Übungsblatt 8
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

4. 12. 2001

Aufgaben für die Übungsstunden

Statische Gleichgewichte, Gravitation, PDF-Datei

1. Bei einem Kollergang wird ein Rad der Masse $m$ im Kreis um eine zentrale Befestigung geführt und rollt in der Horizontalebene, wobei die Radachse (masselos) in 0 gelenkig und reibungsfrei gelagert sei. Berechne den Normaldruck als Funktion der Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ der Radumdrehung. Was ist das Resultat für $a=r$?
   
2. Ihnen steht eine Waage mit einer Auflagefläche von $1m^2$ und einer Höhe von 10 cm sowie 7 Holzplatten zur mit der Fläche $1m^2$ und einer Höhe von 10 cm Verfügung. Sie sollen das Gesamtgewicht eines Lastzuges mit einer 2-achsigen Zugmaschine sowie einem zweiachsigen Sattelauflieger nachmessen. Geht das? Was ist die Messvorschrift? Diskutieren Sie das Problem unter dem Gesichtspunkt der Gleichgewichtsbedingungen.
3. Zwei Punktmassen der Grösse $m$ sind auf der y-Achse im Abstand $a$ symmetrisch auf beiden Seiten des Nullpunkts plaziert (Ihre Koordinaten sind $(0;a;0)$ und $(0;-a;0)$.
   1. Ein drittes Teilchen $m_0$ befinde sich im Abstand $x$ vom Ursprung auf der x-Achse. Zeigen Sie, dass die Kraft, die von den beiden Punktmassen auf dieses Teilchen ausgeübt wird, gegeben ist durch
      
      
      $$\vec F = - \frac{2Gm m_0 x}{(x^2+a^2)^{(3/2)}}\vec e_x$$
      
      

   2. Ermitteln Sie das durch die beiden Massen auf der y-Achse hervorgerufene Gravitationsfeld $\vec g$ auf der x-Achse.
   3. Zeigen Sie, dass die von den beiden auf der y-Achse befindlichen Massen hervorgerufene Gravitationsfeldstärke $g_x$ annähernd $-2Gm/x^2$ ist, wenn $x$ wesentlich grösser als $a$ ist.
   4. Zeigen sie, dass $\vert g_x\vert$ an den Punkten $x \pm a/\sqrt{2}$ maximal ist.

Hausaufgabe

1. Io, einer der Jupitermonde, hat einen mittleren Bahnradius von $4.22\times 10^8 m$ und eine Umlaufdauer von $1.53\times 10^5 s$.
   1. Bestimmen Sie den mittleren Bahnradius von Callisto, einem anderen Jupitermond, dessen Umlaufzeit $1.44\times 10^6 s$ betrage.
   2. Berechnen Sie mit dem bekannten Wert von G die Jupitermasse.
2. Zwei Planeten gleicher Masse bewegen sich um einen Stern mit wesentlich grösserer Masse. Planet 1 mit der Masse $m_1$ bewege sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r_1 = 10^{11} m$. Seine Umlaufdauer betrage 2 Jahre. Planet 2 mit der Masse $m_2$ bewege sich auf einer elliptischen Bahn, wobei der Kleinste Abstand zum Stern $r_1 = 10^{11} m$ (Punkt P) und der grösste Abstand $r_2=2\times 10^{11}m$ (Punkt A) betrage.
   1. Berechnen sie die Umlaufdauer von Planet 2. Berücksichtigen Sie dabei, dass der mittlere Bahnradius einer elliptischen Bahn gleich der Länge der grossen Halbachse ist.
   2. Wie gross ist die Masse des Sternes?
   3. Welcher Planet hat die grössere Gesamtenergie?
   4. Welcher Planet hat am Punkt P die grössere Geschwindigkeit?
   5. Welche Geschwindigkeit besitzt Planet 2 im Punkt P im Vergleich zur Geschwindigkeit im Punkt A?

