Bohr-Sommerfeld-Modell des Atoms

[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][Epub-Datei][Andere Skripte]

6.1 Bohr-Sommerfeld-Modell des Atoms


	Versuch zur Vorlesung:
	Balmer-Serie (Versuchskarte AT-35)

Johann Jakob Balmer entdeckte 1885 im Spektrum der Sonne eine Serie von Absorptionslinien, die bei den Wellenlängen

Hα = 656.28 nm H β = 486.13 nm H γ = 434.05 nm H δ = 410.17 nm

lagen. Balmer schloss aus der Beobachtung, dass die Wellenlänge einer seiner Absorptionslinien durch

n21 λ = -2----·G n1 = 3,4,... n1 − 4

(6.1)

gegeben sei, mit G = 364.5 nm.

Wenn wir Gleichung (6.1) mit spektroskopischen Wellenzahlen = 1
λ ausdrücken, erhalten wir

( ) ( ) ( ) ˜ν = 1-= 1 − 4-- -1 = 1-− 1-- -4 = 1-− -1- R λ n21 G 4 n21 G 4 n21 H

(6.2)

Die Grösse R_H = 4∕G = 1.09739·10⁷ m−1 ist die Rydbergkonstante für Wasserstoﬀ. Gleichung (6.1) oder Gleichung (6.2) können so umgeschrieben werden, dass die Frequenz ν und nicht die Wellenlänge λ berechnet wird. Mit ν·λ = c oder ν = c erhalten wir

( ) ν = c-= 1-− -1- · 4c- λ 4 n21 G

(6.3)

Die Zahl 4 ermuntert, sie als n₂² zu schreiben mit n₂ = 2. Also erhalten wir

mit n₂ < n₁. Zwischen der Rydbergkonstante R_H′ für Frequenzen und der Rydbergkonstante R_H für Wellenzahlen gibt es die Beziehung

R ′H = cRH

(6.5)

Die theoretischen und gemessenen Werte von R_H und R_H′ sind

′ 4c 15 R H = G- = 3.291·10 Hz R = 1.097095531 ·107 m −1 H,(gemessen) −12 7 −1 R ∞ = (1.0973731568539 ± 5.5 ·10 )·10 m (unendlich schwere Kerne )

Mit R_X bezeichnet man die Rydbergkonstante für die Atomsorte X. R_∞ ist die Rydbergkonstante für unendlich schwere Atome.

Setzt man in Gleichung (6.4a) oder Gleichung (6.4b) n₂ = 2 so erhält man wieder die Balmer-Serie. Die kürzeste durch Gleichung (6.4a) vorhergesagte Wellenlänge einer Absorptionslinie liegt bei der Seriengrenze bei λ_∞ = 91 nm. Neben der Balmer-Serie existieren die kürzerwellige Lyman-Serie (n₂ = 1) sowie die längerwelligen Paschen-Serie (n₂ = 3), Brackett-Serie (n₂ = 4) und Pfund-Serie (n₂ = 5).

__________________________________________________________________________

pict

Wellenlängen der Lyman-, Balmer- und Paschen-Serien im Wasserstoﬀspektrum.

_____________________________________________________________________

Abbildung 6.1 zeigt die Lage der Lyman-, Balmer- und Paschen-Serien im Wasserstoﬀspektrum. Bei Gasentladungslampen können diese Linien als Emissionslinien beobachtet werden. Da die Temperatur der Sonne so hoch ist, dass ihr Emissionsmaximum als thermischer Strahler im Grünen liegt, werden die Emissionslinien überstrahlt. Emission ist aber immer mit Absorption verbunden, so dass auf der Sonne die Absorptionslinien gemessen werden können.

Die Diﬀerenzfrequenz zweier Linien aus einer der Serien ist wieder eine beobachtete Linie im Absorptionsspektrum. Dies kann man aus

( ) ( ) -1-− -1- − -1-− -1- = -1-− 1-- n22 n21 n22 n23 n23 n21

(6.6)

ersehen. Aus der Existenz der Wasserstofflinien folgt, dass Elektronen im Wasserstoffatom H nur diskrete Energien einnehmen können, die sogenannten diskreten Energieniveaus.

6.1.1 Bohrsches Atommodell

Um die optisch-spektroskopischen Eigenschaften von Atomen zu erklären, nahm Niels Bohr an, dass sich Elektronen auf Kreisbahnen wie bei Kopernikus bewegten. Arnold Sommerfeld erweiterte dieses Modell, indem er Kepler-Bahnen annahm. Er konnte damit auch Drehimpulsphänomene erklären.

Elektronen, die sich nach Bohr auf kreisförmigen Planetenbahnen bewegen, werden durch die Coulombkraft auf der Bahn gehalten. Die Zentripetalkraft ist das Gleiche wie die Coulombkraft. Die Zentripetalkraft gibt die notwendige Stärke einer Kraft an, die ein Teilchen auf einer Bahn mit gegebenem Krümmungsradius hält.

