J.1  Mathematische Beschreibung

Oberflächen werden durch Millersche Indizes (hkl) beschrieben. Abbildung J.1 zeigt ein Beispiel einer Volumennetzebene. Die Millerschen Indizes werden wie folgt bestimmt:

1. Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen a, b, c, bestimmen. Hier sind das 3a, 6b, 2c.
2. Kehrwerte bilden unter Weglassung der des Faktors der jeweiligen Einheitslänge a, b oder c. Hier erhält man
3. Ganze Zahlen bilden. Hier muss ×6 gerechnet werden. Die Millerschen Indizes sind dann (2, 1, 3)

Die in Abbildung J.1 eingezeichnete Ebene ist die (2, 1, 3)-Ebene. Negative Indizes werden mit 2 = −2 angegeben.

Periodische Strukturen auf einer Fläche werden durch Bravais-Netze beschreiben. (Diese sind analog zu den Bravais-Gittern in drei Dimensionen). Der Ort einer Zelle im Netz einer periodischen Oberfläche ist durch

(J.1)

gegeben. Die Vektoren ₁ und ₂ heissen Basisvektoren. Die Zuordnung zu den Indizes "1" und "2" wird durch zwei Konventionen bestimmt. Erstens muss < sein und zweitens muss γ = ∠ ≥ 90^∘ sein. Weiter sollte γ − 90^∘ minimal sein.

J.1.1  Bravais-Netze

Die folgenden Bravais-Netze werden an Oberflächen unterschieden:

1) quadratisch		= γ = 90∘

2) rechteckig		< γ = 90∘

3) schiefwinklig		< γ > 90∘

4) hexagonal		= γ = 120∘ 2 Atome in der Einheitszelle

5) rechtwinklig, zentriert (nicht primitiv)		< γ = 90∘ 2 Atome in der Einheitszelle

Beim schiefwinkligen Gitter (Nummer 3) ist grün eine zweite mögliche Wahl der Einheitsvektoren eingezeichnet. Dabei ist jedoch der Winkel γ kleiner als 90^∘. Deshalb ist diese Wahl der Einheitsvektoren falsch.

Bei den Volumengittern werden aus den Bravais-Gittern die Raumgruppen, indem man die Motive der Einheitszellen betrachtet. Diese können zum Beispiel eine andere Symmetrie als das zugrunde liegende Gitter haben.Bei den Oberflächennetzen führt die Berücksichtigung der Motive in den Einheitszellen zu 17 Flächengruppen.

Anders als bei Netzen in einer Ebene müssen bei Oberflächennetzen alle unter einer Oberflächenzelle liegenden Atome als Basis berücksichtigt werden. Die Basisatome liegen also nicht in einer Ebene. Abbildung J.2 zeigt ein Beispiel.

J.1.2  Überstrukturen, Rekonstruktionen

Als Grundlage zur Beschreibung von Oberflächen dient die hypothetische Oberfläche, die beim Entzweischneiden eines Kristalls entsteht. Die Oberflächenstruktur wird bezogen auf diese hypothetische Oberfläche spezifiziert.

Abbildung J.3 zeigt als Beispiel wie eine Überstruktur entsteht. Wenn man in der quadratischen Anordnung auf der linken Seite jeweils jede 2. Reihe nach links rückt, erhältm man die auf der rechten Seite gezeigte Überstruktur. Wenn wir die das Netz der Überstruktur aufspannenden Basisvektoren ₁ und ₂ nennen, dann können wir schreiben

Die Überstruktur in der Abbildung J.3 rechts ist demnach eine (1 × 2)- Überstruktur oder auch eine (1 × 2)-Rekonstruktion.

Im allgemeinen sind die Vektoren ₁ und ₁ sowie ₂ und ₂ nicht parallel. Der Winkel ∠ kann vom Winkel ∠ verschieden sein.

Gilt ∠ = ∠ so gilt für die Beschreibung der Überstruktur folgendes Rezept:

1. Man bildet und und bestimmt den Winkel γ zwischen den Netzen a_i und b_i.
2. Die Rekonstruktion wird mit

   an. p nach den Millerschen Indizes gibt eine primitive Struktur an, c eine zentrierte Struktur.

Abbildung J.4.:

Struktur einer Si(111)( ×)R30∘-Rekonstruktion.

Abbildung J.4 zeigt als Beispiel eine Si(111)( ×)R30^∘-Rekonstruktion. Wird die Überstruktur durch Fremdatome erzeugt, so werden deren chemische Bezeichnungen hinten angefügt.

Es gibt Rekonstruktionen, die, wenn man auch nichtprimitive Einheitszellen zulässt, auf mehrere Arten bezeichnet werden können. Die Abbildung J.5 zeigt ein Beispiel. Die Rekonstruktion kann wie in der Abbildung links gezeigt, als eine fcc(100)c(2 × 2)-Rekonstruktion oder als fcc(100)p( ×)R45^∘-rekonstruktion bezeichnet werden.

Es gibt Rekonstruktionen, die mit dem obigen Schema nicht zu beschreiben sind. In jedem Falle ist die Matrixschreibweise anwendbar.

(J.4)

oder ausgeschrieben

(J.5)

Die Matrixschreibweise funktioniert auch bei transzendenten Koeffizienten. Die beiden Beispiele illustrieren die Matrixschreibweise.

• Si(110)(2 × 1) ⇒S =
• Si(111)R30^∘ ⇒S =

J.1.2.1. Klassifizierung

1. Alle S_ij sind ganzzahlig. ⇒ Die Überstrukturen sind einfache Strukturen. (∀(m₁,m₂) bezeichnen m₁₁ + m₂₂ gleichartige Gitterplätze bezüglich der Unterlage)
2. Die S_ij sind rational. ⇒ Es gibt Konzidenzstrukturen. Beispielsweise sei b₁ = 1.5a₁. Dann ist jede zweite Zelle bezüglich ihrer Lage zum Wirtsgitter auf einer äquivalenten Position.
3. Die S_ij sind irrational. ⇒ Es liegen inkohärente Strukturen vor. Das heisst dass die Oberflächenstruktur unabhängig von der Struktur der Unterlage ist.

Bemerkungen

• 1. und 2. heissen kommensurable Überstrukturen
• 3. ist eine inkommensurable Überstruktur
• Kommensurable Überstrukturen sind nur eindeutig identifizierbar, wenn die Kohärenzlänge der Untersuchungsmethode grösser als die Periode der Überstruktur ist.
• Kommensurable Überstrukturen mit grösseren Perioden sind von inkommersurablen Strukturen ununterscheidbar.
• Regelmässig gestufte Oberflächen können mit einer zur Beschreibung von Überstrukturen ähnlichen Notation beschrieben werden.