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B.8  Die Diracsche Deltafunktion

Die Diracsche Deltafunktion ist ein nützliches Instrument, um diskrete Ladungsverteilungen, Kräfte, Punktmassen als kontinuierliche Verteilung oder Kraftfelder zu beschreiben.

Wir beginnen, indem wir die Funktion

       {
          1,  für |x| ≤ a;
f(x) =   0a,   sonst.   2
(B.1)

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pict

Darstellung von f(x), wobei a variiert wird.

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In der Abbildung B.8 sieht man, dass mit kleiner werdendem a die Amplitude von f(x) immer grösser wird. Die Fläche unter der Kurve

      ∫∞            a∫∕2 1      x ||a∕2     1( a   (   a))
Af =     f(x)dx =      -dx =  --||    =  -- --−   − --  =  1
     −∞           − a∕2 a      a − a∕2    a  2       2
(B.2)

ist konstant und unabhängig von a. Wir definieren nun die Diracsche Delta-Funktion

δ(x) :=  liam→0f (x)
(B.3)

Damit ist auch

 ∫∞           ∫∞ (        )           a∫∕2
    δ(x)dx =      lim f(x)  dx =  lim      1dx =  lim 1 = 1
                  a→0             a→0      a     a→0
− ∞          − ∞                     −a∕2
(B.4)

Als Anwendung betrachten wir das Integral des Produktes

∫∞
   g(x )δ(x )dx

−∞

wobei g(x) genügend oft (Fragen Sie einen Mathematiker oder lesen die Packungsbeilage oder ein Mathematikbuch) stetig differenzierbar sein soll. Die Taylorreihe von g(x) ist dann

               (       ||   )        n (   n     ||   )
g(x) = g(0)+x   -∂-g(x )||     +...+ x--  -∂--g(x)||    +...
                ∂x     |x=0        n!   ∂xn     |x=0
(B.5)

Dann ergibt das Integral

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Damit ist klar, dass die nützliche Gleichung

 ∞
 ∫
    g(x)δ(x − x0)dx = g (x0 )
−∞
(B.7)

gilt.



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