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Unterabschnitte


Bewegung in zwei und drei Dimensionen

Dieser Stoff wurde am 17.10.2001 behandelt
(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 43]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 9])

Vektoren und Vektorrechnung

Dieser Stoff wurde am 17.10.2001 behandelt
(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 47])

Materialien

Graphische Addition

\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/3d-vektoradd.eps}

Vektoraddition


Dieser Stoff wurde am 23.10.2001 behandelt

Materialien

Folien zur Vorlesung am 23. 10. 2001 PDF

Übungsblatt 2 vom 23. 10. 2001 (HTML oder PDF)

Komponentenschreibweise

\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/bewegung-vektorkomponenten.eps}

$\displaystyle A = (A_1,A_2) = \left(\begin{array}{c}A_1  A_2\end{array}\right)$ (3.36)


Länge

$\displaystyle A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ (3.37)

Winkel mit der x-Achse

$\displaystyle \cos(\Theta) = \frac{A_x}{A}$ (3.38)

Einheitsvektoren $ e_x$ in x-Richtung, $ e_y$ in y-Richtung, $ e_z$-in z-Richtung.

$\displaystyle \mathbf{A} = \vec{A}= A_x \vec{e}_x + A_y \vec{e}_y + A_z \vec{e}_z$ (3.39)

Addition

\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/bewegung-vektorkomponenten-addition.eps}



$\displaystyle \vec{A}+ \vec{B}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (A_x \vec{e}_x + A_y \vec{e}_y + A_z \vec{e}_z) + (B_x \vec{e}_x + B_y \vec{e}_y + B_z \vec{e}_z)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (A_x +B_x) \vec{e}_x + (A_y +B_y) \vec{e}_y + (A_z + B_z)\vec{e}_z$ (3.40)

Geschwindigkeitsvektor

$\displaystyle \vec{r}= x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z$ (3.41)

Mittlere Geschwindigkeit

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Bilder/bewegung-vektor-ableitung.eps}


$\displaystyle <\vec{v}> = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ (3.42)

Momentangeschwindigkeit

$\displaystyle \vec{v}= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d \vec{r}}{dt} =\dot {\vec{r}}$ (3.43)

Ableitung in Komponenten


$\displaystyle \vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} =
\...
... 0} \frac{\Delta x \vec{e}_x + \Delta y \vec{e}_y+\Delta z \vec{e}_z}{\Delta t}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\vec{e}_x ...
... t}\vec{e}_y +
\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta t}\vec{e}_z$ (3.44)

also

$\displaystyle \vec{v}= \frac{dx}{dt}\vec{e}_x + \frac{dy}{dt}\vec{e}_y + \frac{dz}{dt}\vec{e}_z$ (3.45)

Analog zur obigen Rechnung erhält man die Beschleunigung aus der Geschwindigkeit.

Mittlere Beschleunigung

$\displaystyle <\vec{a}> = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ (3.46)

Momentanbeschleunigung

$\displaystyle \vec{a}= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d \vec{v}}{dt} =\dot {\vec{v}} = \ddot {\vec{r}}$ (3.47)

oder auch

$\displaystyle \vec{a}= \frac{dv_x}{dt}\vec{e}_x+\frac{dv_y}{dt}\vec{e}_y+\frac{dv_z}{dt}\vec{e}_z$ (3.48)

Relativgeschwindigkeit

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{bilder/bewegung-relativgeschw.eps}


$\displaystyle \vec{v}_{Mensch\;gegen\;Erde} = \vec{v}_{Bus \;gegen \;Erde}+\vec{v}_{Mensch\; gegen\; Bus}$ (3.49)

Materialien

Bsp: Wurfbewegung

Dieser Stoff wurde am 23.10.2001 behandelt
(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 53])

Wurfbewegungen sind zusammengesetzte Bewegungen (Beispiel aus (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 53]) )

Siehe auch Simulation von Walter Fendt Uni Heidelberg oder Uni Würzburg.

\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/bewegung-wurf-anf.eps}


\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/bewegung-wurf-zeit.eps}
Bild aus (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 55]) . Rot ist die horizontale, grün die vertikale Position markiert. Die horizontalen Abstände sind, innerhalb meiner Zeichengenauigkeit, gleich, deuten also auf eine konstante Geschwindigkeit hin.


