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5.4  Axiome der Quantenmechanik

  1. Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch eine Wellenfunktion oder Zustandsfunktion ψ beschrieben.
  2. Jede physikalische Grösse entspricht einem linearen hermiteschen Operator.
  3. Ein Zustand eines Systems, in dem eine physikalische Grösse A einen scharfen Wert besitzt, muss durch eine Eigenfunktion des zu A gehörigen Operators ^
A beschrieben sein; der Wert dieser Grösse A ist ein Eigenwert des Operators ^A.
  4. Wenn der Zustand eines Systems durch eine Wellenfunktion ψ = kckfk dargestellt wird, wobei die fk Eigenfunktionen des gleichen hermiteschen Operators und die ck komplexe Konstanten sind, dann ist
     *         *
fi ·fj = (fi fi)δij
    (5.1)

    und

             ∑                 ∑
ψ *· ψ =    c*icj (fi* ·fj ) =   c*kck (fk*·fk)
          i,j                k
    (5.2)

Die Eigenwerte ak von ^
A sind reelle Zahlen (ak k). Die Wellenfunktionen ψk definiert durch ^Aψk = akψk oder A^|ψk⟩ = A|ψk⟩ sollen ein vollständiges Funktionensystem bilden.

Der Erwartungswert von A ist

                              (          )
       ⟨  ^   ⟩   ∑        *^  ∑             ∑    * *^          ∑   * *  ^
⟨A ⟩ =  ψ|A |ψ   =    (cℓψℓ) A     (ckψk )  =    ψ ℓcℓA  (ckψk ) =    cℓψℓckA ψk
         ∑         ℓ      ∑     k          ∑ ℓ,k                ℓ,k
       =    c*ℓckψ*ℓak ψk =    c*ℓckakψ *ℓψk  =    c*kckak
         ℓ,k               ℓ,k                k
(5.3)

In Allgemein ist die Streuung einer Observablen A analog wie die Standardabweichung definiert

       ∘ ------------
           2       2
ΔA  =    ⟨A  ⟩ - ⟨A⟩
(5.4)



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