Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten
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Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem
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Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten x, y und z, andererseits die Kugelkoordinaten r, ϕ, und 𝜃. Am Punkt P definieren wir ein mitgeführtes kartesisches Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der Zeit ab! Beide Koordinatensysteme sind jeweils durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben, die jeweils gegenseitig orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen System x, y und z und im mitgeführten kartesischen System r, ϕ und 𝜃.
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Betrachtung in der xy-Ebene für ϕ
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Wir betrachten zuerst die xy-Ebene. Die Projektion des Ortsvektors r auf diese Ebene nennen wir ϱ. Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)
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Betrachtung in der ϱz-Ebene zur Bestimmung von r und 𝜃
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Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren und z. In dieser Darstellung ist r radial und 𝜃 zeigt in die Richtung der positiven 𝜃-Koordinate. Dadurch ist auch r, 𝜃 und ϕ in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem. Aus der Abbildung liest man
Dabei merken wir uns, dass 𝜃 und ϕ Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassend erhalten wir
Wir wissen, dass x, y und z ein orthogonales Koordinatensystem ist. Also ist insbesondere 1 = x ⋅x = y ⋅y = z ⋅z und 0 = x ⋅y = y ⋅zx = z ⋅x. Wenn wir mit diesem Wissen r ⋅r, 𝜃 ⋅𝜃 und ϕ ⋅rϕ sowie r ⋅𝜃, 𝜃 ⋅ϕ und ϕ ⋅r berechnen, können wir zeigen, dass auch das Koordinatensystem r, 𝜃 und ϕ ein orthogonales Koordinatensystem ist.
Wenn wir dieses Gleichungssystem nach x, y und z auflösen, erhalten wir die Umkehrrelationen
Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.
Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten
| (D.11) |
der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann
| (D.12) |
Wir verwenden die Beziehungen
und leiten sie ab. Wir erhalten
Wir setzen in die Gleichung D.12 die Gleichungen D.8, D.9, D.10, D.16, D.17 und D.18 ein und ordnen nach r, 𝜃 und ϕ.
Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten r, 𝜃 und ϕ getrennt. Wir beginnen mit r.
Wir fahren mit 𝜃 weiter.
Wir schliessen mit ϕ.
Zusammenfassend haben wir
Die Beschleunigung ist in kartesischen Koordinaten
| (D.24) |
Wir verwenden die Beziehungen
und leiten sie zweimal ab. Wir erhalten aus
die Gleichungen
und
sowie
Wir setzen in die Gleichung D.24 die Gleichungen D.8, D.9, D.10, D.28, D.29 und D.30 ein und ordnen nach r, 𝜃 und ϕ.
Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten r, 𝜃 und ϕ getrennt. Wir beginnen mit r.
und
und schliesslich
Zusammenfassend haben wir
Wir teilen die Beschleunigung in drei Komponenten auf
| (D.37) |
Dies ist in der angegebenen Reihenfolge die Parallelbeschleunigung, die den Betrag der Geschwindigkeit erhöht, die Zentripetalbeschleunigung und die Coriolis-Beschleunigung.
Im Einzelnen haben wir