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. 
   • Das Rad legt den Weg $2\pi a$ zurück und dreht sich dabei $\frac{2 \pi a}{2 \pi r} = a/r$ mal. Also ist $\omega = \frac{a}{r}\Omega$.
   • Wenn $\vec \omega$ nach rechts zeigt, muss $\vec \Omega$ nach unten zeigen.
   • $\vec \omega + \vec \Omega$ zeigt auf den Mittelpunkt der Auflagelinie. $\vec \omega + \vec \Omega$ist die momentane Drehachse.
   • Der Drehimpuls des Rades zeigt nach rechts.
   • $M = \frac{d L}{dt}$
   • Die Drehimpulsänderung durch $\vec \Omega$ bewirkt ein Drehmoment. In der Zeit $dt$ ändert sich $L = I_{Rad}\omega$ um $dL = L\Omega dt = I_{Rad}\omega\Omega dt$
   • also ist $M = I_{Rad}\omega\Omega = I_{Rad}\Omega^2 \frac{a}{r} = \frac{1}{2} m r^2 \Omega^2 \frac{a}{r} = \frac{ar}{2} m \Omega^2$.
   • Die resultierende Normalkraft minus die Gewichtskraft ist das Drehmoment und gleich $a (N -mg) = \frac{ar}{2} m \Omega^2$ und damit
   • $N = mg + \frac{r}{2} m \Omega^2 = m\left[g + \frac{r}{2} \Omega^2\right]$
   • Wenn man sich den Kollergang als Gewichtsbehafteten Kreisel vorstellt, wäre die Normalkraft genau dann null, wenn sich der Kreisel mit $\vec \Omega$ nach oben zeigend bewegen würde. Dann ist die Gewichtskraft durch das Reaktionsdrehmoment des Kreisels kompensiert. Ist $\vec \Omega = 0$, ist die Normalkraft $N=mg$, da wir mit dieser Kraft unterstützen müssen. Dreht der Kreisel wie in diesem Falle entgegengesetzt der Präzessionsrichtung, muss $N$ entsprechend grösser werden!
2. • Wir nummerieren die acht Räder mit $1\ldots 8$. Jeweils ein Rad, Rad Nummer $i$ steht auf der Waage, die anderen auf dem Holz. Da alle Untersätze die gleiche Höhe haben, ist die Gewichtsverteilung wie vorher.
   • Es gilt $F_{ges} \sum\limits{i=1}^8 F_i$, wenn $F_i$ die Auflagekraft des Rades $i$ ist.
   • Bemerkung Nach dieser Methode kann das zulässige Gesamtgewicht und die zulässige Achslast mit mobilen Einrichtungen überprüft werden.
   • Wenn Sie Gleichgewichte betrachten, dann muss die Summe aller Kräfte und die Summe aller Drehmomente bezüglich des Schwerpunkts null sein. Mit der Momentengleichung können Sie die Last auf jedem Rad berechnen.
3. Zwei Punktmassen der Grösse $m$ sind auf der y-Achse im Abstand $a$ symmetrisch auf beiden Seiten des Nullpunkts plaziert (Ihre Koordinaten sind $(0;a;0)$ und $(0;-a;0)$.
   1. • Verbindungsvektor $\vec r_{+a} = (x;0;0) - (0;a;0) = (x;-a;0)$ und $\vec r_{-a} = (x;0;0) - (0;-a;0) = (x;a;0)$
      • Länge der Vektoren $\vert\vec r_{+a}\vert^2 = x^2 + a^2 = \vert\vec r_{-a}\vert^2 = r^2$
      • Die y-Komponenten der Gravitationskräfte der einzelnen Massen sind vom Betrage her gleich gross, haben aber verschiedenes Vorzeichen: also gibt es nur die x-Komponente der Gravitation.
      • Mit einem pythagoräischen Dreieck, bei dem die Hypotenuse 1 ist, errechnet man: $1 = (x/r)^2 + (a/r)^2$. Also ist $F_x/F = x/r = \sqrt{1-(a/r)^2} = \sqrt{1-\frac{a^2}{(x^2 + a^2)}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$
      • Die Gravitationskraft ist also $\vec F((x;0;0)) = (F_x;0;0)$ und $F_x = \left[-\frac{Gm m_0}{r_{+a}^2}\right]\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\left[-\frac{Gm m_0}{r_{-a}^2}\right]\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$
        $F_x = -\frac{2Gm m_0}{r_{-a}^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} = - \frac{2Gm m_0 x}{(x^2+a^2)^{(3/2)}}$.
      • Damit ist die Gleichung $\vec F = - \frac{2Gm m_0 x}{(x^2+a^2)^{(3/2)}}\vec e_x$ gezeigt.
   2. $\vec g = \frac{\vec F_g}{m_0}$ und damit $\vec g(x) = - \frac{2Gm x}{(x^2+a^2)^{(3/2)}}\vec e_x$
   3. • Wir setzen $(x^2+a^2)^{(3/2)} = x^3\left(1 + \left(\frac{a}{x}\right)^2\right)^{3/2}$
      • Für $x\gg a$ ist $\left(1 + \left(\frac{a}{x}\right)^2\right)^{-3/2} \approx 1 - \frac{3}{2}\left(\frac{a}{x}\right)^2 \approx 1$
      • $g_x = - \frac{2Gm x}{(x^2+a^2)^{(3/2)}} = - \frac{2Gm x}{x^3}\left(1 + \left(\frac{a}{x}\right)^2\right)^{-3/2} \approx - \frac{2Gm}{x^2}$
   4. Maximum oder Minimum: Ableitung = 0.
      • $\frac{d g_x}{dx} = -\frac{d}{dx} \frac{2Gm x}{(x^2+a^2)^{(3/2)}} = -\frac{2Gm}{(x^2+a^2)^{(3/2)}}- \left(-\frac{3}{2}\right)\frac{2Gm x}{(x^2+a^2)^{(5/2)}}2x$
        $= 2Gm \frac{-x^2-a^2+3 x^2}{(x^2+a^2)^{(5/2)}}=0$
      • Also $2 x^2 - a^2 = 0$ und $x^2 = a^2/2$
      • Damit folgt die Behauptung.

