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D.12  Kronecker-Produkt

Die Definition des Kronecker-Produkts ⊗ soll mit den Matrizen

( ) ( ) b1,1 b1,2 ⋅⋅⋅ b1,m2 c1,1 c1,2 ⋅⋅⋅ c1,n2 || b2,1 b2,2 ⋅⋅⋅ b2,m2 || || c2,1 c2,2 ⋅⋅⋅ c2,n2|| B = || .. .. || und C = || .. .. || ( . . ) ( . . ) bm1,1 bm1,2 ⋅⋅⋅ bm1,m2 cn1,1 cn1,2 ⋅⋅⋅ cn1,n2
(D.1)

gezeigt werden, wobei m1 ∈ ℕ, m2 ∈ ℕ, n1 ∈ ℕ und n12 ∈ℕ sind. Alle vier Dimensionen können unterschiedlich sein.

Dann ist

⊗ D := B C
(D.2)

gegeben durch

( ) b1,1C b1,2C ⋅⋅⋅ b1,m2C || b2,1C b2,2C ⋅⋅⋅ b2,m C || D = || . . 2 || . ( .. .. ) bm1,1C bm1,2C ⋅⋅⋅ bm1,m2C
(D.3)

Das folgende Beispiel illustriert die Rechnung. Sei

B = (b1,b2)
(D.4)

und

( ) C = c1,1 c1,2 c2,1 c2,2
(D.5)

Dann ist

( ) ( ( ) ( ) ) D = (b,b ) ⊗ c1,1 c1,2 = b c1,1 c1,2 ,b c1,1 c1,2 1 2 c2,1 c2,2 1 c2,1 c2,2 2 c2,1 c2,2 ( ) = b1c1,1 b1c1,2 b2c1,1 b2c1,2 b1c2,1 b1c2,2 b2c2,1 b2c2,2
(D.6)


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