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D.1  Vektoren

beschreiben Orte oder gerichtete Grössen

PIC

Definition von Vektoren. r ist ein Ortsvektor, v der Geschwindigkeitsvektor.

          (   )
-→r = r =    x
            y

          (    )    (   )
-→v = v =    vx   =    x˙
            vy        y˙

Die Ableitung nach der Zeit wird auch als

x˙=  dx-
     dt

geschrieben.

Addition:

         (    )    (    )    (          )
         | ax |    | bx |    |  ax + bx |
a + b =  ( ay )  + (  by)  = (  ay + by )
            bz        bz        dz + bz
(D.1)

PIC Versuch zur Vorlesung: Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28)

Länge eines Vektors

      ∘ -2----2----2
|a| =   ay + by + az
(D.2)

Skalarprodukt

a·b  = a  b + a b  + a b  = |a||b|· cos(∠a,b )
         xx    y z    z z
(D.3)

der Einheitsvektor ex ist ein Vektor der Länge 1, der in die x-Richtung zeigt.

Vektorprodukt

         (    )    (    )    (              )
           ax        bx         aybz - azby
a × b =  |( a  |)  × |(  b |)  = |(  a b -  a b  |)
             y         y         z x    x z
            bz        bz        axby - aybx
(D.4)

D.1.1  Gesetze

Für die Orientierung der Vektoren gilt:

a × b ⊥ a
(D.5)

a × b ⊥  b
(D.6)

|a × b | = |a||b|· sin(∠a,b)
(D.7)

D.1.1.1. Spatprodukt
a · (b × c) = b· (c × a) = - b· (a × c)
(D.8)

Das Spatprodukt berechnet das Volumen des durch a,b, c aufgespannten Spates.

D.1.1.2. Orthogonalität zweier Vektoren testen

Gegeben seien zwei Vektoren a und b. Die Projektion von a auf b, das heisst, die Komponente von a in die Richtung von b ist

a  = a           = a ·e  =  a· -b-=  a· b-
  b    in Richtung b      b      |b|      b
(D.9)

In kartesischen Koordinaten heisst dies

a  =  axb∘x +-ayby +-azbz
  b       b2+  b2+ b2
           x    y   z
(D.10)

Beispiel:

Sei a = (3,2, - 2) und b = (- 2,0,1). Dann ist

ab = 3·-(-∘-2) +-2·0-+-(--2)·2-=  --6√ --4 = - -10√--=  - √5--
           (- 2)2 + 02 + 22          8       2  2        2

Beispiel:

Sei a = (3,2, - 2) und b = (0,0,1). Dann ist

      3·0-+-2·0--+-(--2)·2-   --2-
ab =     √02--+-02-+-12    =  √1--=  - 2

Dis ist die z-Komponente von a.



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