Lösungen Hausaufgabe

1. 1. • 3. Keplersches Gesetz: $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$.
      • $r_1 = \sqrt[3]{\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2}r_2 = \sqrt[3]{\left(\frac{1.44\times 10^6 s}{1.53\times 10^5 s}\right)^2}4.22\times 10^8 m = 1.88\times 10^9 m$
   2. • wir verwenden: $E_{kin} = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{2\pi r_1}{T_1}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{G M_J m}{r_1}$
      • $M_J = \frac{4 \pi^2}{G} \frac{r_1^3}{T_1^2}$
      • $M_J = \frac{4 \pi^2}{6.67 \times 10^{-11}}\frac{\left(4.22\times 10^8\right)^3}{\left(1.53\times 10^5\right)^2} kg = 1.9 \times 10^{27} kg$
2. Zwei Planeten gleicher Masse bewegen sich um einen Stern mit wesentlich grösserer Masse. Planet 1 mit der Masse $m_1$ bewege sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r_1 = 10^{11} m$. Seine Umlaufdauer betrage 2 Jahre. Planet 2 mit der Masse $m_2$ bewege sich auf einer elliptischen Bahn, wobei der Kleinste Abstand zum Stern $r_1 = 10^{11} m$ (Punkt P) und der grösste Abstand $r_2=2\times 10^{11}m$ (Punkt A) betrage.
   • $m_S \gg m_1 = m_2$
   1. • Grosse Halbachse: $a = \frac{r_1+r_2}{2} = 1.5 \times 10^{11} m$
      • $T_2 = \sqrt[2]{\left(\frac{a}{r_1}\right)^3}T_1 = \sqrt[2]{\left(\frac{1.5 \times 10^{11} m}{1\times 10^{11} m}\right)^3} 2J = 3,67 J$

   2. $M_S = \frac{4 \pi^2}{G} \frac{r_1^3}{T_1^2} = \frac{4 \pi^2}{6.67 \times 10^{-11}} \frac{10^{33}}{\left(2* 365.25*86400\right)^2} = 1.49 \times 10^{29} kg$
   3. • Die Gesamtenergie eines Planeten ist $E_{ges} = \frac{1}{2} E_{pot} = - \frac{G m_1 m_S}{2 r} = -E_{kin}$
      • Planet 2 hat also die grössere Gesamtenergie, da die grosse Halbachse seiner Bahn grösser als Bei Plante 1 ist, die potentielle Energie also weniger negativ ist.
      Welcher Planet hat die grössere Gesamtenergie?
   4. • Am Punkt P haben beide Planeten die gleiche potentielle Energie $E_{pot} = - \frac{G m_1 m_S}{r_1} = -\frac{G m_2 m_S}{r_1}$.
      • Die kinetische Energie ist $E_{kin} = E_{tot}- E_{pot}$
      • Also ist $E_{kin,1} = E_{tot,1}- E_{pot}$ und $E_{kin,2} = E_{tot,2}- E_{pot}$
      • $\frac{1}{2}m_1 v_1^2 = -\frac{G m_S m_1}{2 r_1}+\frac{G m_S m_1}{r_1} = \frac{G m_S m_1}{2 r_1}$
      • $\frac{1}{2}m_2 v_2^2 = -\frac{G m_S m_2}{2 a}+\frac{G m_S m_1}{r_1} = -\frac{G... ...}\left[1-\frac{r_1}{r_1+r_2}\right] = \frac{G m_S m_1}{r_1}\frac{r_2}{r_1+r_2}$
      • $\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \frac{r_1}{2 r_1 \left[1-\frac{r_1}{r_1+r_2}\right]} = \frac{r_1+r_2}{2 r_2} = \frac{1}{2}\left(1+\frac{r_1}{r_2}\right)$
      • Da $r_2\geq r_1$ ist, ist $\frac{r_1}{r_2}\leq 1$ und also $v_1 \leq v_2$
   5. • Mit dem 2. Keplerschen Gesetz ist $r_1 v_{2,P} dt = r_2 v_{2,A} dt$
      • Also $v_{2,A} = v_{2,P} \frac{r_1}{r_2}$

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