Geschwindigkeiten

Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten

$$\vec{r}= \begin{pmatrix}x y z \end{pmatrix} =x\vec{e}_{x}+y\vec{e}_{y}+z\vec{e}_{z}$$ (H..961)

der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann

$$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}= \begin{pmatrix}\frac{dx}{dt} \fra... ...\dot{z} \end{pmatrix} =\dot{x}\vec{e}_{x}+\dot{y}\vec{e}_{y}+\dot{z}\vec{e}_{z}$$ (H..962)

Wir verwenden die Beziehungen

$$x =r\sin(\theta)\cos(\phi)$$ (H..963)

$$y =r\sin(\theta)\sin(\phi)$$ (H..964)

$$z =r\cos(\theta)$$ (H..965)

und leiten sie ab. Wir erhalten

$$\dot{x} =\dot{r}\sin(\theta)\cos(\phi)+r\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta }-r\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}$$ (H..966)

$$\dot{y} =\dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\cos(\theta)\sin(\phi)\dot{\theta }+r\sin(\theta)\cos(\phi)\dot{\phi}$$ (H..967)

$$\dot{z} =\dot{r}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\dot{\theta}$$ (H..968)

Wir setzen in die Gleichung H.12 die Gleichungen H.8, H.9, H.10, H.16, H.17 und H.18 ein und ordnen nach $\vec{e}_{r}$, $\vec{e}_{\theta}$ und $\vec{e}_{\phi}$.

$$\vec{v}= \dot{x}\vec{e}_{x}+\dot{y}\vec{e}_{y}+\dot{z}\vec{e}_{z}$$ (H..969)

$$= \dot{x}\left[ \sin(\theta)\cos(\phi)\vec{e}_{r}+\cos(\theta)\cos(\phi )\vec{e}_{\theta}-\sin(\phi)\vec{e}_{\phi}\right]$$

$$+\dot{y}\left[ \sin(\theta)\sin(\phi)\vec{e}_{r}+\cos(\theta)\sin(\phi )\vec{e}_{\theta}+\cos(\phi)\vec{e}_{\phi}\right]$$

$$+\dot{z}\left[ \cos(\theta)\vec{e}_{r}-\sin(\theta)\vec{e}_{\theta}\right]$$

$$= \left[ \dot{x}\sin(\theta)\cos(\phi)+\dot{y}\sin(\theta)\sin(\phi)+\dot {z}\cos(\theta)\right] \vec{e}_{r}$$

$$+\left[ \dot{x}\cos(\theta)\cos(\phi)+\dot{y}\cos(\theta)\sin(\phi)-\dot {z}\sin(\theta)\right] \vec{e}_{\theta}$$

$$+\left[ -\dot{x}\sin(\phi)+\dot{y}\cos(\phi)\right] \vec{e}_{\phi }$$

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten $\vec{e}_{r}$, $\vec{e}_{\theta}$ und $\vec{e}_{\phi}$ getrennt. Wir beginnen mit $\vec{e}_{r}$.

$$v_{r} = \dot{x}\sin(\theta)\cos(\phi)+\dot{y}\sin(\theta)\sin(\phi)+\dot {z}\cos(\theta)$$ (H..970)

$$= \left[ \dot{r}\sin(\theta)\cos(\phi)+r\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta }-r\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}\right] \sin(\theta)\cos(\phi)$$

$$+\left[ \dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\cos(\theta)\sin(\phi)\dot{\theta }+r\sin(\theta)\cos(\phi)\dot{\phi}\right] \sin(\theta)\sin(\phi)$$

$$+\left[ \dot{r}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\dot{\theta}\right] \cos (\theta)$$

$$= \dot{r}\left[ \sin(\theta)\cos(\phi)\sin(\theta)\cos(\phi)+\sin (\theta)\sin(\phi)\sin(\theta)\sin(\phi)+\cos(\theta)\cos(\theta)\right]$$

$$+r\dot{\theta}\left[ \cos(\theta)\cos(\phi)\sin(\theta)\cos(\phi )+\cos(\theta)\sin(\phi)\sin(\theta)\sin(\phi)-\sin(\theta)\cos(\theta )\right]$$

$$+r\dot{\phi}\left[ -\sin(\theta)\sin(\phi)\sin(\theta)\cos(\phi )+\sin(\theta)\cos(\phi)\sin(\theta)\sin(\phi)\right]$$

$$= \dot{r}\left[ \sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\theta)\sin^{2} (\phi)+\cos^{2}(\theta)\right]$$

