Überlagerung von Schwingungen

Wenn in der

-Richtung eine Schwingung $x(t) = x_0 \cos(\omega_x t)$ und in der

-Richtung eine Schwingung $y(t) = y_0 \cos(\omega_y t + \delta)$ überlagert werden, entstehen Lissajous-Figuren. Solche Schwingungen können entstehen, wenn zum Beispiel eine Kugel in einer elliptischen Potentialmulde hin- und herschwingt.

Schwingungen gleicher Richtung und Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude

$\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schwingungen-ueberlagerung.eps}$

Zeigerdiagramm. Links für zwei Zeiten, in der Mitte das Zeigerdiagramm für zwei Schwingungen (rot) und (blau) mit der Summe (grün) und rechts die Winkel.

Eine Schwingung $x(t) = x_0 \cos(\omega t + \delta)$ kann durch einen Zeiger dargestellt werden. Die Projektion dieses Zeigers auf die x-Achse ergibt das Schwingungsbild.

Wenn zwei Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phase, aber gleicher Frequenz addiert werden, kann man die trigonometrischen Sätze für schiefwinklige Dreiecke anwenden. So ist nach dem Cosinussatz

$\displaystyle \frac{A}{\sin(\pi-\delta_2+\delta_1}) = \frac{A}{\sin(\delta_1-\delta_2}) = \frac{A_2}{\sin(\delta-\delta_1)}$

(8.508)

Wenn wir die Zeit zur Berechnung so wählen, dass $\delta_1 = 0$ ist, so ergibt sich

$\displaystyle \sin\delta$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{A_2}{A}\sin\delta_2$
$\displaystyle A$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{ A_1^2+A_2^2+2 A_1 A_2 \cos\delta_2}$	(8.509)

Schwingungen gleicher Richtung, aber leicht unterschiedlicher Frequenz

Die Frequenzen der beiden Schwingungen sollen um $\Delta \omega$ verschieden sein. Wir setzen an

$\displaystyle x_1(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_1\cos(\omega t+\delta_1)$
$\displaystyle x_2(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_2\cos((\omega+\Delta\omega)t +\delta_2)$	(8.510)

$\displaystyle x(t) = x_1(t)+x_2(t) = A_1\cos(\omega t+\delta_1)+A_2\cos((\omega+\Delta\omega)t +\delta_2)$

(8.511)

$\displaystyle x(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_1\cos(\omega t+\delta_1)+A_2\cos((\omega t+\delta_1)+\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_1\cos(\omega t +\delta_1) + A_2\cos(\omega t+\delta_1)\cos(\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)$
		$\displaystyle -A_2\sin(\omega t+\delta_1)\sin(\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos(\omega t+\delta_1 )\left[A_1+A_2\cos(\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)\right]$
		$\displaystyle -A_2\sin(\omega t+\delta_1)\sin(\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)$	(8.512)

Dies entspricht einer Schwingung der Frequenz $\omega$ mit einer aufmodulierten Frequenz $\Delta \omega$ . Wir nennen diese verhalten auch Schwebung. Transparenter wird die Rechnung, wenn komplexe Zahlen verwendet werden. Anstelle von $\cos(\omega t +\delta)$ schreiben wir $e^{i(\omega t +\delta)}$ , wobei wieder $i=\sqrt{-1}$ ist. Wir schreiben

$\displaystyle x_1(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_1 e^{i(\omega t +\delta_1}$
$\displaystyle x_2(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_2 e^{i((\omega +\Delta\omega)t+\delta_2)}$	(8.513)

$\displaystyle x(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle x_1(t)+x_2(t)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_1e^{i(\omega t+\delta_1)}+A_2 e^{i((\omega t+\delta_1)+\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_1 e^{i(\omega t +\delta_1)} + A_2e^{i(\omega t+\delta_1)}e^{i(\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{i(\omega t+\delta_1 )}\left[A_1+A_2e^{i(\Delta\omega t +\delta_2-\delta_1)}\right]$	(8.514)

Fouriertransformation

Die obige Schwingung ist nicht nur durch den zeitlichen Verlauf, sondern auch durch das Frequenzspektrum sowie das Phasenspektrum charakterisiert. Grundlage für diese Aussage ist der Mathematische Satz, dass sich jede periodische Funktion

(Frequenz $\omega = 2\pi/T$ als Fourierreihe

$\displaystyle f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cos(k\omega t)+\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\sin(k\omega t)$

(8.516)

$\includegraphics[width=0.8\textwidth]{schwingung_fourier_synth.eps}$

Synthese einer Schwingung mit $f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty \cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)$ . Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

$\includegraphics[width=0.8\textwidth]{schwingung_fourier_synth_1.eps}$

Synthese einer Schwingung mit $f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)^2$ . Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

$\includegraphics[width=0.8\textwidth]{schwingung_fourier_synth_2.eps}$

Synthese einer Schwingung mit $f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)$ . Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

$\includegraphics[width=0.8\textwidth]{schwingung_fourier_synth_3.eps}$

Synthese einer Schwingung mit $f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)^{2/3}$ . Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

$\includegraphics[width=0.8\textwidth]{schwingung_fourier_synth_4.eps}$

Synthese einer Schwingung mit $f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)^{1/2}$ . Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

$\includegraphics[width=0.8\textwidth]{schwingung_fourier_synth_5.eps}$

Synthese einer Schwingung mit $f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\cos((2k-1)\omega t)/(2k-1)^{1/6}$ . Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

Überlagerung von Schwingungen

Schwingungen in unterschiedliche Richtungen

Schwingungen gleicher Richtung und Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude

Schwingungen gleicher Richtung, aber leicht unterschiedlicher Frequenz

Fouriertransformation