Erhaltungssätze und Erhaltungsgrössen in einer Dimension

Stoss in einer Dimension

Versuch zur Vorlesung: Impulserhaltung beim Stoss (Versuchskarte M-205)

Wir betrachten den Stoss zweier Massen $m_1$ und $m_2$ auf einer reibungsarmen Luftkissenbahn. Der Stoss soll dabei so vonstatten gehen, dass die beiden Massen nicht verändert werden. Sie sollen also weder deformiert werden, noch soll durch den Stoss sich ihre Temperatur ändern. Wir wollen aber keine Annahme machen über das Massenverhältnis und die Anfangsgeschwindigkeiten, sondern mögliche Gesetze empirisch bestimmen.

Situation der beiden Massen vor dem Stoss (oben) und nach dem Stoss (unten).

Viele Experimente könnten die Messgrössen in Tabelle 3.1ergeben.

$m_1/kg$	$v_1/(m/s)$	$m_2/kg$	$v_2/m/s)$	$v_1'/(m/s)$	$v_2'/(m/s)$
$0.5$	$0.104$	$0.5$	$0.001$	$0.005$	$0.108$
$0.5$	$0.200$	$0.5$	$0.002$	$0.002$	$0.202$
$1$	$0.097$	$0.5$	$0.004$	$0.039$	$0.124$
$1$	$0.201$	$0.5$	$-0.002$	$0.066$	$0.270$
$1$	$0.001$	$0.5$	$0.103$	$0.071$	$-0.036$
$0.5$	$0.100$	$0.5$	$-0.101$	$-0.104$	$0.100$
$0.5$	$0.097$	$0.5$	$-0.198$	$-0.203$	$0.097$
$1$	$0.098$	$0.5$	$-0.002$	$0.035$	$0.136$
$0.5$	$0.196$	$0.5$	$0.096$	$0.093$	$0.192$
$2$	$0.096$	$0.5$	$-0.103$	$0.017$	$0.215$
$5$	$0.101$	$0.5$	$-0.104$	$0.065$	$0.266$
$5$	$0.999$	$0.5$	$-0.100$	$0.802$	$1.896$

Simulierte Messwerte für einen Stoss auf einer Gerade.

Wir suchen nun nach Erhaltungsgrössen, das heisst Messwerte, die alleine oder als Funktion und in Kombination summiert über beide Massen vor dem Stoss und nach dem Stoss gleich sind.

Wir haben in unserem Falle die Geschwindigkeiten $v_i$ und die Massen $m_i$ zur Verfügung. Ein Erhaltungssatz könnte also wie

$$X_{vorher} = \sum\limits_{i=1}^{2} m_i^k v_i^\kappa = X_{nachher} = \sum\limits_{i=1}^{2} m_i^k {v'}_i^\kappa$$ (3.15)

lauten. Welche Werte von $k$ und $\kappa$ zu Gleichungen führen, deren Werte vor und nach dem Stoss erhalten bleiben, kann man nach Emmy Noether aus den Symmetriebeziehungen ableiten. Wir werden hier, unter Berücksichtigung der experimentellen Fehler, unsere Schlüsse aus dem Experiment ziehen.

Impulserhaltung

$\frac{m_1\cdot v_1}{(kgm/s)}$	$\frac{m_2 \cdot v_2}{(kgm/s)}$	$\frac{m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2}{(kgm/s)}$	$\frac{m_1\cdot v_1'}{(kgm/s)}$	$\frac{m_2\cdot v2'}{(kgm/s)}$	$\frac{m_1\cdot v_1'+m_2\cdot v_2'}{(kgm/s)}$
$0.0522$	$0.0009$	$0.0532$	$0.0026$	$0.0540$	$0.0566$
$0.1002$	$0.0010$	$0.1012$	$0.0012$	$0.1014$	$0.1027$
$0.0974$	$0.0024$	$0.0998$	$0.0397$	$0.0622$	$0.102$
$0.2016$	$-0.0011$	$0.2005$	$0.0660$	$0.1351$	$0.2012$
$0.0011$	$0.0516$	$0.0528$	$0.0719$	$-0.0184$	$0.0535$
$0.0502$	$-0.0509$	$-0.0007$	$-0.0521$	$0.0501$	$-0.0019$
$0.0488$	$-0.0993$	$-0.0504$	$-0.1016$	$0.0485$	$-0.0531$
$0.0983$	$-0.0011$	$0.0971$	$0.0356$	$0.0684$	$0.1040$
$0.0981$	$0.0482$	$0.1464$	$0.0466$	$0.0964$	$0.1430$
$0.1934$	$-0.0515$	$0.1418$	$0.0356$	$0.1078$	$0.1435$
$0.5055$	$-0.0520$	$0.4534$	$0.3274$	$0.1331$	$0.4605$
$4.999$	$-0.0502$	$4.9487$	$4.0146$	$0.9484$	$4.9631$

Grösse $m_i\cdot v_i$ aus den Messdaten.

Wir finden zuerst, dass $k=1$ und $\kappa=1$ zu einer Erhaltungsgrösse führt

$$m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1\cdot v_1' + m_2 \cdot v_2'$$ (3.16)

Wir nennen die Grösse

$$p_i = m_i\cdot v_i$$ (3.17)

Impuls.

Allgemein, wenn $n$ Massen involviert sind, gilt

$$\sum\limits_{i=1}^n m_i\cdot v_i = \sum\limits_{i=1}^n m_i\cdot v_i'$$ (3.18)

Das heisst:

In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgrösse.

Für quantenmechanische Rechnungen wie auch in der Wärmelehre und in der statistischen Physik ist der Impuls $p$ die relevante Grösse, nicht die Geschwindigkeit $v$. Auch die klassische Physik kann konsistenter formuliert werden, wenn Impulse und nicht Geschwindigkeiten verwendet werden.

Im Detail besprechen wir die Konsequenzen der Impulserhaltung im Abschnitt 4.4.

Energieerhaltung

$\frac{m_1\cdot v_1^2}{(kgm^2/s^2)}$	$\frac{m_2\cdot v_2^2}{(kgm^2/s^2)}$	$\frac{m_1\cdot v_1^2+m_2\cdot v_2^2}{(kgm^2/s^2)}$	$\frac{m_1\cdot v_1'^2}{(kgm^2/s^2)}$	$\frac{m_2\cdot v_2'^2}{(kgm^2/s^2)}$	$\frac{m_1\cdot v_1'^2+m_2\cdot v_2'^2}{(kgm^2/s^2)}$
$0.0054$	$1.901\cdot 10^{-6}$	$0.0054$	$0.00001$	$0.0058$	$0.0058$
$0.0200$	$2.101\cdot 10^{-6}$	$0.0200$	$3.251\cdot 10^{-6}$	$0.0205$	$0.0205$
$0.0094$	$0.00001$	$0.0094$	$0.0015$	$0.0077$	$0.0093$
$0.0406$	$0.000002$	$0.0406$	$0.0043$	$0.0365$	$0.0409$
$1.322\cdot 10^{-6}$	$0.0053$	$0.0053$	$0.0051$	$0.0006$	$0.0058$
$0.0050$	$0.0051$	$0.0102$	$0.0054$	$0.0050$	$0.01046$
$0.0047$	$0.0197$	$0.0245$	$0.0206$	$0.0047$	$0.0253$
$0.0096$	$2.761\cdot 10^{-6}$	$0.0096$	$0.0012$	$0.0093$	$0.0106$
$0.0192$	$0.0046$	$0.0239$	$0.0043$	$0.0185$	$0.0229$
$0.0187$	$0.0053$	$0.0240$	$0.0006$	$0.0232$	$0.0239$
$0.0511$	$0.0054$	$0.0565$	$0.0214$	$0.0354$	$0.0568$
$4.9980$	$0.0050$	$5.0030$	$3.223$	$1.7991$	$5.0227$

Grösse $m_i\cdot v_i^2$ aus den Messdaten.

Weiter finden wir, dass für $k=1$ und $\kappa=2$ die linke Seite der Gleichung Gleichung (3.8) innerhalb der Fehlergenauigkeit gleich der rechten Seite ist. Damit haben wir eine Erhaltungsgrösse gefunden. Die Erhaltungsgrösse ist

$$m_1\cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2 = m_1\cdot v_1'^2 + m_2 \cdot v_2'^2$$ (3.19)

Wir nennen die Grösse

$$E_{kin\text{,} i} = \frac{1}{2}m_i\cdot v_i^2$$

kinetische Energie.

Den Faktor $\frac{1}{2}$ begründen wir später.

Allgemein gilt

$$\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i\cdot v_i^2 = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i\cdot v_i'^2$$ (3.20)

Das heisst:

In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie eine Erhaltungsgrösse.

Hier ist die Gesamtenergie die kinetische Energie. Im Allgemeinen besteht die Gesamtenergie nicht nur aus der kinetischen Energie, sondern auch aus anderen Energieformen wie der potentiellen Energie, der elektrischen Energie oder der Wärme.

Für mechanische Systeme sind dies die innere Energie $E_i$ und die Lageenergie oder potentielle Energie $E_{pot}$. Die innere Energie ist eine Grösse, die den Energieinhalt im Teilchen angibt. Dies kann die chemische Energie sein, aber auch die relativistische Masseenergie. Wir haben also

$$E = E_{kin}+E_{pot}+E_{innen}=konstant$$ (3.21)

Energieerhaltung gilt für alle Energieformen.

Erhaltungsgrössen bei inelastischen Stössen

Bei inelastischen Stössen werden die beteiligten Massen verändert, sei es, dass die Massen zusammenkleben oder dass sie deformiert werden. In diesem Falle gilt die Impulserhaltung ohne jede Einschränkung. Die Energieerhaltung gilt nur, wenn die sogenannten inneren Energien berücksichtigt werden.

Bei jedem Stoss und in jedem Teilchensystem, ob klassisch berechnet, ob relativistisch oder qunatenmechanisch berechnet gilt die Impulserhaltung.

Damit die Energieerhaltung gilt, muss man in der Regel neben den klassischen mechanischen Energieformen noch weitere Energieformen berücksichtigen.

Stösse auf einer Geraden

Stoss zweier Massen

Impulserhaltung (eindimensionales Problem, also kann man mit Zahlen rechnen)

$$p_{1}+p_{2}=p_{1}'+p_{2}'$$ (3.22)

Stösse heissen elastisch wenn gilt

$$E_{1}+E_{2}=\frac{1}{2}\frac{p_{1}^{2}}{m_{1}}+\frac{1}{2}\frac{p... ...E_{2}'=\frac{1}{2}\frac{ p_{1}^{'2}}{m_{1}}+\frac{1}{2}\frac{p_{2}^{'2}}{m_{2}}$$ (3.23)

Dann kann aus Gleichung (3.15) und Gleichung (3.16) $p_{1}'$ und $p_{2}'$ ausgerechnet werden.

Wir schreiben die Gleichungen um und erhalten

$$p_{1}-p_{1}'=p_{2}'-p_{2}$$ (3.24)

und

$$\frac{1}{m_{1}}\left( p_{1}^{2}-p_{1}^{'2}\right) =\frac{1}{m_{2}} \left( p_{2}^{'2}-p_{2}^{2}\right)$$

Ausmultipliziert bekommen wir

$$\frac{1}{m_{1}}\left( p_{1}+p_{1}'\right) \left( p_{1}-p_{1}'\right) = \frac{1}{m_{2}}\left( p_{2}'+p_{2}\right) \left( p_{2}'-p_{2}\right)$$ (3.25)

$$\frac{1}{m_{1}}\left( p_{1}+p_{1}'\right) = \frac{1}{m_{2}} \left( p_{2}'+p_{2}\right)$$ (3.26)

also gilt für die Relativgeschwindigkeiten

$$v_{1}+v_{1}'=v_{2}+v_{2}'$$

$$v_{1}-v_{2}=v_{2}'-v_{1}'$$ (3.27)

Also ist die Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ( $v_{2}'-v_{1}'$) das Negative der Relativgeschwindigkeit vor dem Stoss ( $v_{1}-v_{2}$).

