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Ein starrer Rotator wird mit einem körperfesten Koordinatensystem beschrieben.
Die Winkelgeschwindigkeit wird durch einen Vektor beschrieben. Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit, gibt mal die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde an, die Richtung des Geschwindigkeitsvektors die Richtung der Drehachse, wobei der Daumen der rechten Hand zur Spitze des Vektors zeigt und die Finger die Drehrichtung angeben.
(6.548) |
Dabei ist der momentane Drehwinkel. heisst die momentane Winkelgeschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit des Massenpunktes am Ort ist
(6.549) |
Jedes Massenelement hat eine kinetische Energie
Dann ist die kinetische Energie eines rotierenden Körpers gegeben durch
(6.550) |
Beweis: Wir beginnen mit der Vektoridentität
(6.551) |
mit
(6.552) |
(6.553) |
(6.554) |
Also ist
(6.555) |
Für ein Massenelement ist die kinetische Energie im Laborsystem
(6.556) |
da ist. Die kinetische Energie aller Massenpunkte ist dann
(6.557) |
Versuch zur Vorlesung: Stangen (Versuchskarte M-180) |
Der Satz von Steiner erlaubt einem, das Trägheitsmoment für eine beliebige Achse zu berechnen, wenn das Trägheitsmoment bezüglich einer dazu parallelen Achse durch den Schwerpunkt bekannt ist.
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Versuch zur Vorlesung: Satz von Steiner (Versuchskarte M-038) |
Behauptung
Es gilt der Satz von Steiner
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Beweis: Wir berechnen die kinetische Energie eines Massenelements . Es ist .
Der Mischterm kann umgeschrieben werden
Ein Ortsvektor im Schwerpunktsystem ist
Also ist auch
Nun ist aber im Schwerpunktsystem
Also ist der Term .
Damit wird die kinetische Energie
(6.559) |
Einige Trägheitsmomente für eine Achse durch den Schwerpunkt sind:
(6.560) |
(6.562) |
Als Anwendung betrachten wir eine schiefe Ebene hinunterrollende Walze. Wir machen eine Energiebetrachtung.
Rollende Walze
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Versuch zur Vorlesung: Trägheitsmoment (Versuchskarte M-052) |
Also folgt für die Endgeschwindigkeit
(6.563) |
Ein Hohlzylinder rollt also langsamer eine schiefe Ebene hinunter wie ein Vollzylinder mit gleicher Masse und gleichem Durchmesser. Beide sind langsamer als eine Punktmasse.
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Berechnung des Drehimpulses
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Analog zum Translations-Impuls eines Massenpunkts gilt für einen Massenpunkt
(6.564) |
Damit gilt für den ganzen Körper
(6.565) |
Die kinetische Energie eines Körpers mit dem Drehimpuls ist
(6.566) |
Beweis:
(6.567) |
Wir verwenden das Spatprodukt und setzen , und . Dann ist und damit
wobei wir die Definition des Drehimpulses verwendet haben.
Bemerkung:
Der Drehimpuls muss nicht parallel zur Drehachse sein. Wir betrachten den
Drehimpuls
bezüglich eines Punktes 0 auf der Drehachse.
Aufspaltung des Drehimpulses in eine Parallel- und eine
Senkrechtkomponente
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Sei . Dann kann der Drehimpuls in eine Komponente parallel zur Drehachse und eine senkrecht dazu aufgespalten werden, also
(6.569) |
Es gilt
(6.570) |
Dabei ist die Komponente des Ortsvektors parallel zur Drehachse im körperfesten Koordinatensystem.
Beweis. Wir verwenden die Vektoridentität .
(6.571) |
Da und ist.
Die Dynamik des starren Rotators bezüglich des Lagers 0 ist durch den Drallsatz gegeben.
(6.572) |
Dabei ist das Drehmoment bezüglich des Lagers 0. Bei einer gleichförmigen Rotation ist i.a. nicht konstant. Es gilt
(6.573) |
Beweis:
(6.574) |
da ist.
Versuch zur Vorlesung: Drehimpulserhaltung (Versuchskarte M-072) |
Die Dyname auf das Drehlager im Punkt 0 ist bei einem
Rotator ohne äussere Kräfte oder Momente
(6.575) |
wegen dem Impulssatz. Das dazugehörige Drehmoment ist
(6.576) |
Dabei ist der Ortsvektor des Schwerpunktes. Wir haben also eine zeitlich veränderliche Dyname.
Versuch zur Vorlesung: Kräfte auf Lager (Versuchskarte M-080) |
Wir legen ein äusseres Drehmoment an.Dann ist
(6.577) |
(6.578) |
(6.579) |
Wirkt ein konstantes äusseres Drehmoment so gilt
(6.580) |
oder
(6.581) |
und
Beispiel: rollender Zylinder
Rollender Zylinder
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ist die momentane Drehachse des Zylinders (Warum ist die Drehachse die Auflagelinie?). Nach dem Satz von Steiner ist
Also ist
Die Translationsbeschleunigung des Schwerpunktes ist
(6.583) |
Beispiel:
Kippen eines starren Körpers
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Versuch zur Vorlesung: Knickbruch (Versuchskarte M-171) |
Hier ist für kleine Auslenkungen und nicht bei beim Pendel . Die Drehmomentengleichung lautet
(6.584) |
Sie hat die Lösungen
(6.585) |
Wenn zu Beginn der Bewegung ist (Anfangsbedingung) ist die Lösung
(6.586) |
Beispiel:
Kippender Kamin
Das Trägheitsmoment eines Kamins, der um seinen Fuss rotiert, ist
(6.587) |
(6.588) |
Daraus folgt für den Betrag der Drehfrequenz
(6.589) |
Othmar Marti