(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 190]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])
Versuch zur Vorlesung: Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039) |
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Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen
Wir betrachten eine Welle , die aus dem Medium mit und auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit und fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle
(6.573) |
GrenzflächeGrenzfläche | Grenzfläche | (6.579) |
Das Reflexionsgesetz besagt, dass
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Aus Gleichung (6.68) folgt weiter
Gleichung (6.69) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor liegt. ist also parallel zu . Wir können also schreiben
Mit der Definition (6.56) bekommt man auch
Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius. |
Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.
Materialien
Folien zur Vorlesung vom 14. 07. 2008: PDF |
Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).
Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten und sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also
wobei und die Winkel zur Oberflächennormalen sind, ist die -Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation), die der reflektierten und die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.
Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als
(6.591) |
Die Komponente von parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (6.64)
(6.592) |
Wir beachten, dass ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten
(6.593) |
Die Fresnelschen Gleichungen für die -Polarisation lauten
Mit den Brechungsindizes und erhält man |
Nach dem Brechungsgesetz ist
Wir setzen dies ein und erhalten
(6.596) |
Wir setzen ein und bekommen
Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben werden
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für
nichtmagnetische Materialien
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Wir haben die einfallende Intensität als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor für . Im Medium mit dem Brechungsindex wird die Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex . Ist grösser als . so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und muss grösser werden.
Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische
Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die -Vektoren dar
(rot für die einfallende elektromagnetische Welle,
grün für die reflektierte und blau für die
gebrochene elektromagnetische Welle.). Die -Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die
Grenzfläche dünn.
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Bei -polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von durch
(6.600) |
gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)
(6.601) |
Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten
(6.602) |
Damit müssen wir das Gleichungssystem
lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit und die zweite mit und addieren
(6.604) |
Um zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (6.92) mit und die untere mit , subtrahieren und erhalten
(6.605) |
Mit den Brechungsindizes und erhält man
Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu
Die Brechungsindizes und können mit dem Snelliusschen Gesetz eliminiert werden
Mit werden die obigen Gleichungen
Die Quotienten aus und können zu zusammengefasst werden
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Im Grenzfall müssen die Resultate für die - und -Polarisation übereinstimmen. Lässt man in Gleichung (6.99) gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte elektrische Feld . Andererseits ist der Grenzwert des elektrischen Feldes für gegen Null bei Gleichung (6.87) negativ. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.16 die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte und sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen identisch.
Wenn in der Gleichung Gleichung (6.99) für der Nenner ist, divergiert der Nenner, Wir erhalten also . Dies ist der Brewster-Winkel.
Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:
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Wir haben die einfallende Intensität als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor für .
Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für
p- und s-Polarisation, wenn
elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium () in das langsamere () eintreten.
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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für
p- und s-Polarisation, wenn
elektromagnetische Wellen aus dem langsameren () Medium in das schnellere ()eintreten.
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Materialien
Folien zur Vorlesung vom 17. 07. 2008: PDF |
Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist
(6.613) |
Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist
(6.614) |
Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche
(6.615) |
Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die -Polarisation
(6.616) |
gilt.
Wir müssen also den Wert des Bruches
(6.617) | ||
Wir setzen und und schreiben die Gleichung um
(6.618) | ||
Da ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für -Polarisation Energieerhaltung gilt.
Eine ähnliche Gleichung kann man für die -Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.
Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für
p- und s-Polarisation, wenn
elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren () Medium in das langsamere (
) eintreten.
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Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für
p- und s-Polarisation, wenn
elektromagnetische Wellen
aus dem langsameren () Medium in das schnellere () eintreten.
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Für beide Bilder wurde die Intensität mit berechnet, wobei die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der -Polarisation und der -Polarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der einfallenden elektromagnetischen Welle.
Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.
Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von liefert das Snelliussche Gesetz.
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 193,196])
Versuch zur Vorlesung: Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080) |
Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium in das schnellere eintreten, es Winkel gibt ( , für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der -Vektor de elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus mit der exponentielle Dämpfungsfaktor , wobei vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.
Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich
selber sowie der evaneszenten Wellen.
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Othmar Marti