5.12  Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden: entartete Zustände

Die Energieeigenwerte eines zweidimensionalen Potentialtopfs sind ähnlich quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Potentialtopfs mit unendlich hohen Wänden (siehe Abschnitt 5.7). Wenn der Topf die Dimensionen a und b hat (siehe Abbildung 5.12) sind die Energieeigenwerte

(5.1)

Die Eigenfunktionen lauten

(5.2)

Wenn a∕b oder b∕a ganzzahlig sind, treten unterschiedliche Eigenfunktionen mit dem gleichen Energieeigenwert auf. Man sagt, die Eigenwerte seien entartet. Wenn zum Beispiel a∕b = 1 ist, dann sind die Energien zu den Eigenwerten (n_x,n_y) = (7, 1) und (n_x,n_y) = (5, 5) gleich.

(5.3)

Beim eindimensionalen Potentialtopf mit endlichen Wandhöhen treten für gewisse Kombinationen von Topfbreiten a und Topfhöhen V ₀ Kreuzungen von Niveaus auf. Dies führt wie gezeigt auch zu einer Entartung. Beim zweidimensionalen Potentialtopf mit endlich hohen Wänden tritt der gleiche Effekt auch auf.