Beschleunigungen

Sei $ x(t=0) = 0$, $ y(t=0) = 0$, $ v_x(t=0) = v_{x,0}$ und $ v_y(t=0) = v_{y,0}$


$\displaystyle a_y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -g$  
$\displaystyle a_x(t)$ $\displaystyle =$ 0 (3.50)

Geschwindigkeiten


$\displaystyle v_y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -g *t +v_{y,0}$  
$\displaystyle v_x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{x,0}$ (3.51)

Ort


$\displaystyle y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \frac{1}{2}g*t^2 +v_{y,0}*t$  
$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v_{x,0}*t$ (3.52)

Diese Bewegung ist parabelförmig, wie man leicht sieht, wenn man $ x(t)$ nach $ t$ auflöst und einsetzt.

$\displaystyle y(x) = - \frac{1}{2} d \left(\frac{x}{v_{x,0}}\right)^2 + \frac{v_{y,0}}{v_{x,0}} x$ (3.53)

Gleichförmige Kreisbewegung (mit vektorieller Darstellung)

Dieser Stoff wurde am 23.10.2001 behandelt
(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 61]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 16])

Siehe auch Uni Würzburg oder von Walter Fendt.

Kreisförmige Bewegungen gibt es

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Bilder/bewegung_kreis_1.eps}

Schematische Darstellung eines Satelliten


Der Satellit $ \vert\vec{ }v\vert = v$ bewegt sich im Kreis mit dem Radius $ r$. In kleinen Zeiten $ t$ bewegt er sich um $ vt$ in der ursprünglichen Richtung weiter. Er fällt um $ h$. Der Satz des Pythagoras angewandt auf das rechtwinklige Dreieck ergibt

$\displaystyle r^2 + (vt)^2 = (r+h)^2 = r^2 + 2 rh +h^2$ (3.54)

Kleine Zeiten bedeutet, dass $ h \ll r$ ist. Also kann

\begin{displaymath}\begin{array}{cl} &Fallgesetz,\;Weg\;und\;Beschleunigung\  (...
...\frac{v^2}{r} t^2 &\overbrace{= \frac{1}{2} a t^2} \end {array}\end{displaymath} (3.55)

geschrieben werden.

Vergleich

$\displaystyle a_z = \frac{v^2}{r}$ (3.56)

Wenn $ \vec{r}(t) = (r \cos(\omega t),r \sin (\omega t), 0)$ ist ( $ \omega$ heisst Kreisfrequenz und wird benötigt, um aus der Zeit eine als Argument der Winkelfunktion benötigte dimensionslose Grösse zu erzeugen), dann ist

$\displaystyle \vec{v}(t) = \frac{d}{dt}\vec{r}(t) = (- r \omega \sin(\omega t), r \omega \cos(\omega t),0)$ (3.57)

und

$\displaystyle \vec{a}_z(t) = \frac{d}{dt}\vec{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2}\vec{r}(t...
... \omega^2 \cos(\omega t), - r \omega^2 \sin(\omega t),0) = -\omega^2 \vec{r}(t)$ (3.58)

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Bilder/bewegung-kreis-zentripetal.eps}

Zentripetalbewegung. Die durch $ \vec{r}_1,\vec{r}_2$ und durch $ \vec{v}_1,\vec{v}_2$ aufgespannten Dreiecke sind ähnlich


Materialien

Nichtkommutativität endlicher Drehungen

Materialien

Folien zur Vorlesung am 24. 10. 2001 PDF

Dieser Stoff wurde am 24.10.2001 behandelt

\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/bewegung-drehung-endl-1.eps} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Bilder/bewegung-drehung-endl-2.eps}

Beispiel für die Nichtvertauschbarkeit endlicher Drehungen


Die mathematische Darstellung eine Drehung um die z-Achse kann wie folgt hergeleitet werden:

Jeder Vektor $ \vec{A}= \left(\begin{array}{c}A_x\\  A_y\\  A_z\\  \end{array}\right)$ kann als $ \vec{A}= A_x \vec{e}_x + A_y \vec{e}_y + A_z \vec{e}_z$ geschrieben werden. Dabei ist $ \vec{e}_x =
\left(\begin{array}{c}1\\  0\\  0\\  \end{array}\right)$, $ \vec{e}_y =
\left(\begin{array}{c}0\\  1\\  0\\  \end{array}\right)$, und $ \vec{e}_z =
\left(\begin{array}{c}0\\  0\\  1\\  \end{array}\right)$.

Die Funktion $ R_z(\vec{A}, \alpha)$ soll den Vektor $ \vec{A}$ um die z-Achse drehen.

