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Biegung

Dieser Stoff wurde am 5.12.2001 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 134])

Biegebalken

Biegebalken werden heute in vielen die Oberflächen abtastenden Instrumenten eingesetzt. Als Stimmgabeln sind sie die zeitbestimmenden Elemente in einer Uhr.

Der Balken der Länge $\ell$, Breite $b$ und Dicke $h$ soll einseitig eingespannt sein. Wir legen am Ende eine Kraft $F$ an, die senkrecht zur ursprünglichen Lage des Balkens sein soll. An einem Punkt im Abstand $x$ vom Balkenende ist als Wirkung der Kraft der Balken gebogen, und zwar mit einem Krümmungsradius von $r$. Die oberen Schichten werden um $\frac{h}{2r}$ gedehnt, die unteren entsprechend gestaucht. In der Mitte befindet sich (rot eingezeichnet) die neutrale Faser Gemittelt über die obere Hälfte des Balkenquerschnitts (über der neutralen Faser) ist die Dehnung $\frac{h}{4r}$. Die untere Hälfte ist entsprechend gestaucht. Sowohl für die Stauchung wie auch für die Dehnung wird eine Kraft von $\widetilde{F} = E \cdot \frac{h}{4r} \frac{hb}{2}$, und analog dazu eine Kraft für die Stauchung. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar (Abstand $\frac{h}{2}$), das das Drehmoment

$$M(x) = \widetilde{F}\frac{h}{2} \approx \frac{E h^3 b}{16 r} \approx \alpha \frac{E h^3 b}{r}$$ (5.375)

$\alpha$ ist hier eine Schätzung und müsste mit einer ausführlicheren Rechnung berechnet werden. Für einen rechteckigen Querschnitt zeigt die genauere Rechnung, dass $\alpha = 1/12$ und nicht $1/16$ ist. Die Ursache für das Drehmoment $M(x)$ ist die Kraft $F$ am Ende des Balkens im Abstand $x$. Wir erhalten

$$F x = M(x) = \frac{\alpha E h^3 b}{r }$$ (5.376)

oder

$$r = \frac{\alpha E h^3 b}{F x }$$ (5.377)

Die Krümmung $1/r$ ist an der Einspannungsstelle am grössten. Die Spannung $\sigma$ ist

$$\sigma = E \frac{h}{2r} = \frac{E h}{2} \frac{F \ell}{\alpha E h^3 b} = \frac{F \ell}{2\alpha h^2 b}$$ (5.378)

Wird die Festigkeitsgrenze überschritten, bricht der Balken an der Einspannstelle. Die Belastbarkeit eines einseitig eingespannten Balkens ( und auch eines zweiseitig eingespannten oder aufgestützten Balkens) geht mit $\frac{h^2 b}{\ell}$.

Typische Anwendungen einseitig eingespannter Balken finden sich in der Mikrosystemtechnik.

Prinzip der Herstellung eines freitragenden, einseitig eingespannten Balkens mit mikrotechnologischen Mitteln (W. Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[, 84])

REM (Rasterelektronen-Mikroskop)-Bilder des Balkens a) und der Sonde b) eines AFM-Sensors (W. Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[, 85])

Bild des IMM-AFM-Sensors in einer Vorstufe der Entwicklung[].

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