Dieser Stoff wurde am 16.1.2002 behandelt |
![]() Mit einem Exzenter angetriebenes Pendel
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Das vorliegende System wird durch zwei Grössen charakterisiert: die Anregungsschwingung
sowie durch das Federpendel mit der Masse
, der Dämpfung
und die Federkonstante
. Die
rücktreibende Kraft an der Feder ist
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(8.486) |
Die Beschleunigung ist wieder durch
gegeben; die
geschwindigkeitsproportionale Dämpfung durch
Die Bewegungsgleichung ist also
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(8.487) |
Wenn wir einsetzten und umstellen, erhalten wir
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(8.488) |
Wir teilen durch und kürzen
ab und erhalten
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(8.489) |
Die Lösung (Simulation) dieser Gleichung besteht aus zwei Teilen: dem Einschwingvorgang als Lösung der Gleichung
(analog zur freien gedämpften Schwingung, dieser Teil klingt ab gegen 0) sowie der stationären Lösung. Dieser Lösungsteil hat die Form
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(8.490) |
wobei wir hier ein Minuszeichen vor der Phase setzen, damit diese die Phasendifferenz zur Anregung darstellt. Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir
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(8.491) |
Um die Gleichung zu lösen müssen wir die Winkelfunktionen und
mit Phasen in
reine Winkelfunktionen auflösen. Also setzen wie
und
. Wir bekommen dann
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0 | ![]() |
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(8.492) |
Diese Gleichungen können vereinfacht werden
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0 | ![]() |
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(8.493) |
Aus der zweiten Gleichung folgt
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(8.494) |
und daraus
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(8.495) |
Wir verwenden
und
und bekommen aus der ersten Gleichung
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(8.496) |
Zusammengefasst ist die stationäre Lösung durch die Amplitude und Phase
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(8.497) |
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(8.498) |
Mit der Definition der Güte aus Gleichung (8.52) sowie mit
schreiben wir zuerst
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(8.499) |
und erhalten
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Noch kompakter ist die folgende Schreibweise für die Amplitude
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(8.502) |
Die Frequenz, bei der die Amplitude maximal wird, also die Resonanzfrequenz, ist
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(8.503) |
Diese Frequenz, die durch die Gleichung
definiert ist, ist
kleiner als die Eigenfrequenz eines gedämpften Systems (Siehe Gleichung (8.55) ).
Bei der Resonanzfrequenz des ungedämpften Systems gegeben durch
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Die Steigung der Phase ![]() ![]()
Es ist sehr viel einfacher, ![]() ![]() |