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Erzwungene (gedämpfte) Schwingung und Resonanz

Dieser Stoff wurde am 16.1.2002 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 406]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 154])

Mit einem Exzenter angetriebenes Pendel

Das vorliegende System wird durch zwei Grössen charakterisiert: die Anregungsschwingung $z(t) = z_0\cos\omega t$ sowie durch das Federpendel mit der Masse $m$, der Dämpfung $b$ und die Federkonstante $k$. Die rücktreibende Kraft an der Feder ist

$$F_F(t) = -k\left(x(t)-z(t)\right)$$ (8.486)

Die Beschleunigung ist wieder durch $m\ddot{x}(t) = F(t)$ gegeben; die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung durch $-b\dot{x}(t)$

Die Bewegungsgleichung ist also

$$F(t) = -k\left(x(t)-z(t)\right) -b\dot{x}(t) = m\ddot{x}(t)$$ (8.487)

Wenn wir $z(t)$ einsetzten und umstellen, erhalten wir

$$m\ddot{x}(t)+b\dot{x}(t)+k x(t) = z_0 k \cos\omega t$$ (8.488)

Wir teilen durch $m$ und kürzen $k/m = \omega_0^2$ ab und erhalten

$$\ddot{x}(t)+ \frac{b}{m} \dot{x}(t) +\omega_0^2 x(t) = z_0 \omega_0^2 \cos\omega t$$ (8.489)

Die Lösung (Simulation) dieser Gleichung besteht aus zwei Teilen: dem Einschwingvorgang als Lösung der Gleichung

$$\ddot{x}(t)+ \frac{b}{m} \dot{x}(t) +\omega_0^2 x(t) = 0$$

(analog zur freien gedämpften Schwingung, dieser Teil klingt ab gegen 0) sowie der stationären Lösung. Dieser Lösungsteil hat die Form

$$x(t) = A(\omega) \cos \left(\omega t -\delta(\omega)\right)$$ (8.490)

wobei wir hier ein Minuszeichen vor der Phase setzen, damit diese die Phasendifferenz zur Anregung darstellt. Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir

$$A(\omega)\left[-\omega^2 \cos(\omega t -\delta(\omega)) -\frac{b}... ...in(\omega t -\delta(\omega)) + \omega_0^2\cos(\omega t - \delta(\omega))\right]$$

$$= z_0 \omega_0^2 \cos\omega t$$ (8.491)

Um die Gleichung zu lösen müssen wir die Winkelfunktionen $\sin$ und $\cos$ mit Phasen in reine Winkelfunktionen auflösen. Also setzen wie $\cos(\omega t -\delta(\omega)) = \cos(\omega t)\cos(\delta(\omega))+\sin(\omega t)\sin(\delta(\omega))$ und $\sin(\omega t -\delta(\omega)) = \sin(\omega t)\cos(\delta(\omega))-\cos(\omega t)\sin(\delta(\omega))$. Wir bekommen dann

$$z_0 \omega_0^2 \cos\omega t = A(\omega)\left[-\omega^2 \cos(\omega t)\cos(\delta(\omega))\right.$$

$$+\frac{b}{m}\omega\cos(\omega t)\sin(\delta(\omega))$$

$$\left.+ \omega_0^2\cos(\omega t)\cos(\delta(\omega))\right]$$

$$= A(\omega)\left[-\omega^2 \sin(\omega t)\sin(\delta(\omega))\right.$$ 0

$$-\frac{b}{m}\omega\sin(\omega t)\cos(\delta(\omega))$$

$$\left. + \omega_0^2\sin(\omega t)\sin(\delta(\omega))\right]$$ (8.492)

Diese Gleichungen können vereinfacht werden

$$z_0 \omega_0^2 = A(\omega)\left[-\omega^2 \cos(\delta(\omega)) +\frac{b}{m}\omega\sin(\delta(\omega)) + \omega_0^2\cos(\delta(\omega))\right]$$

$$= -\omega^2 \sin(\delta(\omega))-\frac{b}{m}\omega\cos(\delta(\omega)) + \omega_0^2\sin(\delta(\omega))$$ 0 (8.493)

Aus der zweiten Gleichung folgt

$$\left(\omega_0^2-\omega^2\right)\sin(\delta(\omega)) = \frac{b}{m}\omega\cos(\delta(\omega))$$ (8.494)

und daraus

$$\tan(\delta(t)) = \frac{b\omega}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}$$ (8.495)

Wir verwenden $\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\phi}}$ und $\sin\phi = \cos\phi \cdot \tan\phi = \frac{\tan\phi}{\sqrt{1+\tan^2\phi}}$ und bekommen aus der ersten Gleichung

$$\frac{z_0 \omega^2}{A(\omega)} = \frac{\omega_0^2-\omega^2}{\sqrt{1+\tan^2(\delta(t))}} + \frac{b\omega}{m}\frac{\tan(\delta(t))}{\sqrt{1+\tan^2(\delta(t))}}$$

$$= \frac{\omega_0^2-\omega^2+\frac{b^2\omega^2}{m^2\left(\omega_0^2-... ...2\right)}} {\sqrt{1+\frac{b^2\omega^2}{m^2\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2}}}$$

$$= \frac{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\frac{b^2\omega^2}{m^2}} {\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\frac{b^2\omega^2}{m^2}}}$$

$$= \sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\frac{b^2\omega^2}{m^2}}$$ (8.496)

Zusammengefasst ist die stationäre Lösung durch die Amplitude und Phase

$$\delta(\omega) = \arctan\left(\frac{b\omega}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}\right)$$ (8.497)

$$A(\omega) = \frac{z_0 \omega^2}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\frac{b^2\omega^2}{m^2}}}$$ (8.498)

gegeben.

Mit der Definition der Güte aus Gleichung (8.52) sowie mit $\omega_0 = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$ schreiben wir zuerst

$$Q = 2\pi\frac{m}{bT} = \omega_0\frac{m}{b}\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}\frac{b}{m} = \frac{\omega_0}{Q}$$ (8.499)

und erhalten

$$\delta(\omega) = \arctan\left(\frac{\omega\omega_0}{Q\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}\right)$$ (8.500)

$$A(\omega) = \frac{z_0 \omega^2}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\frac{\omega^2\omega_0^2}{Q^2}}}$$ (8.501)

Noch kompakter ist die folgende Schreibweise für die Amplitude

$$A(\omega) = \frac{z_0 \omega^2/\omega_0^2}{\sqrt{\left(1-\omega^2/\omega_0^2\right)^2+\frac{\omega^2}{\omega_0^2 Q^2}}}$$ (8.502)

Die Frequenz, bei der die Amplitude maximal wird, also die Resonanzfrequenz, ist

$$\omega_R = \sqrt{\omega_0^2-\frac{b^2}{2m^2}} = \omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$$ (8.503)

Diese Frequenz, die durch die Gleichung $\frac{dA(\omega)}{d\omega}=0$ definiert ist, ist kleiner als die Eigenfrequenz eines gedämpften Systems (Siehe Gleichung (8.55) ).

Bei der Resonanzfrequenz des ungedämpften Systems gegeben durch $\omega=\omega_0$ ist die Phase

$$\delta(\omega_0) = \pi/2$$ (8.504)

Die Steigung der Phase $d\delta(\omega)/d\omega$ hat an der Stelle $\omega_0$ den Wert

$$\left.\frac{d\delta(\omega}{d\omega}\right\vert _{\omega_0}= 2\frac{Q}{\omega_0}$$ (8.505)

Es ist sehr viel einfacher, $\omega_0$ und $Q$ aus der Phase wie aus der Amplitude zu bestimmen.

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