Definition: ein Körper ist starr, wenn für beliebige und jederzeit
konstant ist.
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Die Massendichte (auch kurz Dichte genannt) ist definiert durch
(6.526) |
(6.527) |
Der Schwerpunkt eines starren Körpers hat bezüglich dieses Körpers eine fest Lage. Ein Körper kann in einem homogenen Kraftfeld an seinem Schwerpunkt gestützt werden, und er is tim Gleichgewicht. Der Schwerpunkt ist gegeben durch
(6.528) |
Schwerpunktsystem
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Im Laborsystem gilt
(6.529) |
(6.530) |
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Wir betrachten 2 Koordinatensysteme, beide mit dem Ursprung im Schwerpunkt S. , , ist das raumfeste Koordinatensystem, d.h. es dreht sich nicht mit dem Körper mit. ,,: ist ein körperfestes Koordinatensystem, das sich mit dem Körper mitdreht. Die Koordinatensysteme werden durch die Einheitsvektoren ,, und ,, beschrieben.
Also ist
(6.531) |
,, sind zeitunabhängige Basisvektoren, ,, sind zeitabhängige Basisvektoren.
Das Koordinatensystem ,, geht durch drei Drehungen aus dem Koordinatensystem ,, hervor.
Definition der Eulerschen Winkel
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Die Eulerschen Winkel sind
steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch und .
Die Reihenfolge der Drehungen ist
Versuch zur Vorlesung: Nichtkommutativität von Drehungen (Versuchskarte M-108) |
Die Beziehungen zwischen dem ungesternten und dem gesternten Koordinatensystem können mit einer Matrix formuliert werden:
(6.532) |
und
(6.533) |
In Matrixschreibweise haben wir
(6.534) |
und
(6.535) |
Wir haben hier behauptet, dass die Transformationsmatrix
(6.536) |
und die inverse Transformationsmatrix
(6.537) |
durch
(6.538) |
verbunden sind. Dabei ist die transponierte Matrix (an der Hauptdiagonale gespiegelt) und die inverse Matrix.
In Matrixschreibweise haben wir
Die Matrix berechnet sich aus dem Matrixprodukt der drei Drehmatrizen. Dabei betrachten wir die Transformation aus dem ortsfesten System ins mitbewegte System, also die Matrix .
Wir betrachten die die -Ebene von der -Achse aus
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Dann ist
und
Die Drehungen um die folgt analog. Dann sind die Drehmatrizen gegeben durch
Drehung um um die -Achse | (6.539) | ||
Drehung um um die | (6.540) | ||
Drehung um um die -Achse | (6.541) |
Dann ist
(6.542) |
wobei die Multiplikation von rechts durchzuführen ist. Das Resultat ist
(6.543) |
(6.544) |
oder
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Beim einem allgemeinen rotierenden starren Körper sind die Eulerwinkel im Allgemeinen zeitabhängig!
Die Lage eines starren Körpers ist gegeben durch
Othmar Marti