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E.1  Hamilton-Funktion

Die folgenden Ausführungen in diesem Abschnitt folgen [Fri10].

Die klassische Bewegungsgleichung eines Teilchens in der magnetischen Induktion B(r(t),t) und dem elektrischen Feld E(r(t),t) mit r(t) = (rx(t),ry(t),rz(t)) T lautet

   2         (             (       )            )
m d--r(t) = q  E (r(t),t) +   d-r(t)  × B (r(t),t)
  dt2                        dt
(E.1)

Die Felder können durch Potentiale ausgedrückt werden

B(r(t),t) = rot A(r(t),t) (E.2)
E(r(t),t) = -grad ϕ(r(t),t) - ∂
---
∂tA(r(t),t) (E.3)

Mit einer beliebigen Funktion Q(r(t),t) können die Potentiale modifiziert werden, ohne dass die Felder E und r sich ändern.

A(r(t),t) = A(r(t),t) + grad Q(r(t),t) (E.4)
ϕ(r(t),t) = ϕ(r(t),t) - ∂
---
∂tQ(r(t),t) (E.5)

Gleichung (E.1) kann damit auch umgeschrieben werden

           (                                  (       )                 )
  d2-                           ∂--             d-
m dt2r = q  - grad  ϕ(r(t),t) - ∂tA (r(t),t) +  dtr(t)  × rot A (r(t),t)
(E.6)

Die Behauptung ist nun, dass

H = (p - qA (r(t),t))2
------------------
       2m + (r(t),t) (E.7)

auf die Gleichung (E.6) führt. Gezeigt wird dies durch Einsetzen in die kanonischen Gleichungen

 d
--
dtrj(t) =  ∂
----
∂pjH j {x,y,z} (E.8a)
-d
dtpj(t) = --∂--
∂rjH j {x,y,z} (E.8b)

Aus (E.8a) und (E.8b) folgt (die Angabe der Variablen, von denen die Funktionen abhängen, ist weggelassen.)

-d
dtrj = -∂--
∂pjH
= 2(p---qA-)-
    2m(    )
  δ1,j
|| δ2,j||
|( δ3,j|) = 1-
m(pj - qAj ) j {x,y,z} (E.9a)
-d
dtpj = --∂--
∂rjH
= -[             (         )         ]
 2-(p --qA-)·  - q ∂--A   + q-∂--ϕ
     2m            ∂rj       ∂rj
= k{x,y,z}[ pk - qAk  ∂    ]
  ------------Ak
     m     ∂rj- q ∂
----
∂rjϕ j {x,y,z} (E.9b)

Aus Gleichung (E.9a) kann die Newtonsche Bewegungsgleichung geschrieben und mit (E.9b) ergänzt werden

 d2
---
dt2rj = d
--
dt( d   )
  --rj
  dt = d
--
dt( 1            )
  -- (pj - qAj )
  m
= 1-
m(                                         )
    ∑    [               ]
(          pk --qAk-q∂Ak-  - q-∂ϕ-- q dAj-)
  k∈{x,y,z}     m      ∂rj      ∂rj      dt
= q-
m(        [         ]             )
(   ∑      drk∂Ak-     ∂ϕ--  dAj-)
           dt  ∂rj  -  ∂rj -  dt
  k∈{x,y,z} j {x,y,z} (E.10)

A(r(t),t) hängt sowohl explizit wie implizit über r(t) von der Zeit ab:

dAj    ∂Aj      ∑    ∂Aj  drk
-dt-=  -∂t-+         -∂r- dt--    j ∈ {x, y,z}
              k∈ {x,y,z}   k
(E.11)

Gleichung (E.10) mit (E.11) und (E.9a) führt zu

  2
-d-
dt2rj =-q
m(  ∑     [        ]         ⌊          ∑            ⌋)
(         drk-∂Ak-  - ∂-ϕ-- ⌈ ∂Aj-+         ∂Aj-drk-⌉)
 k∈{x,y,z}  dt ∂rj     ∂rj      ∂t    k∈{x,y,z}∂rk  dt
= -q
m(        [                   ]             )
(  ∑      drk-∂Ak-   ∂Aj-drk-    ∂ϕ--  ∂Aj-)
           dt ∂rj -  ∂rk  dt  -  ∂rj -  ∂t
 k∈{x,y,z}
=  q
--
m(                                          )
   ∑     [drk ( ∂Ak    ∂Aj )]    ∂ϕ    ∂Aj
(         ----  -----  ----   -  ----  ----)
 k∈{x,y,z}  dt   ∂rj    ∂rk       ∂rj    ∂t
=  q
--
m(       [    (            ) ]             )
|  ∑     drk   ∂Ak    ∂Aj       ∂ϕ    ∂Aj |
|(        ----  ---- - ----   -  ----- ----|)
 k∈{x,y,z}  dt   ∂rj    ∂rk       ∂rj    ∂t
   k⇔j
=  q
--
m([              ]              )
   dr                ∂ϕ    ∂Aj
(  ---× (rot A )  -  ----- ----)
   dt            j   ∂rj    ∂t j {x,y, z} (E.12)

Dies ist gerade die j-te Komponente von (E.6).

Liste der Versuche

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis



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