Harmonischer Oszillator

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5.10 Harmonischer Oszillator

Wenn die potentielle Energie V (x) eine quadratisch von x abhängt ist die Bewegung des Teilchens beschränkt und analog zum Fall eines klassischen harmonischen Oszillators. Der Operator ^
H hat die Form

ℏ2 ∂2 1 2 2 ^H = − 2m--∂x2-+ 2-m ω x

(5.1)

mit der potentiellen Energie

V (x) = 1m ω2x2 2

(5.2)

Die Lösungen der Schrödingergleichung sind stationär und haben, dem Separationsansatz entsprechend, die Form

ψ(x, t) = e− iEt∕ℏϕ(x)

(5.3)

Damit können wir die zeitunabhängige Schrödingergleichung verwenden

ℏ2 ∂2ϕ 1 − --------+ --m ω2x2ϕ = Eϕ 2m ∂x2 2

(5.4)

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pict

Mögliche Energiefunktion eines harmonischen Oszillators.

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Wir deﬁnieren drei Parameter und ersetzen die Variable x durch u

∘ ---- -ℏ-- b = mω 𝜖 = -E- ℏω u = x- b

(5.5)

Die Gleichung 5.4 lautet dann (siehe auch [CH67, p. 280, Kap. 5, §10])

2 − ∂--ϕ (u) + u2 ϕ(u) = 2𝜖ϕ(u) ∂u2

(5.6)

Um die Eigenfunktionen ϕ_n und die Eigenwerte 𝜖_n (oder E_n) zu ﬁnden, deﬁnieren wir die folgenden Operatoren:

( ) ( ) ^a† = -√1-- u − -∂- = -1√--- x − b2-∂- 2 ∂u b 2 ∂x 1 ( ∂ ) 1 ( ∂ ) ^a = -√--- u + --- = -√--- x + b2--- 2 ∂u b 2 ∂x

(5.7)

Die Operatoren ^† und sind nicht hermitisch (also nicht selbstadjungiert). Sie sind aber adjungiert zueinander. Deshalb kann man mit

formal schreiben

( 2) ^a†^a = 1- u2 − 1 − ∂--- 2 ∂u2

(5.9)

und mit Gleichung (5.6)

( ) ( † ) 2 ∂2 2^a ^a + 1 ϕ = u − ∂u2- ϕ = 2𝜖ϕ

(5.10)

und

( 1) ^a†^a + -- ϕ(u) = 𝜖ϕ (u ) 2

(5.11)

Wir deﬁnieren einen neuen Hamiltonoperator (Faktor 2 Unterschied zum Original) mit den Operatoren und †

† 1 ^H = ^a ^a + -- 2

(5.12)

Weiter haben wir

Der Kommutator der Operatoren und † hat den Wert (Gleichungen (5.8) und (5.13))

[ †] † † ^a,^a = ^a^a − ^a ^a = 1

(5.14)

Die Eigenschaften des Kommutators zeigen, dass

[^a,^a ] = 0

(5.15)

und

[ ] ^a †,^a † = 0

(5.16)

Wir wollen nun untersuchen, wie die Gleichung (5.11) sich ändert, wenn wir sie von links mit oder † multiplizieren. Wir schreiben Gleichung (5.11) um

( 1) ^a†^aϕ (u) = 𝜖 − -- ϕ (u ) 2

(5.17)

Multiplizieren wir Gleichung (5.17) von links mit und verwenden Gleichung (5.14) erhalten wir

Wenn ϕ(u) eine Lösung der Gleichung (5.17) mit dem Eigenwert (𝜖 − 1∕2) ist, ist

ϕ(u) eine Lösung der gleichen Gleichung (5.17), aber mit dem Eigenwert ((𝜖 − 1∕2) − 1)

. Der Operator

erniedrigt den Eigenwert um 1. Er wird Absteigeoperator oder Vernichtungsoperator genannt.

Multiplizieren wir Gleichung (5.17) von links mit † und verwenden Gleichung (5.14) erhalten wir

Wenn ϕ(u) eine Lösung der Gleichung (5.17) mit dem Eigenwert (𝜖 − 1∕2) ist, ist

†ϕ(u) eine Lösung der gleichen Gleichung (5.17), aber mit dem Eigenwert ((𝜖 − 1∕2) + 1)

. Der Operator

† erhöht den Eigenwert um 1. Er wird Aufsteigeoperator oder Erzeugungsoperator genannt.

Wenn wir eine endliche Energieskala haben, muss es eine kleinste Energie und damit auch einen kleinsten Eigenwert geben. Das heisst, es muss eine Ortswellenfunktion ϕ₀(u) geben, auf die angewandt der Vernichtungsoperator eine Nullfunktion ergibt.

^aϕ (u) = 0 0

(5.20)

Wir verwenden die Deﬁnition von und erhalten

Die Konstante C ergibt sich aus der Normalisierungsbedingung

∞∫ ϕ∗0(u)ϕ0(u)du = 1 = ⇒ C = π −1∕4 −∞

Die normierte Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators in den Koordinaten u und x ist

( ) ( )1∕4 ( ) ϕ (u) = --1- exp − 1u2 =⇒ ϕ (x) = m-ω- exp − m-ω-x2 0 π1 ∕4 2 0 ℏπ 2ℏ

(5.22)

Ausgehend von ϕ₀(u) können wir nun durch die wiederholte Anwendung von † auf ϕ₀(u) alle Lösungen generieren.

Die ersten nicht normierten Funktionen sind

Mit der Normalisierungsbedingung, dass das Integral über der Wahrscheinlichkeitsdichte gleich eins sein soll, bekommen wir

Aus ϕ₀(u) = 0 und Gleichung (5.17) folgt, dass

1 1 𝜖0 − 2-= 0 =⇒ 𝜖0 = 2-

(5.25)

Allgemein ist also

1 𝜖n = n + 2- ∀n ∈ ℕ ∪ {0}

(5.26)

Wir erinnern uns an die Substitutionen in Gleichung (5.5). Deshalb sind die

Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators

( ) En = n + 1- ℏω ∀n ∈ ℕ ∪ {0} 2

(5.27)

Die gleichabständigen Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators sind für diesen charakteristisch. Der kleinste Energieeigenwert E₀ hat den Wert ℏω∕2. Es ist nicht möglich, einen harmonischen Oszillator in Ruhe zu haben. Die minimale Energie E₀ ist die Nullpunktsenergie. Sie bewirkt, dass harmonische Oszillatoren immer Energie enthalten, egal wie tief die Temperatur sinkt. Das heisst, die Boltzmannverteilung aus der klassischen Thermodynamik gilt nicht mehr.