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Beziehung zwischen den elastischen Konstanten

Dieser Stoff wurde am 5.12.2001 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 132])

Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung

Die blau eingezeichneten Kräfte in der obigen Abbildung bewirken eine Scherung um den Winkel $\alpha$. Der Schermodul des Materials ist also

$$G = \frac{2F}{\alpha d^2}$$

Die blauen Kräfte können jeweils in zwei halb so grosse Kräfte (rot) aufgespalten werden. Nun werden jeweils zwei rote Kräfte von zwei nebeneinander liegenden Flächen zusammengefasst; das Resultat sind die grünen Kräfte. Diese bewirken eine reine Dehnung oder Stauchung. Jede Scherung kann also als Kombination von einer Stauchung und einer orthogonal dazu liegenden Scherung aufgefasst werden. Die eine Diagonale wird um $\alpha d/\sqrt{2}$ gedehnt, die andere um den gleichen Wert gestaucht. Die Kräfte wirken auf die mittlere Fläche der Grösse $d \cdot d\sqrt{2}$. Die Kräfte müssen gemittelt werden, so dass sie effektiv nur halb so gross wie ursprünglich angenommen sind. jeder der Kräfte $F/\sqrt{2}$ erzeugt eine relative Dehnung oder Stauchung um $\frac{F}{Ed^2}$ in ihrer Richtung und eine Querkontraktion oder -dilatation von $\mu\frac{F}{Ed^2}$ dazu. Beide Kräfte bewirken eine Kontraktion oder Dilatation von $\frac{2F(1+\mu)}{Ed^2}= \frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{\alpha d}{\sqrt{2} d \sqrt{2}} = \frac {\alpha}{2}$⁸. Wir erhalten

$$E = \frac {4F(1+\mu)}{\alpha d^2}$$

und durch Vergleich

$$E = 2G(1+\mu)$$ (5.379)

Da die Poissonzahl $0 < \mu < 0.5$ ist, bekommt man auch

$$\frac{E}{2} > G > \frac{E}{3}$$ (5.380)

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