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5.8  Lösungen der Schrödingergleichung für eine Potentialstufe

PIC

Potentialstufe.

Wir betrachten eine von links auf eine Potentialstufe mit endlicher Energiehöhe einfallende Welle. Dies führt zum Ansatz

ψ(x,t) = ϕ(x )e-iωt

ψ(x,t) ist harmonisch von der Zeit abhängig. Deshalb ist ϕ(x) eine stationäre Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.

Die Lösungen sind abhängig von der Energie des Teilchens (der Welle) unterschiedlich:

  1. Die Energie der einfallenden Welle E ist grösser als die potentielle Energie (E > V 0). Dann werden wir im ganzen Gebiet wellenartige Lösungen mit Interferenzen bekommen.
  2. Die Energie der einfallenden Welle E ist kleiner als die potentielle Energie (E V 0). Hier gibt es das Phänomen der evaneszenten Wellen, also an der Grenzfläche lokalisierte Wellen.

Sei ϕj(x) = Aj exp(-ikjx), j = 1 für x < 0 und j = 2 für x > 0, die Ortsfunktion einer einfallenden Welle, die sich in der positiven Richtung der x-Achse ausbreitet. Ihr Impuls ist p1 = k1 für x < 0 und p2 = k2 für x > 0. Die kinetische Energie ist T1 = p122m = E und T 2 = p222m = E - V 0. Also haben wir

      ∘ ------
        2mE--
k1 =     ℏ2        für   x < 0
(5.1)

und

      ∘-------------
k2 =    2m-(E---V0)-     für  x ≥  0
            ℏ2
(5.2)

Zusätzlich muss für x < 0 eine rücklaufende Welle mit ϕ1(x) = A1 exp(ik1x) betrachtet werden

Die Lösungen der Schrödingergleichung müssen zweimal differenzierbar sein, d.h. ϕ und ∂ϕ∕∂x müssen stetig sein für alle x. Die Stetigkeit besagt, dass ϕ(x) und ∂ϕ(x)∕∂x für x = 0 dieselben Werte haben müssen. Die Eigenfunktion ϕ(x) hat für x < 0 zwei Komponenten: Eine sich ausbreitende Welle mit der Amplitude A1 in der positiven Richtung der x-Achse und eine sich ausbreitende Welle (die reflektierte Welle) mit der Amplitude A1 in der negativen Richtung der x-Achse. Beide mit demselben Impuls p1 = k1. Für x > 0 es gibt nur eine harmonische Welle mit der Amplitude A2 und dem Impuls p2 = k2 (transmittierte Welle), die sich in die positive Richtung der x-Achse ausbreitet. Also erhalten wir für den ersten Fall

ik2A2 = ik1(A1 - A1)
A2 = A1 + A1 (5.3)
oder
A ′1
---
A1 = k1 - k2
-------
k1 + k2
A2-
A1 = --2k1--
k1 + k2 (5.4)
Wir definieren die folgenden Grössen als Reflexionskoeffizienten
     (   )        |   |
       A′1- *A-′1   ||A′1-||2
R =    A    A   = ||A  ||
        1     1     1
(5.5)

und Transmissionskoeffizienten

     k2 + k2*(A2 ) *A2    k2 + k2*||A2 ||2
T =  -------* ---   ---=  --------||---||
     k1 + k1  A1    A1      2k1    A1
(5.6)

Diese beiden Koeffizienten beschreiben die Intensität der Reflexion bzw. der Transmission, oder, in anderen Worten, deren Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Vorfaktoren haben die gleiche Funktion wie die Dielektrizitätszahlen in den Fresnelschen Formeln der Optik. Die Erhaltung der Gesamtenergie verlangt, dass

R + T =  1
(5.7)

ist.

Wenn im Gebiet x > 0 die kinetische Energie kleiner als die potentielle Energie ist (Fall b)) wird der Wellenvektor imaginär

      ∘ -------------                     ∘ -------------
        2m-(V0---E-)                        2m-(V0---E-)
k2 = i       ℏ2      = iϱ2   = ⇒    ϱ2 =         ℏ2
(5.8)

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit das Teilchen für x > 0 zu finden, exponentiell mit x abnimmt. Weiter haben wir

ϱ2A2 = ik1(A1 - A1)
A2 = A1 + A1 (5.9)
Wie immer ist A1 frei wählbar. Wir erhalten
A ′1
---
A1 = k1 - iϱ2
--------
 k1 + iϱ2
A2-
A1 = ---2k1--
k1 + iϱ2 (5.10)
für den Reflexionskoeffizienten
R =  1
(5.11)

und für den Transmissionskoeffizienten

T =  0
(5.12)

Alle Energie wird also reflektiert, aber es gibt im verbotenen Bereich dennoch eine mit der Distanz abnehmende Energiedichte.

PIC

Transmissionskoeffizient T und Reflexionskoeffizient R.

PIC

W

ahrscheinlichkeitsdichte bei Stufe]Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) = ϕ(x)*ϕ(x) für verschiedene Verhältnisse von E∕V 0.



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