Wenn der Vektor $ \vec{A}$ um die z-Achse gedreht wird, dann ist der gedrehte Vektor $ R_z(\vec{A}, \alpha) = \vec{A}' = \left(\begin{array}{c}f(A_x,A_y, \alpha)\\  g(A_x,A_y, \alpha)\\  A_z\\
\end{array}\right)$. Die z-Komponente wird dabei nicht verändert, die x- und die y-Komponenten sind Funktionen der ursprünglichen x- und y-Komponenten sowie des Winkels.

\includegraphics[width=0.6\textwidth]{Bilder/bewegung-vektor-z.eps}

In der Abbildung links wird gezeigt, wie $ \vec{e}_x$ transformiert wird. Rechts wird $ \vec{e}_y$ transformiert.

Wir erhalten: $ R_z(\vec{e}_x,\alpha) = R_z\left(\left(\begin{array}{c}1\\  0\\  0\\
\end{ar...
...ht)
= \left(\begin{array}{c}\cos\alpha\\  \sin\alpha\\  0\\  \end{array}\right)$.

$ R_z(\vec{e}_y,\alpha) = R_z\left(\left(\begin{array}{c}0\\  1\\  0\\  \end{arr...
...t)
= \left(\begin{array}{c}-\sin\alpha\\  \cos\alpha\\  0\\  \end{array}\right)$.

$ R_z(\vec{e}_x,\alpha) = R_z\left(\left(\begin{array}{c}0\\  0\\  1\\  \end{array}\right),\alpha\right)
= \left(\begin{array}{c}0\\  0\\  1\\  \end{array}\right)$.

Mit $ R_z (\vec{A},\alpha) =R_z(A_x\vec{e}_x + A_y\vec{e}_y +A_z\vec{e}_z,\alpha)=
A...
... A_y \sin\alpha\\  A_x \sin\alpha + A_y\cos\alpha\\  A_z\\
\end{array}\right)$.

Diese letztere Gleichung kann als

$\displaystyle R_z(\vec{A},\alpha) = \vec{A}' = \left(\begin{array}{c}A_x \cos\a...
...\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A_x\\  A_y\\  A_z\\  \end{array}\right)$ (3.59)

Damit kann eine Drehung um die Z-Achse kann als Matrix

$\displaystyle D_z(\alpha) = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0  \sin(\alpha)& \cos(\alpha)&0  0&0&1  \end{array}\right)$ (3.60)

Durch formales ''Rotieren'' der Koordinaten $ z \rightarrow y$, $ y \rightarrow x$ und $ x \rightarrow
z$ bekommt man die Drehmatrix für eine Drehung um die y-Achse

$\displaystyle D_y(\alpha) = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\alpha)&0&\sin(\alpha)  0&1&0  -\sin(\alpha)& 0&\cos(\alpha)  \end{array}\right)$ (3.61)

Weiteres formales ''Rotieren'' der Koordinaten $ z \rightarrow y$, $ y \rightarrow x$ und $ x \rightarrow
z$ liefert die Drehmatrix für eine Drehung um die x-Achse

$\displaystyle D_x(\alpha) = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0  0& \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)  0&\sin(\alpha)& \cos(\alpha)  \end{array}\right)$ (3.62)

Die Drehung um die y-Achse um $ -\pi/2$ (=90) und dann um die x-Achse um $ -\pi/2$ wird mit Matrizen als


$\displaystyle \vec{r}'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle D_x(-\pi/2) D_y(-\pi/2) \vec{r}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\
0&0&1\\
0&-1& 0\\
\end{array}...
...&0\\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 1 0 0\\
\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 0&0&-1\\
1&0&0\\
0&-1&0\\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 1 0 0\\
\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c} 0 1 0\\
\end{array}\right)$ (3.63)

Werden die Drehungen in umgekehrter Reihenfolge durchgeführt, so ist


$\displaystyle \vec{r}'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle D_x(-\pi/2) D_y(-\pi/2) \vec{r}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 0&0&-1\\
0&1&0\\
1& 0&0\\
\end{array}...
... 0\\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 1 0 0\\
\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 0&-1&0\\
0&0&1\\
1&0&0\\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 1 0 0\\
\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c} 0 0 1\\
\end{array}\right)$ (3.64)

Grosse Drehungen können nicht vertauscht werden. Es gibt viele Eigenschaften in der Physik, die nicht kommutativ sind


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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm