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D.7  Vektordifferentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

Diese Operatoren können in [AW95] nachgeschaut werden oder mit [WR14] berechnet werden.

D.7.1  Zylinderkoordinaten

Die Definition lautet

x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z (D.1)

Die Skalenfaktoren lauten

h1 = 1 h2 = r h3 = 1 (D.2)

Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

∇r,ϕ,zΨ(r,ϕ,z ) = ∂Ψ-(r,ϕ,z)er+ 1-∂Ψ-(r,ϕ,z)eϕ+  ∂Ψ-(r,ϕ,-z)ez
                      ∂r        r     ∂ϕ            ∂z
(D.3)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = (          )
  Vr(r,ϕ,z)
||V ϕ(r,ϕ,z)||
|( Vz(r,ϕ,z)|) ist

                                  (                        )
                    ∂Vr(r,ϕ,z )  1              ∂V ϕ(r,θ,z)    ∂Vz(r,θ,z)
∇r,ϕ,z·V (r,ϕ, z) = -----------+ -- Vr(r,ϕ,z) + -----------  + -----------
                        ∂r       r                  ∂ϕ             ∂z
(D.4)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( V (r,ϕ,z))
|  r       |
||V ϕ(r,ϕ,z)||
( Vz(r,ϕ,z)) ist

                    (                                   )
                             1 ∂Vz(r,θ,z)-- ∂Vϕ(r,θ,z)
                    ||        r∂Vr∂(rϕ,θ,z)   ∂Vz(∂rz,θ,z)-       ||
∇r,ϕ,z×V (r,ϕ, z) = ( ∂V (r,θ,z)   ∂z(   -    ∂r          ))
                      --ϕ∂r---- 1r  ∂Vr(∂r,ϕθ,z)- V ϕ(r,θ,z)
(D.5)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

                                (                           )
                 ∂2 Ψ(r,θ,z)  1   1∂2 Ψ(r,θ,z)    ∂Ψ (r,θ, z)   ∂2Ψ (r,θ,z)
Δr,ϕ,zΨ (r,ϕ,z) = -------2---+ --  --------2--- +  ---------- + ------2----
                     ∂r       r   r    ∂ϕ            ∂r            ∂z
(D.6)

D.7.2  Kugelkoordinaten

Die Definition lautet

x = r sin(θ) cos(ϕ) y = r sin(θ) sin(ϕ) z = r cos(θ) (D.7)

Die Skalenfaktoren lauten

h1 = 1 h2 = r h3 = r sin(θ) (D.8)

Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

                  ∂Ψ-(r,θ,-ϕ)-   1-∂Ψ-(r,θ,ϕ)-   1-      ∂Ψ-(r,θ,ϕ)-
∇r,θ,ϕ Ψ(r,θ,ϕ) =      ∂r    er+ r     ∂θ    eθ+ r csc(θ)    ∂ϕ    e ϕ
(D.9)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( V (r,ϕ,z))
|  r       |
||V ϕ(r,ϕ,z)||
( Vz(r,ϕ,z)) ist

                                    (                        )
                      ∂Vr(r,θ,ϕ)- 1-              ∂V-θ(r,θ,ϕ-)
  ∇r,θ,ϕ·V  (r,θ,ϕ ) =     ∂r    + r   Vr(r,θ,ϕ) +     ∂θ
    (      (                                                ))
  1-                                            ∂V-ϕ(r,θ,ϕ)
+ r  csc(θ)  sin(θ)Vr(r,θ,ϕ ) + cos(θ)Vθ(r,θ,ϕ ) +    ∂ϕ
(D.10)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( Vr(r,ϕ,z))
|          |
||V ϕ(r,ϕ,z)||
( Vz(r,ϕ,z)) ist

∇r,θ,ϕ × V (r,θ,ϕ ) =
(  (                 (                          )))
 1r  ∂Vϕ(∂r,θθ,ϕ)-  csc(θ ) ∂Vθ(r∂,ϕθ,ϕ)- cos(θ)V ϕ(r,θ, ϕ)
||  1      ( ∂Vr(r,θ,ϕ)-                 )   ∂Vϕ(r,θ,φ) ||
|(  r csc(θ)   ∂ϕ    -( sin (θ )V ϕ(r,θ,ϕ)  -  ) ∂r    |)
        ∂Vθ(∂r,rθ,φ)-  1r  ∂Vr(r∂,θθ,φ-)- Vθ(r,θ,φ )
(D.11)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

                     (                           )
                   1-  1∂2Ψ-(r,θ,ϕ)-   ∂Ψ-(r,θ,ϕ-)-  ∂2-Ψ(r,θ,ϕ-)
  Δr,θ,ϕΨ (r,θ,ϕ) = r   r    ∂θ2     +     ∂r      +     ∂r2
          (                     (                                     ) )
  1-             ∂Ψ-(r,θ,ϕ)-  1-        ∂Ψ-(r,θ,ϕ)-        ∂2Ψ-(r,θ,ϕ)-
+ r csc(θ)  sin(θ)    ∂r     + r   cos(θ )    ∂θ     + csc(θ)    ∂ϕ2
(D.12)



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