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D.4  Rechnen mit Vektoren

D.4.1  Vektoridentitäten

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [Bro+08, pp. 190])

Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f ihre Längen, k eine Zahl und φ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren in kartesischen Koordinaten sind

( ) ax a = |( ay |) a z

Für die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.

D.4.1.1. Produkte mit Vektoren

Skalarprodukt

k = a ⋅ b = axbx + ayby + azybz = ab cos(∠ (a,b))
(D.1)

Vektorprodukt

( ) aybz − azby c = a ×b = |( azbx − axbz |) |a × b | = ab sin (∠ (a,b)) a b − a b x y y x
(D.2)

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

pict

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

a ⋅ b = 0
(D.5)

Sie sind kollinear, wenn

a × b = 0
(D.6)

Doppeltes Vektorprodukt

a × (b × c) = (a ⋅ c)b − (a ⋅ b )c
(D.7)

Spatprodukt oder gemischtes Produkt

pict

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

(a × b) ⋅ c = 0
(D.9)

Lagrangesche Identität

(a × b) ⋅ (c × f ) = (a ⋅ c)(b ⋅ f) − (a ⋅ f) (b ⋅ c )
(D.10)

Vierfaches Vektorprodukt

(a × b) × (c × d) = ((a × b) ⋅ f)c − ((a × b ) ⋅ c)f
(D.11)

D.4.1.2. Ableiten von Vektoren

Ableiten eines Vektors

( ) ( ) ( ) ax dadxt ˙ax d-a = d-|( ay |) = |( day-|) = |( ˙ay |) dt dt a ddatz- ˙a z dt z
(D.12)

Ableitung eines Produktes

d dφ d -- (φ(t)a(t)) = ---a + φ-- a dt dt dt
(D.13)

Ableitung des Skalarproduktes

d- da- db- dt (a ⋅ b) = dt ⋅ b + a ⋅ dt
(D.14)

Ableitung des Vektorproduktes

-d da- db- dt (a × b) = dt × b + a × dt
(D.15)

Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist a ⋅a = a2 = const. Aus Gleichung (D.14) folgt

da2 d da da da da 0 = ----= -- (a ⋅ a ) =---⋅a+a ⋅---= ---⋅a ⇒ ---⊥a dt dt dt dt dt dt
(D.16)

Taylorentwicklung einer Vektorfunktion

|| 2 2 || n n || a(t+ τ) = a(t)+ τ da-|| + τ--d-a-|| + ...+ τ-- d-a-||+ ... dt| 2 dt2| n! dtn | t t t
(D.17)

D.4.1.3. Vektorableitungen bei Skalarfeldern

Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung

∂-φ(r) = lim φ(r-+-𝜖c)-−-φ-(r-) ∂c 𝜖→0 𝜖
(D.18)

Ableitung ∂φ(r) ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂ φ(r ∂φ(r ) ----- = |c| ------ ∂c ∂ec
(D.19)

Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem stärksten Abfall (Einheitsvektor n)

∂-φ(r) ∂φ(r)- ∂ec = ∂n cos(∠ec, n )
(D.20)

D.4.1.4. Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung

∂a (r) a(r + 𝜖c) − a (r ) --∂c-- = l𝜖i→m0 --------𝜖--------
(D.21)

Ableitung ∂a(r) ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂a-(r = |c| ∂a(r-) ∂c ∂ec
(D.22)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

pict

Gradient eines Produktes

grad (φ1 φ2) = φ1grad φ2 + φ2grad φ1
(D.24)

Kettenregel beim Gradienten

grad φ (φ ) = dφ1-grad φ 1 2 dφ2 2
(D.25)

Gradient eines Skalarproduktes

grad (a ⋅ b) = (a ⋅ grad )b+ (b ⋅ grad )a+a ×rot b+b ×rot a
(D.26)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

grad (r ⋅ k) = k
(D.27)

Divergenz eines Produktes

div (φa ) = φdiv a + agrad φ
(D.28)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

div (r ⋅ k) = r-⋅ k- |r|
(D.29)

Divergenz eines Vektorproduktes

div (a × b) = b ⋅ rot a − a ⋅ rot b
(D.30)

Rotation eines Produktes

rot (φa ) = φrot a + grad φ × a
(D.31)

Divergenz eines Vektorproduktes

rot (a × b) = (b ⋅ grad )a− (a ⋅ grad )b+adiv b− bdiv a
(D.32)

Rotation eines Potentialfeldes

rot (grad φ) = 0 ∀φ
(D.33)

Divergenz einer Rotation

div (rot a) = 0 ∀a
(D.34)

Rotation einer Rotation

rot (rot a ) = grad (div a) − div (grad a)
(D.35)


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