Die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die Energieeigenwerte des betrachteten Systems. In den nächsten Abschnitten sollen die Energieeigenwerte der Schrödingergleichung für verschiedenen Potentialfunktionen berechnet werden.
Wenn der Zustand eines Systems ψ eine ortsabhängige Linearkombination zweier Eigenfunktionen ψ1 = a1(x) exp(-iω1t) und ψ2 = a2(x) exp(-iω2t) ist, gilt
|
| (5.1) |
Wenn Zustände ψ1 und ψ2 sich zeitlich nicht ändern, dann nennt man sie stationär und die Wahrscheinlichkeitsdichten p1 = ψ1*·ψ 1 und p2 = ψ2*·ψ 2 haben zeitlich sich nicht ändernde Werte. Im Dialekt der Quantenphysiker nennt man das scharfe Werte. Die entsprechenden Eigenwerte sind zeitunabhängig.
Obwohl die Funktionen ψ1 und ψ2 stationäre Zustände sein sollen, also zeitlich unveränderlich, ist die Summe ψ nicht stationär. Die kurze Rechnung
| ψ*·ψ | =  *
 | ||
=   | |||
| = a* 1a1 + a* 2a2 + a* 1a2eiω1te-iω2t + a 1a* 2e-iω1teiω2t | |||
= a*
1a1 + a*
2a2 + a*
1a2eiω1te-iω2t +  *
| (5.2) |
Wenn ein Eigenzustand des Operators 
= ia∂∕∂t sich mit der Zeit nicht ändert,
dann wird er stationär genannt.
Der Hamiltonformalismus der klassischen Mechanik eines Systems mit der
Lagrangefunktion L beschreibt die mechanischen Bewegungsgleichungen mit
verallgemeinerten Ortskoordinaten qi und verallgemeinerten Impulskoordinaten
pi = ∂L∕∂
i. Die Variablen qi und pi werden üblicherweise kanonische konjugierte
Variablen genannt.
In Quantenmechanik gibt es ein analoges Konzept zu kanonisch konjugierten Variablen, die kanonisch konjugierten Operatoren. Dies sind
und Impuls 
x
und Drehimpuls 
(Die Zeit t ist in der Quantenmechanik eine klassische
Variable, kein Operator.Die Definitionen der Operatoren sind
 | = x | ||
 x | =   | ||
 | = x + y + z | ||
 | =  ∇ | ||
 | = ϕ | ||
 | =   ×∇ | ||
 | = iℏ | (5.3) |
wobei 
, 
und 
die Einheitsvektoren sind, die das Koordinatensystem aufspannen.
Analog zur Poissonklammer der klassischen Mechanik gibt es in der Quantenmechanik Kommutatoren.
Die mathematische Operation
![[ ]
A^, ^B = ^A^B - ^BA^](Images/ap-2012504x.png)
heisst Kommutator.
So wie die Operatoren in der Quantenmechanik definiert sind, gelten die folgenden Vertauschungsrelationen:
Die Vertauschungsrelationen von konjugierten Operatoren heissen auch Unschärferelationen. Sie sind eine Konsequenz der Wellennatur der Lösungen der Schrödingergleichung und wurden von Werner Heisenberg gefunden. Die Energie-Zeit-Unschärferelation gilt oftmals nicht als echte Unschärferelation, da die Zeit kein Operator ist.
![[^x,^px]ψ = (^x^px - ^px^x) ψ = iℏψ, ∀ψ](Images/ap-2012505x.png)
![^ ^ ^
[E, E ]ψ = (Et - tE)ψ = iℏψ, ∀ψ](Images/ap-2012509x.png)
