Unterabschnitte

Kinematik

Frage: Wie bewegt sich ein Körper?

Als Körper verwenden wir Massenpunkte.

Massenpunkte

Definition: Ein Massenpunkt ist ein idealisierter Körper, dessen gesamte Masse $ m$ in einem Punkt vereinigt ist.

Realisierung

Wenn Form und Masse eines Körpers bei der Bewegung keine Rolle spielen, kann dieser Körper für Berechnungen durch einen Massenpunkt ersetzt werden.

Beispiele:

Die Lage eines Massenpunktes wird durch seinen Ort $ x$ angegeben.

Bewegung eines Massenpunktes auf einer Geraden

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Geschwindigkeitsmessung (Versuchskarte M-145)





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-004}
Die Lage des Punktes $ P$ zur Zeit $ t$ ist $ x(t)$.




Oft gibt man für eine Bewegung den Ort als Funktion der Zeit an, als als Fahrplan an.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-005}
Fahrplan. Horizontal ist die Zeit, vertikal die Distanz entlang einer Strecke, hier einer Geraden aufgetragen. Eingezeichnet ist schwarz die Momentangeschwindigkeit $ v(t)$ als Tangente an die Kurve $ x(t)$. und die Durchschnittsgeschwindigkeit $ v_{Durchschnitt})$ von $ t_{anfang}$ bis $ t_{ende}$ in blau.





Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit in einer Dimension

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Massenpunktes ist gegeben durch

$\displaystyle v_{Durchschnitt}=\left<v\right> =\frac{x\left( t_{Ende}\right) -x\left( t_{Anfang}\right) }{t_{Ende}-t_{Anfang}}$ (3.8)


Bemerkung:
Diese Definition gilt nur bei der Bewegung auf einer Geraden.


Beispiel:


Ausflug. Bei einem Ausflug ist man nach der Zeit $ \Delta t$ am Ende wieder bei sich zuhause. Die physikalische Durchschnittsgeschwindigkeit ist dann

$\displaystyle v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0}{\Delta t} = 0$    

Die Autofahrerdefiniton der Geschwindigkeit ist anders:

$\displaystyle \left< v\right> =\frac{1}{T}\int\limits_{t_{anfang}} ^{t_{ende}=t_{anfang}+T}\left\vert v\left( t\right) \right\vert dt$ (3.9)

In der Gleichung (3.2) tritt die Momentangeschwindigkeit auf. Sie ist die Steigung des Graphen zur Zeit $ t$, also Ableitung des Ortes nach der Zeit. Wir können deshalb schreiben

$\displaystyle v\left( t\right) =\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{x\left( t+\Del...
...left( t\right) }{\Delta t}=\frac{dx\left( t\right) }{dt}=\dot{x}\left( t\right)$ (3.10)

Die Momentangeschwindigkeit ist die Tangente an die Ortsfunktion im Fahrplandiagramm.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Geschwindigkeitsmessung einer Pistolenkugel
(Versuchskarte M-13)

Beschleunigung in einer Dimension

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Beschleunigte Bewegung (Versuchskarte M-200)

Die Beschleunigung ist definiert als die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit, also

$\displaystyle a\left( t\right) =\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{v\left( t+\Del...
...a t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}=\overset· {v}=\ddot{x}$ (3.11)





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-006}
Zeitabhängige Beschleunigung.




Es gelten die folgenden Beziehungen:

$\displaystyle x\left( t\right)$ $\displaystyle =x_{0}+\int\limits_{0}^{t}v\left( \tau\right) d\tau=x_{0}+\int\li...
...v_{0}+\int\limits_{0}^{\tau}a\left( \hat{\tau}\right) d\hat{\tau}\right\} d\tau$ (3.12)
$\displaystyle v\left( t\right)$ $\displaystyle =\frac{dx\left( t\right) }{dt}=v_{0} +\int\limits_{0}^{t}a\left( \tau\right) d\tau$ (3.13)
$\displaystyle a\left( t\right)$ $\displaystyle =\frac{dv\left( t\right) }{dt}=\frac{d^{2}x\left( t\right) }{dt^{2}}$ (3.14)


Beispiel:


Freier Fall in Bodennähe (sonst gelten die unten stehenden Gleichungen nicht). Wir verwenden für die Beschleunigung den Betrag des Feldvektors des Gravitationsfeldes, nämlich $ g=9.81m/s^{2}$. Wir haben die Beziehungen:

  $\displaystyle a\left( t\right) =g=9.81m/s^{2}=const.$    
  $\displaystyle v\left( t\right) =v_{0}+\int\limits_{0}^{t}gd\tau =v_{0}+gt$    
  $\displaystyle x\left( t\right) =x_{0}+\int\limits_{0}^{t}v\left( \tau\right) d\...
...nt\limits_{0}^{t}\left( v_{0}+g\tau\right) d\tau=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}gt^{2}$    





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{mechanik-007}
Fahrplan eines geworfenen Balls.




$\displaystyle x$ $\displaystyle =x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}gt^{2}$    

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Anfangsgeschwindigkeit (Versuchskarte M-133)

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm