Energie des elektrischen Feldes

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 204]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 729])

Versuch zur Vorlesung: Energie im Kondensator

Ein Plattenkondensator der Kapazität $C$ sei auf die Spannung $U=\frac{Q} {C}$ aufgeladen. Wir transportieren die Ladung $\Delta Q$ von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist

$$W\left( Q\text{,} Q+\Delta Q\right) =U\cdot\Delta Q=\frac{Q\Delta Q}{C}$$ (2.91)

Dabei haben wir die Ladung $\Delta Q$ über die Potentialdifferenz $U$ transportiert.

$$W\left( 0\text{,} Q\right) = {\displaystyle\int\limits_{0}^{Q}} \frac{QdQ}{C}=\frac{Q^{2}}{2C}$$ (2.92)

also

$$E_{pot}\left( C\right) =\frac{Q^{2}}{2C}$$ (2.93)

oder mit $C =\frac{\varepsilon_{0}A}{d}$

$$E_{pot}\left( d\right) =\frac{Q^{2}d}{2\varepsilon_{0}A}$$ (2.94)

oder mit $Q =U\cdot C$

$$E_{pot}\left( U\right) =\frac{U^{2}\cdot C}{2}$$ (2.95)

Das Integral über die Oberfläche eines Leiters verknüpft die Ladung $Q=E A \varepsilon_{0}$ mit dem elektrischen Feld. Das Volumen ist $V=A\cdot d$. Zusammen ergibt sich

$$E_{pot}=\frac{E^{2} \cdot A \cdot d \cdot \varepsilon_{0}}{2}=\frac{E^{2} \cdot V \cdot \varepsilon _{0}}{2}=\frac{E \cdot D \cdot V}{2}$$ (2.96)

oder mit $w_{el}=\lim\limits_{V \rightarrow 0}\frac{E_{pot}}{V}$ der Energiedichte des elektrischen Feldes

$$w_{el}=\frac{\varepsilon_{0}E^{2}}{2}=\frac{\vec{E}\cdot\vec{D}}{2}$$ (2.97)

Die Kraft $\Delta\vec{F}_{V}$ auf ein Volumenelement $\Delta V$ wird durch

$$\vec{F}_{V}\left( \vec{r}\right) =\lim\limits_{\Delta V\rightarro... ...\right) }{\Delta V}=\rho_{el}\left( \vec{r}\right) \vec{E}\left( \vec{r}\right)$$ (2.98)

beschrieben, da

$$\Delta\vec{F}_{V}\left( \vec{r}\right) =\vec{E}\left( \vec{{}r}\right) \cdot \Delta Q=\vec{E}\left( \vec{r}\right) \cdot \rho_{el } \cdot \Delta V$$ (2.99)

Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus

$$\sigma_{Maxwell}=\lim\limits_{\Delta A\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{F}\left( \vec{r}\right)\cdot \vec{n}}{\Delta A}$$ (2.100)

Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes. $\vec{n}$ ist der Normalenvektor der Oberfläche.

Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: $E_{pot}=\frac{Q^{2}}{2C}$. Die Arbeit, den Kondensator von $d$ auf $d+\Delta d$ zu bringen ist.

$$W\left( d\text{,} d+\Delta d\right) = F\Delta d$$

$$ = E_{pot}\left( d+\Delta d\right) -E_{pot}\left( d\right)$$

$$ = \frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}A}\left( d+\Delta d\right) -\frac{Q^{2} d}{2\varepsilon_{0}A}$$

$$ = \frac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}A}$$

$$ = \frac{Q^{2}}{A^{2}}\cdot\frac{\Delta d A}{2\varepsilon_{0}}$$

$$ = \sigma^{2}\frac{\Delta d A}{2\varepsilon_{0}}$$

$$ = \varepsilon_{0}^{2}E^{2}\cdot\frac{A\Delta d}{2\varepsilon _{0}}$$

$$ = \frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}A\Delta d$$ (2.101)

und damit

$$\sigma_{Maxwell}=\frac{F}{A}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}=\frac{\vec{D}\cdot \vec{E}}{2}$$ (2.102)

Beispiel: In einem Laser können Felder von $10^{12}V/m$ auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von $4.43\cdot 10^{12}Pa \simeq 4.43\cdot 10^{7}$ bar.

Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck.

Versuch zur Vorlesung: Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) (Versuchskarte ES-16)

Diskussion Versuch Flächenladungsdichte

Im Versuch Flächenladungsdichte wird die Flächenladungsdichte gemessen, indem eine kleine Kugel in Kontakt mit verschieden grossen Kugeln auf einem konstanten Potential $\varphi = U$ gebracht werden.

Schematische Darstellung des Flächenladungsversuches.

In der Abbildung 2.28 wird der Messprozess schematisch gezeigt. Eine Kugel mit dem Radius $R$ wird auf die Spannung $U$ aufgeladen. Die kleine Kugel mit dem Radius $r$ wird mit der grossen Kugel in Kontakt gebracht. Nach kurzer Zeit haben beide Kugeln gegen Erde (unendlich) das Potential $\varphi_0 = U$. Wenn wir annehmen, dass die kleine Kugel eine unwesentliche Störung der grossen Kugel ist, ist die Kapazität der beiden Kugeln

$$C_{\text{gemeinsam}} \approx C_R = 4 \pi \varepsilon_0 R$$ (2.103)

Die Flächenladungsdichte der beiden Kugeln im Kontakt ist durch

$$Q_R = 4\pi \left(R^2+r^2\right) \sigma_{\text{gemeinsam}} = C_{\text{gemeinsam}}U \approx C_R U = 4 \pi \varepsilon_0 R U$$ (2.104)

gegeben. Durch die Trennung der beiden Kugeln wird die Flächenladungsdichte $\sigma_{\text{gemeinsam}}$ auf beiden Kugeln eingefroren. Für die kleine Kugel haben wir dann

$$q_r = 4\pi r^2 \sigma_{\text{gemeinsam}}$$ (2.105)

Die Kugel hat nach der Trennung ein anderes Potential gegen unendlich, nämlich

$$q_r = 4\pi r^2 \sigma_{\text{gemeinsam}} = C_r U_r = 4\pi \varepsilon_0 r U_r \Rightarrow U_r = \frac{r \sigma_{\text{gemeinsam}}}{\varepsilon_0}$$

Aus dem Potential an der grossen Kugel $U = \frac{R \sigma_{\text{gemeinsam}}}{\varepsilon_0}$ bekommt man

$$\sigma_{\text{gemeinsam}} = \frac{\varepsilon_0 U}{R}$$ (2.106)

und

$$U_r = U \frac{r}{R}$$ (2.107)

Aus Gleichung (2.105) und Gleichung (2.106) erhalten wir

$$q_r = 4\pi r^2 \frac{\varepsilon_0 U}{R} = \frac{ 4\pi \varepsilon_0 r^2}{R} U$$ (2.108)

Die Kugel wird schliesslich auf das Ladungsmessgerät (eigentlich ein Strom-Integrierer) aufgebracht. Die gemessene Ladung ist proportional zu $1/R$ und damit proportional zu $\sigma_$gemeinsam.