$$+r\dot{\theta}\left[ \cos(\theta)\cos^{2}(\phi)\sin(\theta)+\cos (\theta)\sin^{2}(\phi)\sin(\theta)-\sin(\theta)\cos(\theta)\right]$$

$$+r\dot{\phi}\left[ -\sin^{2}(\theta)\sin(\phi)\cos(\phi)+\sin^{2} (\theta)\sin(\phi)\cos(\phi)\right]$$

$$= \dot{r}\left[ \sin^{2}(\theta)\left( \cos^{2}(\phi)+\sin^{2} (\phi)\right) +\cos^{2}(\theta)\right]$$

$$+r\dot{\theta}\left[ \cos(\theta)\sin(\theta)\left[ \cos^{2}(\phi )+\sin^{2}(\phi)\right] -\sin(\theta)\cos(\theta)\right]$$

$$= \dot{r}\left[ \sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)\right] +r\dot{\theta }\left[ \cos(\theta)\sin(\theta)-\sin(\theta)\cos(\theta)\right]$$

$$= \dot{r}$$

Wir fahren mit $\vec{e}_{\theta}$ weiter.

$$v_{\theta} = \dot{x}\cos(\theta)\cos(\phi)+\dot{y}\cos(\theta)\sin (\phi)-\dot{z}\sin(\theta)$$ (H..971)

$$= \left[ \dot{r}\sin(\theta)\cos(\phi)+r\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta }-r\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}\right] \cos(\theta)\cos(\phi)$$

$$+\left[ \dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\cos(\theta)\sin(\phi)\dot{\theta }+r\sin(\theta)\cos(\phi)\dot{\phi}\right] \cos(\theta)\sin(\phi)$$

$$-\left[ \dot{r}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\dot{\theta}\right] \sin (\theta)$$

$$= \dot{r}\left[ \sin(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi)+\sin (\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\sin(\phi)-\cos(\theta)\sin(\theta)\right]$$

$$+r\dot{\theta}\left[ \cos(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi )+\cos(\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\sin(\phi)+\sin(\theta)\sin(\theta )\right]$$

$$+r\dot{\phi}\left[ -r\sin(\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi )+\sin(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta)\sin(\phi)\right]$$

$$= \dot{r}\left[ \sin(\theta)\cos(\theta)\cos^{2}(\phi)+\sin(\theta )\cos(\theta)\sin^{2}(\phi)-\cos(\theta)\sin(\theta)\right]$$

$$+r\dot{\theta}\left[ \cos^{2}(\theta)\cos^{2}(\phi)+\cos^{2}(\theta )\sin^{2}(\phi)+\sin^{2}(\theta)\right]$$

$$+r\dot{\phi}\left[ -r\sin(\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi )+\sin(\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi)\right]$$

$$= \dot{r}\left[ \sin(\theta)\cos(\theta)-\cos(\theta)\sin(\theta)\right]$$

$$+r\dot{\theta}\left[ \cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)\right]$$

$$= r\dot{\theta}$$

Wir schliessen mit $\vec{e}_{\phi}$.

$$v_{\phi} = -\dot{x}\sin(\phi)+\dot{y}\cos(\phi)$$ (H..972)

$$= -\left[ \dot{r}\sin(\theta)\cos(\phi)+r\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta }-r\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}\right] \sin(\phi)$$

$$+\left[ \dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\cos(\theta)\sin(\phi)\dot{\theta }+r\sin(\theta)\cos(\phi)\dot{\phi}\right] \cos(\phi)$$

$$= \dot{r}\left[ -\sin(\theta)\cos(\phi)\sin(\phi)+\sin(\theta)\sin(\phi )\cos(\phi)\right]$$

$$+r\dot{\theta}\left[ -\cos(\theta)\cos(\phi)\sin(\phi)+\cos(\theta )\sin(\phi)\cos(\phi)\right]$$

$$+r\dot{\phi}\left[ \sin(\theta)\sin(\phi)\sin(\phi)+\sin(\theta)\cos (\phi)\cos(\phi)\right]$$

$$= r\dot{\phi}\left[ \sin(\theta)\sin^{2}(\phi)+\sin(\theta)\cos^{2} (\phi)\right]$$

$$= r\sin(\theta)\dot{\phi}$$

Zusammenfassend haben wir

$$\vec{v}= v_{r}\vec{e}_{r}+v_{\theta}\vec{e}_{\theta}+v_{\phi}\vec{e}_{\phi }$$ (H..973)

$$= \dot{r}\vec{e}_{r}+r\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+r\sin(\theta)\dot{\phi }\vec{e}_{\phi}$$