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Unterabschnitte

• Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung

Bewegung in einer Dimension

Dieser Stoff wurde am 16.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 19]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 3])

Aus dem Alltagsleben:

$$\textrm{Durchschnittsgeschwindigkeit} = \frac{\textrm{Gesamtstrecke}}{\textrm{Gesamtweg}}$$ (3.12)

Physik: Mathematische Formulierung

Gesamtweg:

$$\Delta x = x_2 - x_1$$ (3.13)

Gesamtzeit:

$$\Delta t = t_2 -t_1$$ (3.14)

Wir schreiben für die Durchschnittsgeschwindigkeit

$$<v> = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 -x_1}{t_2 - t_1}$$ (3.15)

Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit bei drei Strecken $(x_2-x_1),(x_3-x_2),(x_4-x_3)$ hintereinander, die in den Zeiten $(t_2-t_1),(t_3-t_2),(t_4-t_3)$ durchfahren werden?

$$<v> = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(x_2 -x_1)+(x_3 -x_2)+(x_4 -x_3)}{(t_2 - t_1)+(t_3 - t_2)+(t_4 - t_3)} =\frac{x_4-x_1}{t_4-t_1}$$ (3.16)

Dieser Stoff wurde am 17.10.2001 behandelt

Materialien:

• Übungsblatt 1 vom 16. 10. 2001 (HTML oder PDF)
• Folien zur Vorlesung am 17. 10. 2001 PDF

Was bedeutet das, wenn wir (18. Jahrhundert) von Ulm nach Buchhorn (103 km, Durlesbach (-36 km (wir wandern zurück) , 9h) wandern?

Ulm, Durlesbach und Buchhorn liegen auf einem Kreissegment, also auf einer ''Linie''. Also ist die Durchschnittsgeschwindigkeit

$$<v> = \frac{103 km - 36 km}{35 h + 9 h} = \frac{67 km}{44 h} \approx 1.5 \frac{km}{h}$$ (3.17)

Der Sprachgebrauch im Alltag sagt:

$$<v> = \frac{103 km + 36 km}{35 h + 9 h} = \frac{139 km}{44 h} \approx 3.2 \frac{km}{h}$$ (3.18)

Es wurde mit den Beträgen gerechnet.

Wir verwenden ausschliesslich die physikalische Definition nach Gleichung (3.5) und Gleichung (3.6) !

Graphische Darstellung einer linearen Bewegung

Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung

Dieser Stoff wurde am 17.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 19]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 10])

Momentangeschwindigkeit $\Leftrightarrow$ Tangente $\Leftrightarrow$ Ableitung

$$v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta v} = \frac{dv}{dt}=\dot{x}$$ (3.19)

Graphische Darstellung einer linearen Bewegung

Beispiel

Sei $x(t) = At^n +Bt^m$. Dann ist

$$v(t) = \frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(At^n + Bt^m\right)= nAt^{n-1}+mBt^{m-1}$$ (3.20)

Beschleunigung $\Longleftrightarrow$ Änderung der Momentangeschwindigkeit

Mittlere Beschleunigung

$$<a>= \frac{\Delta v}{\Delta t}$$ (3.21)

Momentanbeschleunigung

$$a(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv(t)}{dt}$$ (3.22)

Beschleunigung und Ort

$$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d \frac{dx(t)}{dt}}{dt} = \frac{d^2 x(t)}{dt^2}= \ddot{x}$$ (3.23)

Wie kommt man von einer bekannten Beschleunigung zum Ort? $\Longrightarrow$ Integration

Graphische Darstellung einer Geschwindigkeit und Integration

$$\frac{dv}{dt} = a$$ (3.24)

Wir multiplizieren die obige Gleichung mit $dt$

$$dv = a dt$$ (3.25)

Nun integrieren wir auf beiden Seiten von der Zeit $t=0$² bis $t$

$$\int\limits_0^t dv = \int\limits_0^t a dt$$ (3.26)

und erhalten

$$v(t) - v(0) = \left. a\times t\right\vert _0^t = a\times t$$ (3.27)

oder mit $v(0) = v_0$

$$v(t) = v_0 + a\times t$$ (3.28)

Dabei ist die Anfangsbedingung mit eingerechnet.

Weg:

$$\frac{dv}{dt} = v = v_0 + a \times t$$ (3.29)

Wir integrieren auf beiden Seiten

$$\int\limits_0^t dx = \int\limits_0^t (v_0 + a\times t) dt$$ (3.30)

und erhalten

$$x(t) -x(0) = \left.(v_0\times t + \frac{1}{2}a\times t^2)\right\vert _0^t = v_0 \times t +\frac{1}{2}a\times t^2$$ (3.31)

oder mit $x(0) = x_0$

$$x(t) = x_0 + v_0 \times t +\frac{1}{2}a\times t^2$$ (3.32)

Schauen Sie in einem Mathematikbuch oder (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 30]) nach, wie die Integration durchgeführt wird

Materialien

• Bremsweg bei konstanter Beschleunigung

Gleichung (3.18) kann verstanden werden, in dem man realisiert, dass die Geschwindigkeit sich von $v_0$ nach $v_0+a t$ ändert, so dass $<v> = \frac{v_0 + (v_0 + at)}{2} = v_0 + \frac{1}{2} a t^2$ ist.

Gleichungen bei konstanter Beschleunigung

$$v = v_0 + at$$

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$ (3.33)

Durchschnittsgeschwindigkeit

$$<v> = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2)- x_0}{t} = \frac{1}{2}(v_0 + v)$$ (3.34)

Wenn die Endgeschwindigkeit $v_e = v_0 + a t$ ist, erhält man aus $\Delta x = x(t) = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ mit $t = \frac{v_e-v_0}{a}$

$$\Delta x = v_0 \frac{v_e-v_0}{a} + \frac{1}{2}a \left(\frac{v_e-v... ...v_e}{a}-\frac{v_0^2}{2}+\frac{v_e^2}{2 a} - \frac{v_e v_0}{a} + \frac{v_0^2}{a}$$

$$v_e^2 = v_0^2+ 2 a \Delta x$$ (3.35)

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