5.3  Bilderzeugung durch Brechung

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Gleich wie mit Spiegeln können Abbildungen mit Linsen durchgeführt werden. Für kleine Winkel gilt sin Θ ≈ Θ. Wir erhalten

(5.1)

β ist der Aussenwinkel von P′CA. Also ist

(5.2)

Θ₁ ist der Aussenwinkel von PAC.

(5.3)

Nach Elimination von Θ₁ folgt

(5.4)

Für kleine Winkel (paraxiale Näherung) gilt, dass α ≈s∕g, β = s∕r und γ = s∕b ist, wobei g die Gegenstandsweite, b die Bildweite und r der Krümmungsradius der Oberfläche ist. Eingesetzt:

(5.5)

Hier sind, im Gegensatz zum sphärischen Spiegel, die reellen Bilder hinter der Grenzfläche.

Nach dem Strahlensatz ist n₁ = n₂. Der Abbildungsmassstab ist also

(5.6)

5.3.1  Dünne Linsen

Wir betrachten eine dünne Linse, das heisst, dass wir die Dicke des Glases vernachlässigen. Die Linsenoberflächen sollen die Krümmungsradien r₁ und r₂ (rechts) haben. r₁ ist der Krümungsradius einer konvexen Oberfläche , aus der Sicht des ankommenden Lichtstrahles) und damit positiv. r₂ ist der Krümmungsradius einer konkaven Grenzfläche (wieder aus der Sicht des ankommenden Lichtstrahles) und damit negativ. Die Linse mit dem Brechungsindex n ist in Luft (Brechungsindex = 1). Ein Gegenstand befindet sich im Abstand g links vor der ersten Ebene, und damit auch im Abstand g vor der Mittelebene. Die Bildweite b₁ aufgrund der ersten Oberfläche nach wird Gleichung (5.5) mit

(5.7)

Das Bild ist virtuell, da das Licht auch noch an der zweiten Grenzfläche gebrochen wird. In unserer Abbildung ist die Bildweite b₁ negativ. Diese Bildweite b₂ ist für die zweite Oberfläche die Gegenstandsweite g₂ = −b₁. Die Abbildungsgleichung dort lautet

(5.8)

Eingesetzt und addiert ergibt sich

wobei wir g = ∞ gesetzt haben. Dann ist b = f die Brennweite. Bei einer symmetrischen Linse ist r₁ = −r₂ = r und damit f = .

Abbildungsgleichung (5.10) Strahlen, die die Linse auf der optischen Achse schneiden, werden nicht abgelenkt. Achsenparallele Strahlen werden im Brennpunkt fokussiert Strahlen aus dem Brennpunkt werden zu achsenparallelen Strahlen.

Zur Berechnung verwenden wir die Abbildungsgleichung

(5.11)

mit der Nebenbedingung

(5.12)

Aus den beiden Gleichungen erhalten wir

(5.13)

Damit bekommen wir

Die Lösung der quadratischen Gleichung ist:

Die Linse wird auf die zwei Positionen eingestellt, in denen eine scharfe Abbildung geschieht. Der Abstand dieser zwei Positionen ist:

(5.16)

Dann ist

(5.17)

Somit ist die Brennweite

(5.18)

Licht breitet sich in einem optisch dichteren Medium langsamer aus als im dünneren. Bei einer Konvexlinse treffen die achsennahen Lichtstrahlen eher auf das Glas als die achsenferneren. Diese überholen deshalb die achsennahen Lichtstrahlen. Im Wellenbild bedeutet dies, dass ebene Wellen zu konzentrisch auf einen Punkt zulaufenden Wellen werden: die Linse fokussiert.

Bei einer Zerstreuungslinse sind die Oberflächen konkav gekrümmt. Die Krümmungsradien sind negativ. Eine Konkavlinse (Zerstreuungslinse) wirkt wie ein Konvexspiegel.

5.3.2  Bildkonstruktion bei Linsen

Bei einer Linse gelten die folgenden Regeln zur Konstruktion der Bilder:

• Achsparallele Strahlen werden in den Fokus fokussiert. Bei Konkavlinsen scheinen die aus achsparallelen Strahlen hervorgegangenen Strahlen aus dem Brennpunkt zu kommen.
• Strahlen, die Die Linse auf ihrer optischen Achse treffen, werden nicht abgelenkt.

Die Konstruktion der Abbildung bei einer Konvexlinse ist in der obigen Abbildung gezeigt. g ist die Gegenstandsweite, b die Bildweite und f die Brennweite. Die Vergrösserung ist:

(5.19)

Die Bildkonstruktion bei einer Konkavlinse verläuft analog zu der bei einer Konvexlinse.

5.3.3  Dicke Linsen

Eine dicke Linse wird wie eine dünne berechnet, mit der Ausnahme, dass alle Messungen von Distanzen von den jeweiligen Hauptebenen aus gemacht werden müssen.

5.3.4  Mehrere Linsen

Bei mehreren Linsen berechnet man aus der Brennweite f₁ und der Gegenstandsweite g₁ die Bildweite b₁. Die Lage des Bildes gibt die Gegenstandsweite g₂ der zweiten Linse. Mit der Brennweite der zweiten Linse f₂ kann das Bild b₂ berechnet werden. Zur Berechnung benötigen wir noch den Abstand der Linsen ℓ. Die Gegenstandsweite der zweiten Linse ist g₂ = ℓ −b₁.

Aus der Abbildungsgleichung erhalten wir

Durch die Kombination der beiden Gleichungen erhalten wir

Diese Gleichung hat eine Divergenz bei (ℓ−f₂)(g₁ −f₁)−f₁g₁ = 0, das heisst bei der Gegenstandsweite

(5.22)

Beispiel

• Die Linse 1 sei bei der Position x₁ = 0 cm, die Linse 2 bei der Position x₂ = 20 cm.
• Die Brennweiten seien f₁ = 5 cm und f₂ = 10 cm
• Der Gegenstand sei bei x_g = −6 cm
• Dann ist g₁ = 6 cm. Daraus folgt mit der Linsengleichung b₁ = 1∕(1∕f₁ − 1∕g₁) = 30 cm
• Es ist also x_b = 30 cm
• Da x₂ = 20 cm ist g₂ = −10 cm
• Damit erhalten wir b₂ = 1∕(1∕f₂ − 1∕g₂) = 1∕(1∕10 cm − 1∕(−10 cm)) = 5 cm