie das aus der Abbildung 5.18 heissen Minkowski-Diagramme. |
Je schneller ist, desto mehr werden, von aus gesehen, seine Achsen gegen die Linie gekippt.
Die beiden Novae aus der Sicht von .
|
Die Beschreibung von ist ebenso gültig. Aus seiner Sicht ist s Geschwindigkeit genau das negative von seiner, von aus gesehen. Deshalb ist s 'ct'-Achse um gegen den Uhrzeigersinn geneigt.
Ereignisse, die aus s Sicht gleichzeitig sind, sind für nicht gleichzeitig, und umgekehrt.
Relationen zwischen Ereignissen sind nur dann sinnvoll zu beschreiben, wenn gleichzeitig auch das Bezugssystem angegeben wird. |
In jedem Inertialsystem gibt es konsistente Masseinheiten, die aber von Inertialsystem zu Inertialsystem verschieden sind. |
Wir betrachten zwei Massstäbe, einer der im Ruhesystem von entlang der -Achse liegt und in Ruhe ist, mit einem Ende bei , und einer, der sich entlang der -Achse oder der -Achse mit der Geschwindigkeit bezüglich des Bezugssystems von bewegt. Im Bezugssystem von (gekennzeichnet durch die Koordinaten , ) ist der zweite Massstab in Ruhe.
Massstabsvergleich
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Die beiden Koordinatenursprünge (s und meiner) sollen übereinander liegen. s Koordinatensystem ist gekippt. Alle seine eindimensionalen Objekte sind parallel zu seiner jetzt-Achse, genauso wie alle meine eindimensionalen Objekte parallel zu meiner jetzt-Achse sind. Zum Zeitpunkt (gilt für beide) ist das linke Ende je eines Massstabes genau am Ursprung. Das Ende meines Massstabes ist in und bewegt sich weiter zu . Das rechte Ende von s Massstab beschreibt die Linie nach . Für mich ist zur Zeit das Ende von s Massstab in , für ihn ist es in . Analog sagt , dass mein Massstab zur Zeit in ist, während es für mich in ist.
Da kein Bezugssystem bevorzugt ist, muss meine Beschreibung der Situation und seine äquivalent sein.
Mein Massstab ist für verkürzt, während seiner für mich kürzer ist. Der Verkürzungsfaktor muss für beide der gleiche sein:
(5.472) |
und damit auch
Nun ist
und nach dem Sinussatz
Damit ist
(5.473) |
ist die Steigung der Weltline eines Punktes mit der Geschwindigkeit .
Die Steigung ist dann
Lorentz-Kontraktion
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In jedem gegen das Inertialsystem des Beobachters mit bewegten Inertialsystem erscheinen die in Richtung der Bewegung zeigenden Längen um verkürzt. |
In mehreren Dimensionen entstehen durch die Laufzeiten vom Bildpunkt zum Auge zusätzliche Verzerrungen, so dass Objekte nicht einfach verkürzt erscheinen.
Als Beispiel betrachten wir eine Länge. sei die Länge gemessen im ruhenden System. sei die Länge gemessen im bewegten System. Dann ist
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Vergrösserte Darstellung aus der vorherigen Abbildung 5.21.
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Aus , beziehungsweise kann das Punktereignis Uhr zeigt 1 im anderen Bezugssystem rekonstruiert werden. Die Argumentation ist analog wie beim Längenvergleich. Wir fordern:
und damit
ist ein rechtwinkliges Dreieck. Also ist
Das Dreieck ist ein allgemeines Dreieck, bei dem der Sinussatz
Wenn wir den Schnittpunkt mit mit bezeichnen, so ist das rechtwinklige Dreieck kongruent zu . Also ist und . Der Aussenwinkel dazu ist . Dieser Winkel liegt gegenüber. Aus der Winkelsumme im Dreieck bekommt man schliesslich . Dieser Winkel liegt gegenüber. Also ist
und
sowie
ist die Steigung der Weltlinie. Also bekommen wir wieder
(5.475) |
Jeder Beobachter sieht die Uhr des anderen erst später die 1 erreichen. Bewegte Uhren gehen also langsamer wegen der Zeitdilatation.
Link zur Vorlesung:(Zeitdilatation) |
Zwischen zwei Punktereignissen misst derjenige Beobachter den kürzesten Zeitabstand, der sie (soweit möglich) direkt erlebt, also für den sie beide hier sind. |
Zwischen zwei Punktereignissen misst derjenige den kürzesten Abstand, für den sie gleichzeitig erfolgen (bei ihm ist der Massstab am längsten!). |
Da wir keine Aussage über die Natur der Uhren gemacht haben, müssen wir schliessen, dass die obige Aussage für alle Prozesse gilt.
Wir können das oben gesagte auch so formulieren:
Im bewegten System (Geschwindigkeit ) am Punkt 0 gibt es zwei Ereignisse und im Abstand
Im Ruhesystem ,,, misst man
(5.476) |
Der Vollständigkeit halber steht unten noch das in den Lehrbüchern übliche, kaum verständliche Diagramm.
Traditionelle Darstellung des Uhrenvergleichs nach (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 842])
|
|
Die obige Skizze soll die Frage klären, welche Periode misst für ein Signal, für das ich die Periode messe. Die Berechnung läuft wie folgt:
würde anders argumentieren (rechte Seite von Abbildung 5.24)
Der Dopplereffekt wird also durch die spezielle Relativitätstheorie für alle Inertialsysteme konsistent beschrieben.
Longitudinaler relativistischer Dopplereffekt:
wenn im ungestrichenen System mit der Frequenz Strahlung ausgesendet wird und in dem mit sich dazu bewegenden gestrichenen System gemessen wird. |
Bewegungsrichtung beim transversalen relativistischen Dopplereffekt.
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Wenn eine Bewegung im Winkel schräg zur zur Beobachtungsrichtung verläuft, ist der relevante Längenunterschied nicht sondern . Sei die Periodendauer im bewegten Bezugssystem und die Distanz, um die sich das bewegte Bezugssystem in bewegt. Die Zeitdilatation ist unabhängig von der Bewegungsrichtung, die Längenkontraktion jedoch nicht!
Wir erhalten die Beziehungen
(5.478) | ||
(5.479) | ||
(5.480) |
Für die Frequenzen () gilt dann
(5.481) |
Für bekommt man den transversalen Dopplereffekt
(5.482) |
Dies ist nichts anderes als ein Ausdruck der Zeitdilatation. Bei Schallwellen gibt es keinen transversalen Dopplereffekt.
Für erhalten wir den longitudinalen Dopplereffekt.
(5.483) |
Addition von Geschwindigkeiten
|
In diesem Gedankenexperiment sollen und ich einen Meteoriten beobachten:
Im Punkte misst durch Rückdatierung, dass der Meteorit zur Zeit in und er in gewesen sind.
In dem durch gegebenen Zeitpunkt bestimmt die Geschwindigkeit des Meteoriten durch
(5.484) |
Damit berechnet man mit dem Sinussatz
(5.485) |
Die relativistische Summe zweier Geschwindigkeiten ist
ein Wert, der um kleiner ist als bei der klassischen Addition von Geschwindigkeiten. |
Es gibt die folgenden Spezialfälle:
Aus den Spezialfällen lernt man
Drei Beispiele:
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 845])
Das folgende Gedankenexperiment soll zur Ableitung des Messverfahrens für relativistische Beschleunigungen dienen.
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 1176]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 846])
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Von dem Startturm aus werden zwei identische Raketen in kurzer Zeit auf die Geschwindigkeit oder beschleunigt. Wir betrachten die Situation nach der Beschleunigung. Im Ruhesystem des Startturms ist klar, dass der Schwerpunkt am Ort bleibt, da wir eine bezüglich des Startturms symmetrische Situation haben.
Für den Reisenden in der Rakete sieht die Situation so aus:
Für den Reisenden in der Rakete sieht die Situation so aus:
Daraus würden und mit klassischer Mechanik gegenseitig schliessen, dass der Schwerpunkt des Systems sich vom Startturm wegbewegt.
Nach dem 1. Einsteinschen Postulat muss die Beschreibung sowohl für das Ruhesystem des Startturms wie auch für (und für B) konsistent sein. Der Schwerpunkt S kann sich nur dann für immer über dem Startturm befinden, wenn die Masse von , , zunimmt. Der Abstand (für grosse Zeiten) von zum Startturm im Bezugssystem von geht wie
(5.489) |
Der Abstand des Startturms von ist in dessen Bezugssystem . Wir können uns auch vorstellen, dass wir das System aus den beiden Raketen am Schwerpunkt unterstützen, die Situation ist analog zu einer Balkenwaage. Bezüglich des Schwerpunktes muss die Summe aller Drehmomente null sein. Dies geht offensichtlich nur, wenn die Masse von , nicht konstant, sondern von der Geschwindigkeit abhängt. Also ist
(5.490) |
Wir erhalten deshalb
(5.491) |
Diese Gleichung sollte nun mit ausgedrückt werden. Wir verwenden den Trick, dass
ist1. Dann ist
(5.492) |
Nun ist aber mit der Gleichung (5.67) für gerade und damit
(5.493) |
Der Rechenweg mit dem Startturm diente dazu, eine Markierung für den Schwerpunkt zu haben. Der Startturm ist eine Hilfskonstruktion.
Die zu einem Inertialsystem mit der Geschwindigkeit bewegte Masse ist immer schwerer als eine im Inertialsystem ruhende Masse.
|
Beispiel:
Ein Mensch, bewege sich mit . Die relativistische Massenzunahme ist dann
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 1176]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 847])
Nach Gleichung (5.73) wird die Arbeit (Kraft mal Weg), die in eine Masse gesteckt wurde, nicht nur zur Erhöhung der Geschwindigkeit, sondern auch zur Erhöhung der Masse verwendet. Wir können Gleichung (5.73) für kleine Geschwindigkeiten entwickeln
(5.496) |
Diese Gleichung könnte man auch als
(5.497) |
schreiben.
Nach der relativistischen Mechanik entspricht einer (geschwindigkeitsabhängigen)
Masse die Energie
. |
Die relativistische kinetische Energie ist
Der relativistische Impuls ist analog zum klassischen Impuls definiert:
|
Die relativistische Kraft ist analog zum 2. Newtonschen Gesetz durch
(5.501) |
gegeben.
Die Gesamtenergie kann wie folgt umgeformt werden
(5.502) |
Dieses Resultat nennt man den relativistischen Energiesatz
Wir betrachten eine Masse , die mit einer konstanten Kraft beschleunigt werde. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz ist
(5.504) |
Daraus berechnet man skalar
(5.505) |
(5.506) | ||
(5.507) |
Daraus folgt
(5.509) |
Zeitverlauf der
relativistischen Geschwindigkeit (links) und der relativistischen
Beschleunigung bei konstanter Kraft.
|
Die folgenden Approximationen können gemacht werden:
(5.510) |
Für die Beschleunigung erhalten wir die Approximationen
(5.511) |
Sowohl bei der Geschwindigkeit wie auch bei der Beschleunigung ist der klassische Newtonsche Bereich.
Der Impuls selber nimmt linear mit der Zeit zu, unabhängig, ob eine relativistische oder eine klassische Betrachtung durchgeführt wird. Im klassischen Fall beruht die Impulszunahme auf der Zunahme der Geschwindigkeit, im relativistischen Fall auf der Zunahme der Masse.
Die kinetische Energie ist durch Gleichung (5.78) gegeben. Setzen wir Gleichung (5.87) ( ) mit , so erhalten wir
(5.512) |
oder
(5.513) |
Verlauf der kinetischen Energie bei konstanter
Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.
|
Die Approximation ergibt
(5.514) |
Die kinetische Energie nimmt im relativistischen Falle nur linear mit der Zeit zu.
Mit Gleichung (5.87) kann auch die Distanz als Funktion der Zeit berechnet werden. Wir integrieren
(5.515) |
Wir substituieren und bemerken, dass ist, oder auch .
(5.516) |
Verlauf der zurückgelegten Distanz bei konstanter
Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.
|
Wir können wieder approximieren
(5.517) |
Die weitere Rechnung zeigt, dass die relativistische Eigenzeit sich in der beschleunigten Masse langsamer bewegt.
Wir verwenden Gleichung Gleichung (5.87) und haben dann
Mit
(5.518) |
bekommt man
|
Wir kehren Gleichung (5.98) um und erhalten
und setzen dies in den Weg ein.
(5.520) |
Zurückgelegte Strecke als Funktion der Eigenzeit.
|
Link zur Vorlesung:(Lorentz-Transformation) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 1157]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 853])
Die im vorherigen Abschnitt besprochenen Transformationen der Zeit und der Länge lassen sich in der sogenannten Lorentz-Transformation zusammenfassen.
Beschreibung eines Punktereignisses in zwei gegeneinander
bewegten Bezugssystemen
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Das Punktereignis soll im gestrichenen Koordinatensystem () sowie im ungestrichenen Koordinatensystem () ausgemessen werden.
Wenn wir die obigen Beobachtungen zusammenfassen, erhalten wir
Wir rechnen nun nicht mehr mit sondern mit der Zeit direkt und erhalten die Lorentz-Transformation.
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Die Lorentz-Transformation kann auch in Matrix-Schreibweise dargestellt werden:
(5.523) |
Lorentztransformation als Drehung
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Wir erproben, was wäre, wenn wir die Lorentz-Transformation als Drehung auffassen würden. Die -Achse würde positiv (im Gegenuhrzeigersinn) um gedreht, die -Achse würde negativ (im Uhrzeigersinn) um den gleichen Winkel gedreht.
Wir verwenden die Definition sowie und .
Dann ist
(5.524) |
Eingesetzt, würde man eine Transformation erhalten, die formal wie die Lorentztransformation aussieht, die aber unter der Wurzel ein -Zeichen anstelle des geforderten -Zeichens besitzt. Die Drehgleichungen wären dann
(5.525) |
oder
Diese Rotation sieht unserer Lorentz-Transformation sehr ähnlich. Die Vorzeichen unter den Wurzeln beim Cosinus und beim Sinus sowie bei der Gleichung für stimmen nicht.
Wenn man jedoch nicht als Zeitachse verwendet, sondern , wobei die imaginäre Einheit ist, bekommt man mit den obigen Drehgleichungen die Lorentz-Transformation. Dabei müssen alle Vorkommnisse von durch ersetzt werden.
Wir erhalten also
Der Vergleich mit Gleichung (5.100) zeigt, dass dies die Lorentztransformation ist. In einem Raum mit den Koordinaten ist die Lorentz-Transformation nichts anderes als eine Rotation des Koordinatensystems.
Der so gemessene Abstand ist relativistisch invariant. |
Bei einer dreidimensionalen Betrachtung wird nur die der Geschwindigkeit parallele Raumkomponenten relativistisch verändert. Mit der dreidimensionalen Geschwindigkeit
bekommen wir
Lorentz-Transformation
|
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Weltlinie beim Zwillingsparadoxon
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Wir nehmen an, dass sich mit der Geschwindigkeit bewegt. s Eigenzeit ist
Für ist die gesamte Reisezeit
Für dauert die Reise
Von aus gesehen ist jünger nach der Reise als . Das Paradox ist: Für bewegt sich , warum ist nicht jünger als B?
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Test: und senden regelmässig Signale. Wir nehmen an, dass die Reise weit geht. Die gesamte Reise soll dauern. Die Reisegeschwindigkeit muss also sein. Dann ist die Zeit für den Reisenden .
A sendet einmal pro Jahr ein Signal ( ) aus, genauso wie . misst auf dem Hinweg die Frequenz (Dopplereffekt) , also zwei Signale auf der ganzen Hinreise. Auf dem Rückweg mist wegen dem Dopplereffekt die Frequenz , also 18 Signale. Zusammen misst B auf der ganzen Reise 20 Signale.
B sendet genauso Signale mit der Frequenz aus. misst auf s Hinweg wegen dem Dopplereffekt Signale mit der Frequenz . Während 18 Jahren misst er also total 6 Signale. Auf dem Rückweg von misst Signale mit der Frequenz . Während 2 Jahren misst total 6 Signale. Warum ist jünger? befindet sich während seiner Reise in 2 Inertialsystemen, nur in einem.
Othmar Marti