2 --e----= m rω2 4π 𝜀0r2 e

(6.7)

Über kinetische und potentielle Energien können die folgenden Aussagen getroﬀen werden:

E = Ekin + Epot ∫r( − e2 ) e2 Epot = − ------2 dr′ = − ------ ∞ 4π 𝜀0r′ 4π𝜀0r 2 E = Ekin + Epot = 1mer2 ω2 − -e---- (6.8) 2 4π𝜀0r

E ist die Gesamtenergie. Sie ist für gebundene Zustände kleiner null. Aus Gleichung (6.7) folgt

2 2 e2 mer ω = 4π-𝜀-r 0

(6.9)

und damit für die Energie

1 e2 e2 e2 E = --------− ------ = − ------ 2 4π𝜀0r 4 π𝜀0r 8π 𝜀0r

(6.10)

Andererseits folgt auch aus Gleichung (6.7) auch das dritte Keplergesetz (verknüpft grosse Halbachsen und Umlaufszeiten)

2 r3 = ---e------ 4π𝜀0me ω2

(6.11)

Aus Gleichung (6.11) erhalten wir für den inversen Bahnradius

∘ ----------- 1 2 1-= 3 4π-𝜀0meω2- = (4π-𝜀0me)3-ω-3 r e2 e23

(6.12)

und für die Energie

-------- e2 (4π𝜀 m )13 ω23 e 43ω23m e13 ∘ e4ω2m E = − ---------0--e2------= − -----2-2--2= 3--7-2-2e 8π 𝜀0 e 3 2 ·4 3π3𝜀03 2 π 𝜀0

(6.13)

Aus dieser klassischen Rechnung haben wir eine Beziehung für den Bahnradius und die Energie als Funktion der Kreisfrequenz der Anregung bekommen. Diese klassische Rechnung hat die folgenden Probleme:

Die Bahnradien und Energien sind kontinuierlich verteilt.
Elektronen auf diesen Bahnen sind beschleunigt und strahlen deshalb Energie in Form elektromagnetischer Wellen ab.

Niels Bohr postulierte in seinen Arbeiten zur Quantentheorie [Boh13, Boh15, Boh18, Boh20] von 1913, dass

klassische Bewegungsgleichungen gelten nur diskrete Bahnen gelten sollen,
die Bewegung der Elektronen strahlungslos sei
die Emmission oder Absorption von Licht bei einem Bahnwechsel mit der Frequenz ν gegeben durch hν = E_n′ − E_n geschieht.

Der Energieunterschied zwischen zwei Bahnen bei unendlich schwerem Kern kann mit der Balmerformel und der Rydbergkonstante ausgedrückt werden:

( ) En − En = h ν = h -1-− 1-- R ′ 1 2 n22 n21 ∞

(6.14)

Aus Gleichung (6.14) folgt

h-·R-′∞- h·c-·R-∞-- En = − n2 = − n2

(6.15)

Nach Niels Bohr ist die Umlauﬀrequenz gleich der emittierten Frequenz. Sommerfeld ergänzte die Theorie, indem er elliptische Bahnen einführte. So konnte er auch Bahndrehimpulseﬀekte beschreiben. Wenn die Quantenmechanik eine übergreifende Theorie sein soll, dann muss sie als Grenzfall die klassische Theorie beinhalten. Diese Aussage wird das Korrespondenzprinzip genannt.

Korrespondenzprinzip: Im Grenzfall grosser Energien und kleiner Energiediﬀerenzen muss die Quantenmechanik (und jede moderne Theorie) in die klassische Mechanik übergehen.

Die Bohr-Sommerfeldtheorie war unbefriedigend, da sie durch klassische Physik mit einigen ad-hoc Annahmen quantenmechanische Phänomene beschreiben wollte.

6.1.1.1. Anwendung der Bohrschen Theorie

Wir betrachten zwei Zustände n₁ » 1 und n₂ = n₁ + τ mit τ ∈ ℕ. Wir betrachten also benachbarte Bahnen und nehmen an, dass der Kern unendlich schwer sei. Mit der Rydberggleichung erhalten wir

Bei benachbarten Bahnen (τ = 1), hohen Energien (n₁ » 1) und sehr schweren Kernen erhalten wir für die Frequenz des absorbierten oder emittierten Lichtes

′ ν = 2R-∞c- = 2R-∞- = -ω- n31 n31 2π

(6.17)

Mit Gleichung (6.17) kann Gleichung (6.13) umgeschrieben werden

∘ -------- ┌ ------------------- R ∞hc e4ω2me ││3 e4me (4πR ∞c )2 E = ---2-- = 3 -7--2-2-= ∘ -7-2-2- ----3-- n 2 π 𝜀 0 2 π 𝜀0 n

(6.18)

Die folgende Umrechnung führt zu einer Gleichung mit der Elektronenmasse (Achtung! die Deﬁnition der Rydbergkonstante R_∞ beinhaltet die Elektronenmasse, nicht die reduzierte Elektronenmasse (Zweikörperproblem!) und der Elektronenladung

Der Wert der Rydbergkonstante ist

R ∞ = 1.0973731569 ·107 m − 1

(6.20)

Aus den Abständen der Wasserstoﬄinien in Rydbergzuständen (n_i » 1) kann man R_H bestimmen und daraus mit Gleichung (6.19) h, e oder μ_e, die reduzierte Masse, und daraus die Elektronenmasse m_e berechnen, wenn die Protonenmasse m_P und die relativistischen Massendefekte bekannt sind.

Aus der Energie-Gleichung (6.10) und der Deﬁnition der Rydbergkonstante R_∞ aus Gleichung (6.19) erhalten wir mit

Damit wird der Radius der n-ten Bahn bei unendlich schweren Kernen

2 r = n2· -h--𝜀0- n πe2me

(6.21)

n wird die Hauptquantenzahl genannt. Die Hauptquantenzahl ist mit dem Bahnradius und der dazu gehörigen Energie verknüpft. Genaue Messungen zeigten schon Anfang des 20. Jahrhunderts, dass Abweichungen existieren, dass die physikalische Beschreibung der Absorption und der Emission von Licht durch das Wasserstoﬀatom nach Balmer und Rydberg noch nicht vollständig war.

6.1.1.2. Abweichungen bei Spektren: Bahndrehimpuls oder eine andere Ursache

Die Spektren können präziser beschrieben werden, wenn nach Sommerfeld auch der Bahndrehimpuls berücksichtigt wird. Der Bahndrehimpuls ist

ℓ = v × p

(6.22)

Bei Kreisbahnen stehen _n und senkrecht aufeinander. Gleichung (6.22) kann deshalb mit Gleichung (6.19) umgeschrieben werden

Also sollte bei Kreisbahnen

|ℓ| = n ℏ

(6.23)

sein. Dies ist jedoch nicht der Fall, da wir mit dem theoretischen Wert der spektralen Grösse R_∞ gerechnet hatten und nicht mit der atommassenabhängigen Rydbergkonstante. Eﬀektiv zählt nur die reduzierte Masse, und diese hängt von der Ordnungszahl des Atoms und dem Ladungszustand ab. Die reduzierte Masse ist

μ = --meM--- me + M

(6.24)

wobei m_e die Elektronenmasse und M die Masse des Kerns plus aller weiterer Elektronen ist.

Das heisst, dass die gemessene Rydbergkonstante R_H ungleich der vorher in Gleichung (6.19) berechneten Rydbergkonstante R_∞ ist. Aus R_∞ = -e4me-
8𝜀20h3c bekommen wir

Nun ist die Masse eines Elektrons m_e = 9.1·10⁻³¹ kg, die eines Protons m_p = 1.67·10⁻²⁷ kg. Das heisst, dass für ein Wasserstoﬀatom die relative Änderung der Rydbergkonstante

( ) ΔRH-- ---1--- --me---- R = 1 − 1 + me- = m + M ∞ M e

(6.26)

Wir erhalten

Diesen aus der Tabelle ersichtlichen Eﬀekt nennt man den Isotopeneffekt. Man sieht, dass zwischen 3 1H und 3 2He optisch spektroskopisch unterschieden werden kann. Der Unterschied ist zwar auf der 7. Stelle nach dem Komma, aber immer noch gross gegen die bis zu 14 Stellen Genauigkeit der optischen Spektroskopie. Zum Vergleich ist noch das Myonium gezeigt, ein wasserstoﬀähnliches Gebilde, bei dem das Proton durch ein Anti-Myon ersetzt wurde.

Dieser spektroskopische Unterschied besteht auch zwischen 92 235U und 92 238U . Bei 92 235U wäre ΔR∕R_∞ = 2.31557·10⁻⁶, bei 92 238U wäre
ΔR∕R_∞ = 2.28637·10⁻⁶. Diese Unterschiede in den Absorptionswellenlängen durch den Isotopeneffekt werden in einem neuartigen Verfahren zur Isotropentrennung (SILEX) verwendet (siehe Mitteilung der DPG http://www.dpg-physik.de/veroeﬀentlichung/physik_konkret/pix/Physik_Konkret_11.pdf). Dieses Verfahren ist ein Hochrisikoverfahren, weil die notwendigen Apparaturen im Keller eines Einfamilienhauses Platz haben. So kann die Urananreicherung nicht mehr kontrolliert werden.

[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2005-2018 Ulm University, Othmar Marti, pict

Lizenzinformationen