Das bedeutet, dass bei einer Frontalkollision von einem Auto ( $v_{1}=36km/h=10m/s$) mit einem Fussgänger ( $v_{2}=3.6km/h=1m/s$) die Relativgeschwindigkeit vorher ( $v_{1}-v_{2}=9m/s$) gleich dem negativen der Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ist. Da das Auto aber (siehe unten) nur unwesentlich abgebremst wird, fliegt der Fussgänger nach dem Stoss mit $v_{2}'=19m/s=68.4km/h$ durch die Gegend.

Die Impulse nach dem Stoss sind dann

$$p_{1}' = p_{1}\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}+p_{2}\frac{2m_{1}}{ m_{1}+m_{2}} \notag$$ (3.28)

$$p_{2}' = p_{2}\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}+p_{1}\frac{2m_{2}}{ m_{1}+m_{2}}$$ (3.29)

Es gibt die folgenden Spezialfälle:

• Spezialfall $p_{2}=0$, d.h. Stoss mit einem ruhenden Objekt
  

  $$p_{1}' = p_{1}\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \notag$$ (3.30)

  $$p_{2}' = p_{1}\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$ (3.31)

  
  

• Spezialfall $m_{2}\rightarrow \infty$, d.h. Stoss mit einer schweren Wand
  

  $$p_{1}' = -p_{1} \notag$$ (3.32)

  $$p_{2}' = 2\;p_{1}$$ (3.33)

  
  

• Stoss zweier gleicher Massen $m_{1}=m_{2}=m$
  

  $$p_{1}' = p_{2} \notag$$ (3.34)

  $$p_{2}' = p_{1}$$ (3.35)

  
  

Vollkommen plastischer Stoss

Wir nennen einen Stoss vollkommen plastisch, wenn die beiden Körper nach dem Stoss aneinander kleben, wenn sie quasi zu einer Masse ( $m_{1}+m_{2}=m$) mit einer Geschwindigkeit ( $v_{2}'=v_{1}'=v$) geworden sind. Dann ist

$$\frac{p_{1}'}{m_{1}}=\frac{p_{2}'}{m_{2}}$$ (3.36)

Die Impulserhaltung ergibt dann

$$p_{1}+p_{2} = p_{1}'+p_{2}' \notag$$ (3.37)

$$ = p_{1}'+\frac{m_{2}}{m_{1}}p_{1}' \notag$$ (3.38)

$$ = p_{1}'\left( \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\right) \notag$$ (3.39)

$$ = m_{1}v_{1}'\left( \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\right) \notag$$ (3.40)

$$ = vm \notag$$ (3.41)

$$ = p$$ (3.42)

und damit für die Teilimpulse

$$p_{1}' = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left( p_{1}+p_{2}\right) \notag$$ (3.43)

$$p_{2}' = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left( p_{1}+p_{2}\right)$$ (3.44)

Beim plastischen Stoss ist die Energie nicht erhalten. Wir bezeichnen mit $Q$ die Energie, die in Wärme und Deformation gespeichert wird.

$$E_{kin_{1}}+E_{kin_{2}} = E_{kin}+Q \notag$$ (3.45)

$$\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} = \frac{1}{2}\left( m_{1}+m_{2}\right) v^{2}+Q$$ (3.46)

Für die Endgeschwindigkeit hatten wir $\left( m_{1}+m_{2}\right) v=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$ und damit $v=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{ m_{1}+m_{2}}$. Eingesetzt

$$Q = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}-\frac{m_{1}+m... ...left( m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\right) ^{2}}{\left( m_{1}+m_{2}\right) ^{2}} \notag$$ (3.47)

$$ = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}-\frac{ m_{1}^... ...}{ 2\left( m_{1}+m_{2}\right) }-\frac{m_{1}m_{2}v_{1}v_{2}}{m_{1}+m_{2}} \notag$$ (3.48)

$$ = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}\left( 1-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right... ...ac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) -\frac{ m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}v_{2} \notag$$ (3.49)

$$ = \frac{1}{2}\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}\fr... ...{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}^{2}-\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}v_{2} \notag$$ (3.50)

$$Q = \frac{1}{2}\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left( v_{1}-v_{2}\right) ^{2}$$ (3.51)

Die Grösse $\mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ heisst auch die reduzierte Masse. Mit ihr können Zweikörper-Probleme im Schwerpunktssystem einfacher gelöst werden.