Grundbegriffe

Definition

Definition: ein Körper ist starr, wenn $r_{ij}$ für beliebige $i's$ und $j's$ jederzeit konstant ist.

Masse und Dichte

Die Massendichte (auch kurz Dichte genannt) ist definiert durch

$$\rho\left( \vec{r}\right) =\rho_m\left( \vec{r}\right) =\lim_{\Delta V\rightarrow 0} \frac{\Delta m\left( \vec{r}\right) }{\Delta V}$$ (6.526)

Die gesamte Masse ist

$$m=\iiint\limits_{V}\rho\left( \vec{r}\right) dV=\iiint\limits_V\rho\left( x,y,z\right) dxdydz$$ (6.527)

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt $S$ eines starren Körpers hat bezüglich dieses Körpers eine fest Lage. Ein Körper kann in einem homogenen Kraftfeld an seinem Schwerpunkt gestützt werden, und er is tim Gleichgewicht. Der Schwerpunkt ist gegeben durch

$$\vec{r}_{S}=\frac{1}{m}\int\limits_{V}\vec{r}dm=\frac{1}{m}\int\l... ...rho\left( \vec{r}\right) dV=\frac{\int\limits_{V} \vec{r}dm}{\int\limits_{V}dm}$$ (6.528)

d.h. der Ortsvektor $\vec{r}_S$ des Schwerpunktes ist das mit der Dichte gewichtete Mittel aller Ortsvektoren des betrachteten starren Körpers.

Schwerpunktsystem

Im Laborsystem gilt

$$\iiint\limits_{V}\vec{r}dm=m\vec{r}_{s}$$ (6.529)

Daraus folgt mit $\vec{r}= \vec{r}_S+\vec{r}'$, dass

$$\iiint\limits_{V}\vec{r}dm=\iiint\limits_{V}\left(\vec{r}_S+\vec{r}'\right)dm=\vec{r}_S\iiint\limits_{V}dm+\iiint\limits_{V}\vec{r}'dm$$

$$\iiint\limits_V \vec{r'}dm = 0$$ (6.530)

d.h. im Schwerpunktsystem liegt $S$ am Koordinatenursprung.

Drehungen des starren Körpers

Koordinatensystem zur Berechnung der Rotation eines starren Körpers

Wir betrachten 2 Koordinatensysteme, beide mit dem Ursprung im Schwerpunkt S. $x^*$,$y^*$   ,$z^*$ ist das raumfeste Koordinatensystem, d.h. es dreht sich nicht mit dem Körper mit. $x$,$y$,$z$: ist ein körperfestes Koordinatensystem, das sich mit dem Körper mitdreht. Die Koordinatensysteme werden durch die Einheitsvektoren $\vec{e}_{x}^*$,$\vec{e}_{y}^*$,$\vec{e}_{z}^*$ und $\vec{e}_{x}$,$\vec{e}_{y}$,$\vec{e}_{z}$ beschrieben.

Also ist

$$\vec{r}\left( t\right) =x^*\left( t\right) \vec{e}_{x}^*+y^*\left( t\right) \vec{e}_{y}^*+z^*\left( t\right) \vec{e}_{z}^*$$

$$= x\vec{e}_{x}\left( t\right) +y\vec{e}_{y}\left( t\right) +z\vec{e}_{z}\left( t\right)$$ (6.531)

$\vec{e}_{x}^*$,$\vec{e}_{y}^*$,$\vec{e}_{z}^*:$ sind zeitunabhängige Basisvektoren, $\vec{e}_{x}$,$\vec{e}_{y}$,$\vec{e}_{z}^*:$ sind zeitabhängige Basisvektoren.

Eulersche Winkel *

Das Koordinatensystem $\vec{e}_{x}$,$\vec{e}_{y}$,$\vec{e}_{z}$ geht durch drei Drehungen aus dem Koordinatensystem $\vec{e}_{x}^*$,$\vec{e}_{y}^*$,$\vec{e}_{z}^*$ hervor.

Definition der Eulerschen Winkel

Die Eulerschen Winkel sind

1. Drehung um $\vec{e}_{z}^*:\alpha$
2. Drehung um $0A:\beta$
3. Drehung um $\vec{e}_{z}^*:\gamma$

$\overline{0A}$ steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch $\vec{e}_{z}$ und $\vec{e}_{z}^*$.

Die Reihenfolge der Drehungen ist

1. Drehung: Bringe $\vec{e}_{x}^*$senkrecht zu $\vec{e}_{z}$ (In der Abbildung 6.1.4.1 zeigen die Kreise die Ebenen senkrecht zu $\vec{e}_z^*$ und senkrecht zu $\vec{e}_z$ Die Schnittlinie der beiden Kreise ist $\overline{0A}$.
2. Drehung: Bringe $z$-Achse in richtige Lage
3. Drehung: Bringe $x$,$y$-Achsen in die richtige Lage.

Versuch zur Vorlesung: Nichtkommutativität von Drehungen (Versuchskarte M-108)

Die Beziehungen zwischen dem ungesternten und dem gesternten Koordinatensystem können mit einer Matrix formuliert werden:

$$x^* =R_{11}x+R_{12}y+R_{13}z$$

$$y^* =R_{21}x+R_{22}y+R_{23}z$$

$$z^* =R_{31}x+R_{32}y+R_{33}z$$ (6.532)

und

$$x =R_{11}x^*+R_{21}y^* +R_{31}z^*$$

$$y =R_{12}x^*+R_{22}y^* +R_{32}z^*$$

$$z =R_{13}x^*+R_{23}y^* +R_{33}z^*$$ (6.533)

In Matrixschreibweise haben wir

$$\left( \begin{array}[c]{c} x^* y^* z^* \end{array} \right) ... ... \end{array} \right) \left( \begin{array}[c]{c} x y z \end{array} \right)$$ (6.534)

und

$$\left( \begin{array}[c]{c} x y z \end{array} \right) =\left... ...array} \right) \left( \begin{array}[c]{c} x^* y^* z^* \end{array} \right)$$ (6.535)

Wir haben hier behauptet, dass die Transformationsmatrix

$$T = \left( \begin{array}[c]{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} R_{21} & R_{22} & R_{23} R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{array} \right)$$ (6.536)

und die inverse Transformationsmatrix

$$T^{-1} = \left(\begin{array}[c]{ccc} R_{11} & R_{21} & R_{31} R_{12} & R_{22} & R_{32} R_{13} & R_{23} & R_{33} \end{array} \right)$$ (6.537)

durch

$$T^{T}=T^{-1}$$ (6.538)

verbunden sind. Dabei ist $T^{T}$ die transponierte Matrix (an der Hauptdiagonale gespiegelt) und $T^{-1}$ die inverse Matrix.

In Matrixschreibweise haben wir

$$\vec{x}^* = T \vec{x}$$

$$\vec{x} = T^{-1}\vec{x}^* = T^T\vec{x}^*$$

Die Matrix $T$ berechnet sich aus dem Matrixprodukt der drei Drehmatrizen. Dabei betrachten wir die Transformation aus dem ortsfesten System ins mitbewegte System, also die Matrix $T^{-1}= T^T$.

Wir betrachten die die $xy$-Ebene von der $z$-Achse aus

Dann ist

$$x^* = a-b = x\cos\alpha-y\sin\alpha$$

$$y^* = c+d = x\sin\alpha+y\cos\alpha$$

und

$$x = a+b = x^*\cos\alpha+y^*\sin\alpha$$

$$y = -c+d = -x^*\sin\alpha+y^*\cos\alpha$$

Die Drehungen um die $x$ folgt analog. Dann sind die Drehmatrizen gegeben durch

$$R_{\vec{e}_z^*}(\alpha) = \left( \begin{array}{ccc} \cos\alpha & \sin\alpha & 0 -\sin\alpha & \cos\alpha & 0 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \alpha \vec{e}_z^*$$ (6.539)

$$R_{\vec{e}_{\overline{0A}}}(\beta) = \left( \begin{array}{ccc} 1& 0 & 0 0 & \cos\beta & \sin\beta 0 & -\sin\beta & \cos\beta \end{array} \right) \beta \overline{0A}$$ (6.540)

$$R_{\vec{e}_z}(\gamma) = \left( \begin{array}{ccc} \cos\gamma & \sin\gamma & 0 -\sin\gamma & \cos\gamma & 0 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \gamma \vec{e}_z$$ (6.541)

Dann ist

$$T^T = T^{-1} = R_{\vec{e}_z}(\gamma)R_{\vec{e}_{\overline{0A}}}(\beta)R_{\vec{e}_z^*}(\alpha)$$ (6.542)

wobei die Multiplikation von rechts durchzuführen ist. Das Resultat ist

$$T^T = \left( \begin{array}{ccc} -\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma+\c... ... \sin\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha & \cos\beta \end{array} \right)$$ (6.543)

und damit

$$T = \left( \begin{array}{ccc} -\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma+\cos... ... \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma & \cos\beta \end{array} \right)$$ (6.544)

oder

$R_{ik}$	$k=1$		$k=2$		$k=3$
$i=1$	$-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma$		$-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma-\cos\alpha\sin\gamma$		$\sin\beta\sin\alpha$
$i=2$	$\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma+\sin\alpha\cos\gamma$		$\cos\beta\cos\alpha \cos\gamma-\sin\alpha \sin\gamma$		$-\sin\beta\cos\alpha$
$i=3$	$\sin\beta\sin\gamma$		$\sin\beta\cos\gamma$		$\cos\beta$

Form der Transformationsmatrix $T$

Beim einem allgemeinen rotierenden starren Körper sind die Eulerwinkel im Allgemeinen zeitabhängig!

Freiheitsgrade der Bewegungen

Die Lage eines starren Körpers ist gegeben durch

• Lage des Schwerpunktes $x_{S}$,$y_{S}$,$z_{S}$. Dies entspricht $3$ Freiheitsgraden der Translation
• die Eulerwinkel $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Dies entspricht $3$ Freiheitsgraden der Rotation